Calculadora de distribución binomial

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) donde C(n, k) = n! / (k! (n − k)!)

n

El número de ensayos, hasta 1000: repeticiones independientes del mismo suceso de sí o no. El límite es de rendimiento y no matemático; la distribución está perfectamente definida mucho más allá, pero los recuentos de esta página crecen con n y una página que se cuelga es peor que una que se niega

k

El número de éxitos por el que preguntas. No puede superar n, porque más éxitos que ensayos no es un resultado improbable sino una petición imposible

p

La probabilidad de éxito de un solo ensayo, escrita en porcentaje de 0 a 100. Es la misma en todos los ensayos, y eso es lo que hace que los ensayos sean intercambiables y que el recuento sea binomial

C(n, k)

El coeficiente binomial: de cuántas maneras se pueden repartir k éxitos entre n ensayos. Es la razón de que los recuentos del centro sean los probables, porque un recuento cercano al centro se puede colocar de muchísimas más formas que uno extremo

p^k · (1 − p)^(n − k)

La probabilidad de una colocación concreta de k éxitos y n − k fallos. Multiplicarla por el número de colocaciones convierte una colocación concreta en cualquier colocación

np

La media del número de éxitos. La varianza es np(1 − p) y la desviación estándar es su raíz cuadrada, que es lo que informan las tres últimas filas del panel junto con la media y la varianza

Úsala cuando los ensayos se cuenten en lugar de medirse: cuántos de 20 componentes pasan la inspección, cuántos de 12 tiros libres entran, qué probabilidad hay de una racha de al menos 8 caras en 10 lanzamientos. En la práctica las dos filas acumuladas son las que se usan, porque un objetivo casi siempre es un umbral —al menos k para superar un control de calidad, como máximo k para no salirse de un presupuesto— y leer un umbral de la fila exacta obliga a sumar recuentos a mano. Busca otra herramienta cuando el número de ensayos no esté fijado de antemano (eso es otra distribución), cuando la probabilidad de éxito cambie de un ensayo a otro o cuando los ensayos se influyan entre sí; el tercer caso es el que más veces rompe el supuesto en la práctica.

1. Diez ensayos, tres éxitos y una probabilidad del 50 % en cada uno

   1. Hay C(10, 3) = 120 maneras de colocar tres éxitos entre diez ensayos
   2. Una colocación concreta tiene probabilidad 0,5³ × 0,5⁷ = 1/1024
   3. 120 / 1024 = 0,1171875, así que obtener exactamente tres éxitos ocurre el 11,72 % de las veces
   4. Sumando los recuentos de 0 a 3 sale un 17,19 % como máximo; la media es np = 10 × 0,5 = 5

   La distancia entre las dos filas acumuladas es el sentido de este ejemplo: 17,19 % como máximo y 94,53 % como mínimo dejan un 11,72 % entre ellas, y esa franja que falta es exactamente la probabilidad de tres, el recuento por el que preguntabas. Es la aritmética que desmonta el error habitual de leer como mínimo como uno menos como máximo, que aquí daría un 82,81 %. La media de 5 con una desviación estándar de 1,58 también te dice que un 3 no tiene nada de raro en este montaje: está algo más de una desviación estándar por debajo del promedio.

2. Veinte ensayos con una probabilidad del 25 % en cada uno

   1. La media es np = 20 × 0,25 = 5 éxitos
   2. La varianza es np(1 − p) = 20 × 0,25 × 0,75 = 3,75 y su raíz cuadrada es 1,94 aproximadamente
   3. Exactamente cuatro éxitos tiene una probabilidad del 18,97 %, que es el recuento más probable de todos
   4. Como máximo cuatro es el 41,48 %, y como mínimo cuatro es el 77,48 %

   Cuatro éxitos es a la vez el recuento vecino de la media y el más probable, y por eso las dos cifras acumuladas quedan tan asimétricas a su alrededor: el 41,48 % de la distribución está en ese recuento o por debajo. Esa asimetría es general y conviene recordarla: para cualquier recuento igual o inferior a la media, la probabilidad de quedarse en ese recuento o menos es mayor de lo que sugiere la intuición, porque la distribución tiene una cola superior larga cuando p es pequeño. Las filas de resumen son las que permiten verlo sin sumar términos: una desviación estándar de 1,94 alrededor de una media de 5 deja el 4 cómodamente dentro de lo ordinario.

3. Cien ensayos, ningún éxito y una probabilidad del 2 % en cada uno

   1. Con k = 0 hay exactamente una colocación —ningún éxito—, así que C(100, 0) = 1
   2. Su probabilidad es 0,98¹⁰⁰ ≈ 0,1326, así que no obtener ninguno es el 13,26 %
   3. Como máximo cero éxitos es el mismo suceso, así que esa fila coincide exactamente
   4. Como mínimo cero éxitos incluye todos los resultados posibles, así que es el 100 %

   Este es el caso que fija la fila de como mínimo. Como mínimo cero éxitos no es un borde sin información sino una certeza —cualquier resultado tiene cero o más éxitos—, así que el 100 % es la respuesta correcta y no un relleno. Leyendo las tres filas juntas se ve el off-by-one: como máximo 13,26 % más como mínimo 100 % pasa de 100 % porque el recuento de exactamente cero está dentro de las dos, y lo que se solapan es justamente ese 13,26 %. La otra mitad del ejemplo es la media: dos éxitos esperados de cada cien suenan seguros y, aun así, no obtener ninguno sigue siendo aproximadamente una tanda de cada ocho.

