Calculadora de valor esperado

E[X] = Σ pᵢ xᵢ Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² σ = √Var(X)

xᵢ

Un resultado, el valor del i-ésimo elemento de la lista. Puede ser negativo y puede llevar decimales; la lista es una serie de números separados por puntos y coma, comas o espacios, hasta 200

pᵢ

La probabilidad de ese resultado, escrita como un porcentaje entre 0 y 100. Las dos listas se leen en paralelo, así que la tercera probabilidad pertenece al tercer resultado, y las dos tienen que tener la misma longitud

E[X]

El valor esperado: cada resultado multiplicado por su propia probabilidad y los productos sumados. Es la media ponderada que el panel informa en primer lugar, y el único número de la página contra el que se miden los demás

Var(X)

La varianza: para cada resultado, la distancia al valor esperado elevada al cuadrado y ponderada por la probabilidad de ese resultado. Elevar al cuadrado es la razón de que un solo resultado muy alejado pueda dominarla

σ

La desviación estándar, la raíz cuadrada de la varianza. Vuelve a las mismas unidades que los propios resultados, y eso es lo que la convierte en el número que hay que leer cuando lo que se quiere saber es cuánto se dispersa la distribución

Σ

Sumar sobre todos los resultados de la lista. Nada se pondera dos veces y nada se descarta: que las probabilidades sumen 100 % es lo que hace de la lista una descripción completa de las posibilidades

Úsala siempre que los resultados sean pocos como para enumerarlos y cada uno tenga una probabilidad que puedas nombrar: un juego con una tabla de pagos, una garantía que cuesta una cantidad fija y responde en una fracción conocida de las unidades, una decisión con tres escenarios. Recurre a la media aritmética cuando los números sean observaciones y no posibilidades: una lista de mediciones pide una media y no un valor esperado, y dividir entre el número de datos da por supuesto que todos los valores son igual de probables, que es justo el supuesto que esta página sustituye por probabilidades explícitas. Recurre a una distribución cuando los resultados sigan un patrón que se pueda escribir con una fórmula: un recuento de éxitos en un número fijo de ensayos tiene su propia media, y un recuento de Poisson tiene una media igual a su varianza, así que no hace falta escribir cada recuento con su probabilidad. El largo plazo es el marco en el que todos estos números tienen sentido: un valor esperado es aquello a lo que converge la media tras muchas repeticiones, no un pronóstico de la siguiente.

1. Cinco resultados con probabilidades desiguales

   1. Se multiplica cada resultado por su probabilidad en forma de fracción: 5 × 0,10 = 0,5; 10 × 0,20 = 2; 20 × 0,30 = 6; 40 × 0,25 = 10; 100 × 0,15 = 15
   2. Se suman los cinco productos: 0,5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33,5, que es el valor esperado
   3. Para la varianza se resta 33,5 a cada resultado, se eleva al cuadrado y se pondera: 0,10 × 812,25 + 0,20 × 552,25 + 0,30 × 182,25 + 0,25 × 42,25 + 0,15 × 4422,25 = 920,25
   4. La raíz cuadrada de 920,25 es 30,3356, la desviación estándar

   Las probabilidades se escriben como porcentajes, y eso es lo más fácil de equivocar aquí: leer el 10 como una fracción en lugar de como diez por ciento da 3,35 en vez de 33,5, y la respuesta equivocada no tiene ningún aspecto raro. La dispersión merece una segunda mirada: una desviación estándar de 30,34 frente a un valor esperado de 33,5 quiere decir que el resultado de 100, improbable como es al 15 %, está haciendo casi todo el trabajo, y la varianza de 920,25 dice lo mismo en unidades al cuadrado.

