Calculadora de distribución normal

z = (valor − media) / desviación estándar → por debajo = Φ(z), por encima = 1 − Φ(z), dentro = 2Φ(|z|) − 1

value

La medición por la que preguntas: una observación, no una media de varias. Se compara con la media y la desviación estándar de la distribución contra la que se está leyendo

mean

El centro de la distribución normal, escrito μ. Todas las probabilidades del panel se enuncian con respecto a él, así que una media de 0 convierte el propio valor en la puntuación z siempre que la dispersión sea 1

standardDeviation

La dispersión de la distribución, escrita σ, y tiene que ser mayor que cero. Es la unidad en la que se mide la distancia, y eso es lo que permite que una sola tabla de la normal estándar sirva para distribuciones de cualquier tamaño

z

Cuántas desviaciones estándar separan el valor de la media. Positiva por encima de la media, negativa por debajo, y cero cuando el valor es la propia media

Φ

La función de distribución acumulada de la normal estándar: la parte de la curva que queda a la izquierda de un valor dado de z. No tiene forma cerrada elemental, así que se calcula en lugar de consultarse

Úsala siempre que la pregunta sea sobre la posición y no sobre el número en bruto: cuánto de insólita es una medición para el proceso que la produjo, qué parte de una población queda por encima de un umbral o qué proporción de una ventana de especificación cubre un proceso centrado. Es también la vía habitual hacia una tabla de la normal: convertir antes a una puntuación z es lo que hace que una sola tabla valga para todas las distribuciones. Recurre en cambio a la calculadora de puntuación z de al lado cuando lo que importa sea la propia puntuación z y no hagan falta las probabilidades; recurre a esta cuando necesites las áreas, porque una puntuación z por sí sola dice a qué distancia está un valor pero no cuánta curva hay ahí fuera con él.

1. Una desviación estándar por encima de la media

   1. Se resta la media: 115 − 100 = 15
   2. Se divide entre la desviación estándar: 15 / 15 = 1, así que la puntuación z es 1
   3. La parte de una curva normal por debajo de z = 1 es de un 84,13 % aproximadamente, lo que deja un 15,87 % por encima
   4. La parte dentro de una desviación estándar hacia los dos lados es de un 68,27 % aproximadamente, y las dos cifras de un solo lado son simplemente lo que sobra en cada extremo

   Los tres números son el mismo hecho dicho de tres maneras, y el del medio es el que se lee mal: un 84,13 % por debajo significa que un valor a una desviación estándar por encima de la media supera a unos cinco sextos de la distribución, mientras que un 15,87 % de ella sigue por encima. Fíjate también en que la parte de dentro no es la suma de las dos probabilidades de un solo lado: es solo la banda central, así que es siempre la menor de las tres para un valor cerca de la media y crece hacia el 100 % a medida que el valor se adentra en la cola.

2. Un valor exactamente en la media

   1. Se resta la media: 100 − 100 = 0
   2. Dividir entre cualquier dispersión positiva deja 0, así que la puntuación z es 0
   3. Una curva normal es simétrica, así que exactamente la mitad queda por debajo de la media y la otra mitad por encima
   4. Una banda de anchura cero alrededor de la media no contiene nada de la distribución, así que la parte de dentro es el 0 %

   El 0 % de dentro no es el redondeo de algo pequeño: es exacto, y es el único caso en el que la anchura de la banda no es nada de verdad. Eso convierte este ejemplo en la comprobación más limpia del sentido de la banda: dentro mide la distancia hasta el valor hacia los dos lados, así que en la media no hay distancia ninguna. Es también el caso que muestra la simetría en la que se apoya el resto del panel, porque las dos probabilidades de un solo lado se reparten exactamente por la mitad.

3. Un valor muy metido en la cola superior

   1. Se resta la media: 200 − 100 = 100
   2. Se divide entre la desviación estándar: 100 / 15 ≈ 6,67 desviaciones estándar por encima de la media
   3. La parte por encima de z = 6,67 es de unos 1,3 × 10⁻¹¹, uno entre decenas de miles de millones
   4. Con dos decimales esa parte es el 0,00 %, y la parte por debajo es el 100,00 %

   El 0,00 % de arriba es el único número de esta página que parece un fallo y no lo es: la parte verdadera es de unos 1,3 entre cien mil millones, que dos decimales de un porcentaje no pueden imprimir. De ahí se siguen dos cosas. Lee el 0,00 % como más pequeño que la precisión mostrada y no como imposible, y ten presente que el panel lleva más información que las cifras impresas: la cola se calcula por su propio camino precisamente para que este caso dé un cero limpio en lugar del 0,01 o el 0,02 que produciría restar a la cola inferior. Fíjate además en que la parte de dentro ha llegado al 100 %, porque una banda que alcanza 6,67 desviaciones estándar hacia cada lado cubre ya prácticamente toda la curva.

4. Una desviación estándar por debajo de la media

   1. Se resta la media: 85 − 100 = −15
   2. Se divide entre la desviación estándar: −15 / 15 = −1, así que la puntuación z es negativa
   3. La parte por debajo de z = −1 es de un 15,87 % aproximadamente, y la parte por encima es de un 84,13 %
   4. La banda dentro de una desviación estándar es el mismo 68,27 % que para z = +1, porque la banda es simétrica

   Comparar este ejemplo con el primero es la manera más rápida de ver qué hace el signo y qué no hace: las dos probabilidades de un solo lado se intercambian y la cifra de dentro no se mueve nada. Eso es porque dentro mide una distancia a la media en los dos sentidos, así que no puede saber de qué lado está el valor, que es justo lo que se quiere cuando la pregunta es cuánta distribución queda cerca de su centro, y justo por lo que el panel imprime también las cifras de un solo lado y no solo la banda.

