Calculadora de la regla empírica

una sigma: media ± 1σ · dos sigma: media ± 2σ · tres sigma: media ± 3σ · proporción dentro de kσ = 2Φ(k) − 1, donde Φ es la función de distribución normal estándar

mean

El centro de la distribución. Los seis extremos son simétricos alrededor de ella, así que moverla desliza todo el conjunto de intervalos sin cambiar ninguna de las tres proporciones

standardDeviation

Cuánto se dispersa la distribución, y la unidad en la que se cuenta la regla: una sigma, dos sigma, tres sigma. Tiene que ser positiva: una distribución normal con desviación estándar cero es un solo punto, y la regla no tiene nada que decir sobre él

kσ

El número de desviaciones estándar: 1, 2 o 3. La proporción dentro de un intervalo depende solo de k, y esa es la razón de que los tres porcentajes sean iguales en cualquier página de resultados, sean cuales sean la media y la desviación estándar

2Φ(k) − 1

La proporción exacta entre −kσ y +kσ. La regla empírica redondea esto a 68 / 95 / 99,7 para poder recordarlo; la página imprime el valor sin redondear, que es lo que el redondeado abrevia

Úsala para convertir una media y una desviación estándar en intervalos que se puedan señalar. La regla empírica suele encontrarse como una frase sobre porcentajes, que es difícil de aplicar a una medición concreta; la misma afirmación en la forma de cualquier valor por encima de 130 está a más de dos desviaciones estándar sí lo es. Es también la comprobación rápida de sensatez de una desviación estándar: si una desviación estándar a cada lado de la media cubre un intervalo que no puede contener el 68 % de los datos —porque se sale de un límite duro o porque los datos se ven claramente torcidos—, entonces el modelo normal es el equivocado para esos datos, y la comprobación no cuesta nada. La página da por supuesta una distribución normal de principio a fin: no ajusta ninguna a tus datos ni te dice si el supuesto se cumple.

1. Una media de 100 y una desviación estándar de 15

   1. Una desviación estándar a cada lado de 100 va de 100 − 15 = 85 a 100 + 15 = 115
   2. Dos desviaciones estándar van de 100 − 30 = 70 a 100 + 30 = 130
   3. Tres desviaciones estándar van de 100 − 45 = 55 a 100 + 45 = 145
   4. Las proporciones no usan en absoluto la media ni la desviación estándar: 68,27 % dentro de 1σ, 95,45 % dentro de 2σ y 99,73 % dentro de 3σ

   Los tres porcentajes son idénticos en todos los ejemplos de esta página, y eso es el contenido de la regla y no una casualidad de este ejemplo. Una distribución normal queda descrita por completo por su centro y su dispersión, y la proporción que cae dentro de k desviaciones estándar del centro depende solo de k, así que la media y la desviación estándar mueven los extremos y no tocan nunca las proporciones. Si un resultado mostrara alguna vez un porcentaje que se mueve al mover la media, es que los porcentajes se estarían calculando a partir de la cantidad equivocada, y el imprimirlos en esas mismas tres filas es lo que hace visible ese error.

2. La normal estándar: media 0 y desviación estándar 1

   1. Una desviación estándar a cada lado de 0 va de −1 a 1
   2. Dos desviaciones estándar van de −2 a 2, y tres de −3 a 3
   3. Las proporciones no cambian: 68,27 %, 95,45 % y 99,73 %

   Con media cero y desviación estándar uno los extremos son los propios recuentos de sigma, lo que convierte esta versión en la que merece la pena memorizar: los números −1, −2, −3 y sus positivos son las puntuaciones z, y cualquier otra distribución normal es esta misma estirada y desplazada. Muestra además por qué las proporciones no pueden depender de los datos de entrada: aquí los extremos son literalmente los valores de k, y los porcentajes que tienen al lado son los mismos que había con una media de 100.