2. Un dado equilibrado, donde la respuesta no se puede sacar

   1. Seis resultados, cada uno con una probabilidad del 16,67 %; el último lleva 16,65 % para que los seis sumen exactamente 100
   2. Cada producto va de 1 × 0,1667 a 6 × 0,1667, y entre todos suman 3,4995
   3. La varianza es la media de las distancias al cuadrado respecto a 3,4995, que sale 2,916
   4. La raíz cuadrada de 2,916 es 1,7076

   Este es el ejemplo que conviene tener presente cuando un valor esperado parece imposible: 3,5 es la respuesta correcta para un dado de seis caras y ninguna cara lo muestra. Un valor esperado es una propiedad de toda la distribución y no una predicción de una tirada concreta. Es también el caso más claro de que la desviación estándar se gana el sitio: 1,7076 está medida en puntos, las mismas unidades que los resultados, así que la tirada cae de media a unos 1,7 de 3,5 es una frase sobre la que se puede actuar, mientras que la varianza de 2,916 está en puntos al cuadrado.

3. Un pago de seguro, y un valor esperado negativo

   1. Dos resultados: que no pase nada, o que pase y cueste 5000, escrito como −5000
   2. Se ponderan: 0 × 0,97 + (−5000) × 0,03 = −150
   3. La varianza es 0,97 × (0 + 150)² + 0,03 × (−5000 + 150)² = 727.500
   4. Su raíz cuadrada es 852,9361

   Un valor esperado negativo no es un error ni un motivo para no hacer el cálculo: es la respuesta a una pregunta real y la más frecuente de las que traen aquí. Si este suceso tiene un 3 % de probabilidad de costar 5000, entonces de media cada periodo cuesta 150, y una prima por encima de 150 es el precio de no cargar tú con el riesgo. Fíjate en lo poco que dice por sí sola la desviación estándar de 852,94: la domina esa misma rama rara del 3 %, así que en realidad está repitiendo que la pérdida es grande e infrecuente y no que los resultados estén dispersos de una manera interesante.

4. Por qué la media ponderada no es la media normal

   1. Los cuatro resultados suman 160, así que su media normal es 40
   2. Ponderados: 10 × 0,40 + 20 × 0,30 + 30 × 0,20 + 100 × 0,10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. La varianza es 0,40 × 256 + 0,30 × 36 + 0,20 × 16 + 0,10 × 5476 = 664
   4. Su raíz cuadrada es 25,7682

   Los dos números se diferencian en más de un tercio, y la razón está por completo en las probabilidades: el resultado grande de 100 solo carga con el 10 % del peso, mientras que los pequeños de 10 y 20 cargan entre los dos con el 70 %. Siempre que alguien cita una media sin decir si es ponderada, esta es la diferencia que se esconde detrás de la palabra. Es también la razón de que una probabilidad de 0 sea un dato con sentido y no un hueco: ese resultado sigue ocupando su lugar en la lista y no aporta nada, que es la diferencia entre imposible y no preguntado.

Tres cosas de esta página se leen mal con facilidad, y las tres son sobre los datos de entrada y no sobre la aritmética. Las probabilidades tienen que sumar 100 %, y la página se niega a arreglarlo por ti: reescalar en silencio un reparto de 40 y 50 a 44,4 y 55,6 produciría un número de aspecto completamente normal que responde a una pregunta que no has hecho. La tolerancia es media unidad de la última cifra decimal por entrada, y por eso tres partes iguales escritas como 33,33 cada una se aceptan al sumar 99,99 y un par de 40 y 50 no. Las dos listas tienen que tener la misma longitud, porque las entradas se leen en paralelo: una probabilidad que falta no es un cero, es un desalineamiento, y la página lo dice en lugar de emparejar los números equivocados sin avisar. Más allá de los datos de entrada, la interpretación tiene límites. Un valor esperado describe una serie larga de repeticiones, así que no dice nada útil sobre una sola vez, y puede estar dominado por un resultado extremo y raro de una manera que el número único no revela: para eso hay que leer a su lado la desviación estándar o la varianza. También da por supuesto que las probabilidades que escribes son las de verdad: todo esto es aritmética sobre los números que aportas, y un valor esperado preciso construido sobre una probabilidad estimada a ojo es una respuesta precisa a otra pregunta. Y no hay tabla de valores esperados frecuentes, porque una tabla así no puede ver los resultados ni las probabilidades que has escrito, y una tabla que contradijera al panel de encima sería peor que ninguna tabla.

¿Qué me dice realmente un valor esperado?