Todos los números de aquí son propiedades de una distribución normal, no de tus datos. Una puntuación z se puede calcular para cualquier conjunto de valores sea cual sea su forma, pero las probabilidades solo son las de arriba si la distribución es realmente normal: con una dispersión de colas largas o torcida, los valores muy alejados son más frecuentes de lo que dice la curva normal, y las estimaciones de la cola son las primeras en resentirse. Una media y una desviación estándar no convierten una distribución en normal, ni pueden decirte si lo es. Hay dos precauciones más. Las probabilidades muy pequeñas no se pueden imprimir con dos decimales, así que un valor muy metido en la cola muestra 0,00 % donde lo verdadero es un número pequeño y positivo. Y el valor escrito se trata como una sola observación leída contra una media y una dispersión conocidas, así que los números no tienen en cuenta la incertidumbre de la media ni de la desviación estándar, cosa que importa cuando esas dos se han estimado a partir de una muestra pequeña.

¿Qué aporta la puntuación z si ya tengo la probabilidad?

Es el único de los cuatro números que viaja entre distribuciones. Una probabilidad está atada a la curva concreta que has escrito, mientras que una puntuación z de 1 significa la misma distancia al centro en cualquier distribución normal: unas notas con una dispersión de 15, unas piezas medidas en centésimas de milímetro o una medición en una unidad cualquiera. Eso es lo que hace que una sola tabla de la normal estándar sirva en todas partes: primero se convierte a una puntuación z y después se lee el área sobre la curva estándar.

¿Por qué la probabilidad por encima muestra 0,00 % para un valor muy grande?

Porque dos decimales de un porcentaje no pueden imprimir lo pequeña que es la cifra de verdad. Un valor a 6,67 desviaciones estándar por encima de la media tiene por encima alrededor de 1,3 × 10⁻¹¹ de la curva —más o menos uno entre decenas de miles de millones—, que es una parte real y positiva, solo que muy por debajo de la precisión mostrada. Lee el 0,00 % como más pequeño de lo que esta presentación puede mostrar y no como imposible. El panel calcula esa cola por su propio camino en lugar de restándola a la cola inferior, y por eso da un cero limpio en vez del pequeño valor distinto de cero que produciría la resta.

¿Es lo mismo que la regla empírica?

Sí, y la tabla de esta página es esa regla escrita como distancias en lugar de como porcentajes. La regla empírica dice que alrededor del 68 % de una distribución normal queda dentro de una desviación estándar de la media, alrededor del 95 % dentro de dos y alrededor del 99,7 % dentro de tres; convertir cada una de esas frases en una distancia al centro es exactamente lo que hacen las filas. Merece la pena señalar una diferencia: la regla se cita normalmente como tres porcentajes redondeados, mientras que las proporciones de aquí se calculan con la misma función acumulada que usa la calculadora, así que un valor que caiga justo en un límite recibe una respuesta coherente de las dos.

¿Qué pasa si la desviación estándar es cero?

Se rechaza en lugar de responderse. Dividir entre una dispersión de cero no es una probabilidad que resulte ser 1: describe una distribución sin dispersión ninguna, en la que toda observación es la media y la idea de una distancia al centro deja de significar algo. El panel informa de un error en vez de devolver un 0 % o un 100 % de aspecto plausible. Las dispersiones negativas se rechazan por la misma razón: una desviación estándar es una distancia, así que no puede ser negativa, y usar en silencio su valor absoluto escondería un error en los datos.

¿Puedo usar esto con datos que no son normales?

La puntuación z la puedes calcular para cualquier conjunto de valores, porque una media y una desviación estándar existen para cualquier dato. Las probabilidades son la parte que necesita el supuesto: son áreas bajo una curva normal, y una distribución torcida o de colas largas no coincidirá con ellas. El desajuste aparece primero en las colas, donde la parte verdadera más allá de una distancia grande suele ser mayor de lo que la curva normal afirma, y por eso el 0,3 % más allá de tres desviaciones estándar de la regla empírica hay que tratarlo como una propiedad del modelo normal y no como una promesa sobre tus mediciones.

¿Por qué el valor se trata como una sola observación y no como la media de una muestra?

Porque eso es lo que son las tres probabilidades: la parte de la distribución por debajo, por encima y alrededor de un único valor. Leer una media muestral contra esa misma media y esa misma dispersión es otro cálculo, y la dispersión que haría falta es el error estándar de la media y no la dispersión de las observaciones individuales: las dos difieren en un factor igual a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, así que usar una en lugar de la otra da una respuesta que parece razonable y está mal. Si tu valor es él mismo un promedio, escribe el error estándar como desviación estándar.

• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function behind every probability on this page, and the z-table it is read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the z-score as a standardised value, and the areas a normal table records) — OpenStax, Rice University
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (reading probabilities off a normal curve, including the complements this page reports as below and above) — OpenStax, Rice University