Calculadora del teorema de Bayes

P(A | E) = P(E | A) · P(A) / [ P(E | A) · P(A) + P(E | ¬A) · P(¬A) ]

P(A)

La probabilidad a priori de la condición, escrita en porcentaje: lo que creías antes de que llegara la evidencia. Pesa más de lo que la gente espera; cuando es pequeña hace falta mucha evidencia para moverla lejos

P(E | A)

La verosimilitud de la evidencia cuando la condición está presente. En una prueba es la tasa de detección o sensibilidad: la proporción de casos reales que la prueba detecta

P(E | ¬A)

La verosimilitud de la misma evidencia cuando la condición está ausente. En una prueba es la tasa de falsos positivos, y es el término que hace casi todo el daño cuando no es pequeño

P(¬A)

La probabilidad de que la condición no esté presente, que es 100 % menos la probabilidad a priori. El denominador suma las dos maneras en que la evidencia puede aparecer, ponderadas por lo común que es cada estado

P(E)

La probabilidad total de la evidencia en la población, esté presente o no la condición. Es el denominador, y el panel la informa aparte porque un valor pequeño aquí es lo que hace que la probabilidad a posteriori se mueva de golpe

P(A | E)

La probabilidad a posteriori: la creencia después de la evidencia. El panel informa también su complementaria, porque la frase que de verdad comunica el número suele ser la otra: la prueba dio positivo y aun así hay un 84,62 % de probabilidad de no tener la condición

Úsala siempre que un resultado de prueba haya que leerlo contra lo común que es de verdad aquello que se busca: un cribado en una población de prevalencia baja, un filtro de correo que lee una palabra, un chequeo sobre una avería rara o cualquier situación en la que un positivo se esté tratando como una prueba concluyente. También sirve para la pregunta inversa, que suele ser mucho más útil que la probabilidad a posteriori de un caso concreto: calcular qué calidad necesita una prueba para que un positivo signifique algo. Y hay un caso en el que conviene no usarla: si no tienes ninguna idea defendible de la probabilidad a priori, la respuesta honesta es que la a posteriori va a estar dominada por esa ignorancia, y el panel te enseña exactamente cuánto.

1. Una condición del 1 %, con un 90 % de detección y un 5 % de falsos positivos

   1. Toma 10.000 personas: unas 100 tienen la condición y 9900 no
   2. De las 100 que la tienen, el 90 % da positivo, así que hay unos 90 positivos verdaderos
   3. De las 9900 que no la tienen, el 5 % también da positivo: unos 495 falsos positivos
   4. Un positivo sale por tanto de 90 + 495 = 585 personas, y 90 / 585 = 15,38 %

   Este es el caso alrededor del cual está construida la página entera, y la aritmética de los pasos explica por qué. Contar personas hace visible el mecanismo: la tasa de falsos positivos se aplica a un grupo noventa y nueve veces mayor que el grupo que tiene la condición, así que produce cinco veces y media más positivos que los que produce la tasa de detección. El 15,38 % no dice que la prueba sea mala —un 90 % de detección es bueno—, dice que la condición era lo bastante rara como para que los errores superaran los aciertos. El 84,62 % complementario cuenta lo mismo desde el otro lado, y el cambio de 14,38 puntos porcentuales es lo que vale de verdad una prueba de esta calidad en este escenario.

2. Una condición del 2 % con una prueba acertada en el 99 % de los casos

   1. Toma 10.000 personas: unas 200 tienen la condición y 9800 no
   2. De las 200 que la tienen, el 99 % da positivo: unos 198 positivos verdaderos
   3. De las 9800 que no la tienen, el 1 % también da positivo: unos 98 falsos positivos
   4. Un positivo sale de 198 + 98 = 296 personas, y 198 / 296 = 66,89 %

   Hasta una prueba que se equivoca solo una vez de cada cien deja mal un tercio de sus positivos, porque se aplica a un grupo cuarenta y nueve veces mayor. Baja la tasa de falsos positivos del 1 % al 0,1 % manteniendo la prevalencia del 2 % y la a posteriori pasa del 95 %: las dos palancas no son intercambiables. La tasa de detección fija cuántos positivos verdaderos obtienes y la de falsos positivos fija en cuánto ruido van enterrados; mejorar la segunda suele rendir mucho más que mejorar la primera, y este ejemplo es la manera más barata de verlo antes de encargar una prueba mejor.

3. Una evidencia que va en contra de la condición

   1. Se parte de una probabilidad a priori equilibrada: 50 % a favor de la condición y 50 % en contra
   2. La evidencia es cinco veces más verosímil cuando la condición está ausente (90 % frente a 5 %)
   3. El denominador es 0,05 × 0,5 + 0,9 × 0,5 = 0,475, así que la evidencia en sí es bastante probable
   4. La a posteriori es 0,025 / 0,475 = 5,26 %, una caída de 44,74 puntos porcentuales

   El cambio negativo es lo que merece una pausa, y la razón de que exista la unidad de puntos porcentuales. Pasar del 50 % al 5,26 % es una caída de 44,74 puntos porcentuales; no es una caída del 44,74 %, que dejaría la a posteriori en torno al 27,6 %. Leer el cambio como una variación relativa es la forma habitual de citar mal este panel, y el signo es lo que indica que la evidencia apuntaba al otro lado. Fíjate además en que la evidencia aquí no tiene nada de rara —aparece con un 47,5 % de probabilidad— y aun así es muy informativa, porque lo informativo sale de la razón entre las dos verosimilitudes y no de que la evidencia sea infrecuente.