4. Mil ensayos con una probabilidad del 50 % en cada uno

   1. La media es 1000 × 0,5 = 500 éxitos y la varianza es 250, así que la desviación estándar es 15,81 aproximadamente
   2. Exactamente 500 éxitos —el recuento más probable— tiene una probabilidad del 2,52 %
   3. Como máximo 500 es el 51,26 %, y como mínimo 500 también es el 51,26 %, porque 500 es el centro
   4. Las dos cifras acumuladas coinciden aquí, y eso solo pasa en la media

   De este ejemplo conviene llevarse dos cosas. La primera es que el recuento más probable no es un suceso probable: 500 es el pico de la distribución y aun así solo ocurre alrededor de una tanda de cada cuarenta, porque hay mil recuentos distintos entre los que repartir la probabilidad. La segunda es que las dos filas acumuladas coinciden exactamente en el 51,26 %, lo que sirve de autocomprobación: en la media la distribución es simétrica, así que cualquier desviación de la igualdad significa que el recuento no está centrado. Fíjate además en que ese 2,52 % se calcula con coeficientes binomiales de cientos de dígitos, y esa es la razón de que la herramienta limite el número de ensayos en lugar de intentar ser valiente.

El modelo binomial se apoya en tres supuestos, y cuando uno falla los números siguen pareciendo plausibles mientras están mal. El número de ensayos tiene que estar fijado de antemano y no decidirse sobre la marcha, la probabilidad de éxito tiene que ser la misma en todos los ensayos y los ensayos tienen que ser independientes entre sí; el tercero es el que falla más a menudo en la práctica, porque los ensayos sacados del mismo lote, de la misma persona o del mismo día tienden a moverse juntos. Cuando los éxitos se agrupan, la dispersión real es mayor que la que informa esta página. Hay dos límites más que conviene decir. El número de ensayos está limitado a 1000, que es una cota de rendimiento y no matemática: el modelo está definido mucho más allá, pero los recuentos crecen con el número de ensayos y una página colgada no ayuda a nadie. Y en esta página no hay ninguna tabla de probabilidades por recuento: la tabla que la gente quiere tiene una fila por cada número posible de éxitos, depende de los ensayos y de la probabilidad que escribas, y una tabla de referencia aquí no puede ver esos datos; las tres filas del panel son la forma de esa tabla para los números que hayas elegido.

¿Por qué al menos k éxitos no es simplemente 100 % menos como máximo k éxitos?

Porque los dos sucesos no son complementarios. Como máximo k significa de cero a k éxitos; al menos k significa de k a n. El recuento de exactamente k está en los dos, así que restarlo de 100 % deja fuera esa franja compartida, que es precisamente la probabilidad por la que preguntabas. Si quieres el complementario de al menos k, usa la fila de como máximo k − 1, o lee las tres filas juntas: exactamente k es siempre la distancia entre las otras dos, y esa distancia sirve de comprobación de las tres.

¿La probabilidad de éxito puede ser 0 % o 100 %?

Sí, y las dos son respuestas con sentido y no casos límite. Una probabilidad del 0 % significa que el suceso no ocurre nunca, así que el número de éxitos es 0 con certeza; una del 100 % significa que ocurre siempre, así que el número de éxitos es n con certeza. El panel informa sin problemas las filas de 0 % y de 100 % que salen de ahí. Si ves un 0 % plano en un recuento que esperabas pequeño pero posible, revisa el campo de la probabilidad: un 0 escrito donde iba un 10 produce exactamente eso.

¿Por qué no hay una tabla con la probabilidad de cada número de éxitos?

Porque una tabla así depende de los ensayos y de la probabilidad de éxito que escribas, y una tabla de referencia en esta página no puede ver esos datos: se calcula a partir de constantes, así que mostraría los números de otro montaje bajo un encabezado que parece el tuyo. En su lugar, las tres filas del panel de resultados dan la forma de esa tabla en el recuento por el que preguntas: el recuento exacto, todo lo que queda por debajo y todo lo que queda por encima. Para ver la distribución entera, cambia el número de éxitos y vuelve a leer la fila exacta: esos valores son la tabla, fila a fila.

¿Qué me dice la media que no me diga la probabilidad?

Te dice dónde está situada la distribución, que es lo que hace interpretable un recuento. Una media de 5 éxitos con una desviación estándar de 1,58 convierte un 3 en un resultado ordinario, mientras que el mismo 3 frente a una media de 12 quedaría muy lejos. La media es np, la varianza es np(1 − p) y la desviación estándar es la raíz cuadrada de esa varianza: las tres filas de resumen son la distribución descrita por su centro y su dispersión, en lugar de una probabilidad cada vez.

¿Qué pasa si pido más éxitos que ensayos?

Se rechaza en lugar de responderse con un 0 %. Más éxitos que ensayos no es un resultado improbable, no es un resultado en absoluto, e informar de un 0 % sugeriría que el modelo lo ha considerado y lo ha descartado. El panel avisa del error, y lo mismo vale para un número de ensayos por encima de 1000, que se rechaza por un límite de rendimiento y no porque ahí se acabe la matemática.

¿De verdad tienen que ser independientes los ensayos?

Sí, y es el supuesto que más veces falla en datos reales. Si los éxitos se agrupan —componentes del mismo lote de producción, tiros de la misma persona el mismo día, pacientes de la misma consulta—, entonces los ensayos llevan información unos sobre otros y la dispersión real del recuento es mayor de lo que dice la binomial. La media sigue siendo más o menos correcta cuando hay agrupamiento, pero la desviación estándar y las probabilidades de cola no, así que las tres filas de resumen son las primeras de las que conviene desconfiar. Cuando sabes que los ensayos se agrupan, la herramienta adecuada es un modelo que incluya esa variación extra.

• 1.3.6.6.18. Binomial Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the binomial probability function, its mean np and variance np(1 − p), and the assumptions the model rests on) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e (the fixed number of independent trials with a constant success probability, and the cumulative form used by the at most and at least rows) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for a count to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)