Te dice el resultado medio que verías si repitieras la misma situación muchas veces y promediaras los resultados, ponderando cada uno por la frecuencia con la que aparece. Para un juego con una tabla de pagos es el precio de equilibrio: un valor esperado de −150 por ronda significa que un precio justo para jugar es 150, y un precio por debajo de eso juega a tu favor. Lo que no te dice es qué pasa después. Una ronda produce un resultado de la lista y nunca la media, así que un valor esperado positivo es del todo compatible con perder todas las veces que juegues un puñado de rondas.

¿Puede el valor esperado ser un número que no salga nunca?

Sí, y además es lo habitual. Cada una de las seis caras de un dado equilibrado tiene una probabilidad del 16,67 % y el valor esperado es 3,5, una cara que el dado no tiene. La razón es que el valor esperado es una media ponderada de toda la lista y no un miembro de ella: es el punto de equilibrio de la distribución, y un punto de equilibrio puede caer en un hueco vacío entre los pesos. Lo mismo pasa con una lotería, donde el valor esperado es un número negativo pequeño que ningún boleto puede producir.

¿Por qué las probabilidades tienen que sumar 100 %?

Porque dos listas que describen el mismo conjunto de posibilidades tienen que dar cuenta de todas ellas. Si tus probabilidades suman 90 %, o falta un resultado en la lista o una de las probabilidades está mal, y la página no tiene manera de saber cuál de las dos cosas es, así que informa de la suma en lugar de adivinar. Deliberadamente no reescala tus números a 100 %: dividir 40 y 50 entre su suma los convertiría en 44,4 y 55,6 y daría una respuesta a una pregunta que no has hecho, sin nada en el panel que muestre que ha pasado. La tolerancia es media unidad de la última cifra decimal por entrada, así que tres partes iguales escritas como 33,33 suman 99,99 y se aceptan.

¿En qué se diferencia esto de la media aritmética?

La media aritmética divide entre el número de valores, lo que equivale a suponer que todos los valores son igual de probables. El valor esperado sustituye ese supuesto por probabilidades que eliges tú, así que un valor con un 10 % de probabilidad tira del resultado diez veces menos que un valor con un 100 % de probabilidad. Los dos coinciden solo cuando las probabilidades son todas iguales: cuatro resultados al 25 % cada uno dan el mismo número por las dos vías. Cuando discrepan, la diferencia está por completo en los pesos, y por eso una media citada sin decir si es ponderada merece una pregunta.

¿Qué significa un valor esperado negativo?

Significa que los resultados del lado de la pérdida son lo bastante grandes o lo bastante probables como para pesar más que el resto, de modo que repetir la decisión promedia una pérdida. No es lo mismo que decir que vas a perder: un 3 % de probabilidad de perder 5000 frente a un 97 % de probabilidad de nada tiene un valor esperado de −150, y la mayoría de los periodos no cuestan nada. Lo que sí dice el número negativo es cuánto cuesta el riesgo de media, que es el número con el que hay que comparar una prima, un precio o un presupuesto de seguro. Es el terreno en el que este cálculo resulta más útil, y una respuesta negativa ahí es un resultado y no un fallo.

¿Por qué no hay ninguna tabla de valores esperados en esta página?

Porque la respuesta depende por completo de las dos listas que escribes, y una tabla de referencia no puede verlas. La tabla que la gente quiere es una lista corta de casos conocidos —un dado, un boleto de lotería, una apuesta de ruleta—, pero cada uno de ellos tiene sus propios resultados y sus propias probabilidades, así que una fila impresa estaría respondiendo a una pregunta distinta de la del panel y las dos discreparían a veces a la vista. El panel es la tabla: cambia los resultados y las probabilidades y las mismas tres filas se recalculan. Las páginas que sí se benefician de una tabla fija son aquellas cuya tabla no depende de los datos de entrada, como una escala de calificación o un conjunto de tramos.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 (the mean as the balance point of a list of values, and how a single extreme value moves it — the reason an expected value can sit far from every outcome on the list) — OpenStax, Rice University
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, which is the quantity this page weights by the probabilities instead of counting equally) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for an outcome to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)