La probabilidad a posteriori vale lo que valen los tres números que escribes, y la a priori es el que más tienta a inventarse. Cuando la condición es rara, la a posteriori está dominada por la a priori y por la tasa de falsos positivos, así que una suposición optimista en cualquiera de las dos produce una respuesta segura y equivocada: el panel no puede avisarte de que tu a priori era una corazonada. Hay dos advertencias más. Las verosimilitudes se tratan como exactas, de modo que una tasa de detección copiada de un estudio de validación pequeño se está usando con una precisión que no tiene. Y el cálculo es para una sola pieza de evidencia leída una sola vez: aplicar la misma prueba dos veces no es lo mismo que aplicar dos pruebas independientes, porque un segundo resultado del mismo instrumento imperfecto está correlacionado con el primero; reinyectar la a posteriori como nueva a priori exagerará lo que aporta la segunda. Cuando la evidencia es imposible en todos los estados —las dos verosimilitudes a 0 %, o una tasa de falsos positivos del 0 % contra una a priori del 0 %— el denominador es cero y no hay a posteriori que informar, porque condicionar sobre algo que no puede ocurrir no es una pregunta con respuesta.

¿Por qué una prueba con un 90 % de acierto deja la probabilidad en un 15 %?

Porque el acierto sobre las personas que tienen la condición y el acierto sobre las que no la tienen son dos números distintos, y el segundo se multiplica por un grupo mucho mayor. Con una prevalencia del 1 %, las personas sin la condición superan a las que la tienen en una proporción de noventa y nueve a uno, así que una tasa de falsos positivos del 5 % genera cientos de falsos positivos donde una tasa de detección del 90 % genera decenas de aciertos. La prueba está haciendo su trabajo; simplemente la condición es lo bastante rara como para que sus errores superen sus capturas. Esto es la tasa base en acción, y es la razón de que la probabilidad a priori sea un dato obligatorio y no un detalle de última hora.

¿Qué son los puntos porcentuales de la fila de cambio?

Son la diferencia entre la probabilidad a priori y la a posteriori, medida en puntos porcentuales y no como variación relativa. Pasar del 50 % al 5,26 % es un cambio de −44,74 puntos porcentuales; no es una bajada del 44,74 %, que dejaría la a posteriori cerca del 27,6 %. La distinción importa sobre todo en los movimientos grandes, donde la lectura relativa se equivoca por completo, y el signo es lo que te dice hacia dónde empujó la evidencia: un cambio negativo significa que la evidencia iba en contra de la condición.

¿Puedo usar la probabilidad a posteriori como a priori de la siguiente prueba?

Solo si la segunda pieza de evidencia es de verdad independiente de la primera. Dos resultados de la misma prueba no lo son: un falso positivo en una pasada hace más probable un falso positivo en la siguiente, porque el instrumento tiene el mismo defecto las dos veces. Reinyectar la a posteriori como nueva a priori de todos modos exagerará lo que aporta el segundo resultado, a veces mucho. Cuando la evidencia sí es independiente, actualizar en dos pasos da el mismo resultado que actualizar una sola vez con las dos piezas a la vez, así que el atajo es seguro exactamente cuando se cumple la independencia.

¿Qué significa la fila de la probabilidad de la evidencia?

Es la probabilidad total de ver la evidencia, esté presente la condición o no: el denominador del teorema, que pondera cada verosimilitud por lo común que es su estado. Merece informarse porque explica el tamaño del salto. Cuando la evidencia es poco frecuente en conjunto, es de esperar una a posteriori lejos de la a priori; cuando la evidencia es común, hace falta una razón de verosimilitudes muy fuerte para mover nada. En el primer ejemplo la evidencia aparece en el 5,85 % de las personas, y esa es la razón de que un solo positivo pueda mover tanto la creencia.

¿Cuándo no hay respuesta ninguna?

Cuando la evidencia es imposible en todos los estados, lo que hace que el denominador sea cero y que condicionar sobre ella quede sin definir. Ocurre si las dos verosimilitudes son del 0 %, si la a priori es del 0 % y la tasa de falsos positivos también, o si la a priori es del 100 % y la tasa de detección es del 0 %: en cada caso la evidencia no puede ocurrir, así que el supuesto de la evidencia es una condición vacía. El panel avisa del error en lugar de devolver un 0 % o un 50 %, porque lo que falta es la probabilidad, no una probabilidad de cero.

¿La calculadora da también la razón de verosimilitud?

No, y la razón es que la forma de apuestas se rompe en los extremos del rango de entrada. Las apuestas de un suceso son su probabilidad dividida entre uno menos esa probabilidad, así que una a priori del 100 % da apuestas infinitas, y imprimir eso rompería el panel de resultados en vez de informar a nadie. La fila de cambio hace el mismo trabajo en una forma que sobrevive a cualquier entrada legal: dice cuánto y en qué dirección mueve la creencia una pieza de evidencia, que suele ser la pregunta que hay detrás de quien pide la razón de verosimilitud.

• Bayes' Theorem — Stanford Encyclopedia of Philosophy (the theorem itself, its special forms including the odds form, and the subjectivist reading of probability as degree of belief) — Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford University
• 3.3 Two Basic Rules of Probability — Introductory Statistics 2e (the multiplication rule and conditional probability, which are the two pieces the posterior is assembled from) — OpenStax, Rice University
• 3.5 Tree and Venn Diagrams — Introductory Statistics 2e (the tree-diagram route to the same posterior, which is the count-of-people arithmetic used in the worked examples above) — OpenStax, Rice University