3. Una desviación estándar pequeña: media 500 y desviación estándar 0,5

   1. Una desviación estándar es media unidad, así que el primer intervalo va de 499,5 a 500,5
   2. Dos desviaciones estándar van de 499 a 501, y tres de 498,5 a 501,5
   3. Las proporciones siguen siendo 68,27 %, 95,45 % y 99,73 %

   Nada de la regla depende de que la desviación estándar sea un número redondo ni grande, y una distribución estrecha es justo donde los intervalos dejan de poder leerse de un vistazo. Una banda de tolerancia en una pieza mecanizada se escribe habitualmente así —un valor objetivo y una dispersión mucho menor que ese objetivo—, y la salida útil es entonces la fila de los extremos y no la de los porcentajes. Es también un recordatorio de que el intervalo del 99,7 % cubre casi todo solo cuando la distribución es normal de verdad: aquí tres desviaciones estándar son un intervalo pequeño en términos absolutos, y cualquier proceso real con una cola más pesada dejaría fuera mucho más del 0,27 %.

4. Una media negativa: −2,5 con una desviación estándar de 1,25

   1. Una desviación estándar a cada lado de −2,5 va de −3,75 a −1,25
   2. Dos desviaciones estándar van de −5 a 0: el extremo superior cae exactamente en cero
   3. Tres desviaciones estándar van de −6,25 a 1,25, que cruza el cero
   4. Las proporciones no cambian: 68,27 %, 95,45 % y 99,73 %

   Una media por debajo de cero es de lo más corriente —una anomalía de temperatura, un rendimiento logarítmico, la diferencia entre dos mediciones— y es el caso en el que los intervalos cruzan el cero, así que una implementación con un error de signo todavía puede parecer correcta en todos los ejemplos positivos. Que el extremo superior de las dos sigma caiga aquí exactamente en cero es el tipo de coincidencia que hace que una respuesta equivocada parezca deliberada, y por eso el caso está fijado como prueba en lugar de dejarse al azar. La desviación estándar sigue siendo positiva en cualquier caso: es una anchura y no una coordenada, y solo la media lleva signo.

La regla pertenece a la distribución normal y a ninguna otra. Se repite a menudo como si el 68 % fuera un hecho sobre los datos en general, pero es una propiedad de una curva concreta: una distribución con otra forma tiene otras proporciones a una, dos y tres desviaciones estándar, y una torcida puede tener proporciones muy distintas a cada lado de la media. Así que la página da por supuesta la normalidad en lugar de comprobarla, y un resultado aquí vale lo que valga ese supuesto. Hay tres límites más. La desviación estándar tiene que ser positiva: en cero la distribución se queda en un solo punto y la pregunta de qué proporción cae dentro de cero alrededor de la media no tiene una respuesta útil, así que la página rechaza el dato en lugar de elegir una. Las tres proporciones son valores exactos de la función de distribución normal, así que diferirán en el segundo decimal del 68, del 95 y del 99,7 con los que se cita habitualmente la regla; la página no los redondea para que cuadren con el nombre, porque el redondeo es la abreviatura y el número impreso es aquello que la abreviatura representa. Y la página no ajusta una distribución a tus datos ni comprueba si alguna se ajusta: toma una media y una desviación estándar como dadas e informa de lo que se sigue de ellas.

¿Por qué la página dice 68,27 % si la regla dice 68 %?

Porque el 68 del nombre es una cifra redondeada y 68,27 % es el valor al que redondea. La regla empírica es una manera de recordar tres números, y un 68 %, un 95 % y un 99,7 % aproximados es lo que la mayoría de la gente puede retener; las proporciones exactas dentro de una, dos y tres desviaciones estándar de la media de una distribución normal son 68,27 %, 95,45 % y 99,73 %, y eso es lo que la página calcula en lugar de citarlo. Si vas a construir un cálculo sobre uno de estos números, el que conviene usar es el que no está redondeado: una cifra redondeada usada como dato de entrada produce una respuesta desviada de una manera que nadie podrá rastrear hasta el redondeo.

¿Cambian los porcentajes si cambio la media o la desviación estándar?

No, y ese es todo el contenido de la regla. Una distribución normal queda fijada por dos números, su centro y su dispersión, y la proporción que cae dentro de k desviaciones estándar del centro depende solo de k: uno, dos o tres. Así que cambiar la media desliza los seis extremos a lo largo de la recta numérica y cambiar la desviación estándar los estira o los aprieta, mientras que las tres proporciones se quedan exactamente donde estaban. Si un resultado mostrara alguna vez una proporción que se mueve con los datos de entrada, es que las proporciones se estarían calculando a partir de los extremos en lugar de a partir del número de desviaciones estándar, y eso sería un error y no una propiedad de los datos.

¿Qué me dice realmente el intervalo? ¿Es una probabilidad?

Es una probabilidad, leída como proporción de la distribución. Si una magnitud está realmente distribuida de forma normal con la media y la desviación estándar que has escrito, entonces la probabilidad de que un único valor extraído de ella caiga dentro del intervalo de una sigma es del 68,27 %, y los intervalos traducen las desviaciones estándar a las unidades en las que estás midiendo para que la afirmación se pueda aplicar a un número concreto. Lo que no es, es una afirmación sobre tu muestra concreta: una distribución puede cubrir el 68 % de su probabilidad en un intervalo mientras los datos que tienes delante tienen otra proporción dentro de él, y la página no tiene datos, tiene dos parámetros que has escrito tú.

¿Cómo sé si la distribución normal es el modelo adecuado?

Esta página no puede decírtelo, porque nunca ve los datos. Lo que sí te da es una comprobación rápida de la plausibilidad del modelo: si una desviación estándar a cada lado de la media cubre un intervalo que no puede contener de forma plausible unos dos tercios de los valores —porque el intervalo se sale de un suelo o un techo duros, porque son recuentos que no pueden bajar de cero o porque la distribución está visiblemente torcida—, entonces el supuesto normal está haciendo un daño real y los porcentajes de esta página describen una curva que los datos no siguen. Un histograma o un gráfico de probabilidad normal son la manera habitual de responder bien a la pregunta; la aritmética de aquí va por detrás de esa respuesta y no la sustituye.

¿Por qué la desviación estándar no puede ser cero?

Porque una distribución normal con desviación estándar cero se ha quedado en un solo punto y la regla deja de significar algo ahí. Todos los valores estarían exactamente sobre la media, así que los intervalos de una, dos y tres desviaciones estándar de ancho tendrían todos anchura cero, y preguntar qué proporción de la distribución contienen admite dos respuestas defendibles —toda, puesto que todo está en la media, o ninguna, puesto que el intervalo no tiene extensión— sin manera de elegir entre ellas. En lugar de escoger una en silencio, la página rechaza el dato y dice que la desviación estándar tiene que ser positiva. Una desviación estándar que salga cero en un cálculo real casi siempre significa una sola observación o un problema al introducir los datos, y no una distribución de verdad.

¿Es lo mismo que la calculadora que da probabilidades a partir de la puntuación z?

Son dos entradas a la misma distribución normal. La calculadora de puntuación z toma un valor y te dice dónde cae y qué probabilidad queda por debajo; esta página toma la media y la desviación estándar y despliega los tres intervalos estándar con la proporción que cubre cada uno. Lo que cambia es la dirección de la pregunta: una parte de una medición y la otra parte de la propia regla. Los datos de entrada son deliberadamente idénticos, la media y la desviación estándar en los mismos dos campos, para que pasar de una página a otra no obligue a reescribir nada, y las dos no pueden discrepar sobre la distribución subyacente porque la calculan de la misma manera.

• 68-95-99.7 Rule — from Wolfram MathWorld (the rule stated as approximately 68%, 95% and 99.7%, the more precise probabilities, and the note that the rule is specific to the normal distribution rather than a general statement about arbitrary distributions) — Wolfram MathWorld
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the empirical rule stated for a normally distributed variable: about 68% of values within one standard deviation of the mean, 95% within two, 99.7% within three) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the normal distribution its parameters and its cumulative distribution function, which is what the three shares on this page are computed from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)