Calculadora de distribución de Poisson

P(X = k) = e^(−λ) · λ^k / k! con λ = tasa × duración del intervalo, y Var(X) = λ

λ

El número esperado de sucesos en el intervalo: la tasa multiplicada por la duración de la ventana, y el único parámetro de la distribución. Todo en esta página es función de él, y por eso se piden por separado una tasa y una duración en lugar de un solo número

k

El número de sucesos por el que preguntas. Es un recuento entero desde 0 en adelante, y el 0 es una respuesta real y no un hueco: que no ocurra ninguno es el resultado más probable siempre que lambda esté por debajo de 0,7 aproximadamente

e^(−λ)

El peso de que no ocurra absolutamente nada, antes de meter el recuento en la cuenta. Es la razón de que toda la distribución se encoja a medida que lambda crece: cuanto mayor es el recuento esperado, menor es la probabilidad de no ver ninguno

λ^k / k!

La parte que crece con k y después baja: la potencia k-ésima de la media dividida entre el factorial del recuento. Su máximo está en k = λ, y ese máximo es donde la distribución gasta la mayor parte de su masa

mean = variance = λ

La propiedad que hace reconocible esta distribución. El recuento medio y su varianza son el mismo número, así que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la media: √4 = 2 para una media de cuatro sucesos, √1000 ≈ 31,6 para una media de mil

Úsala cuando cuentes cuántos sucesos llegan por intervalo y las llegadas sean independientes entre sí: cuántas llamadas en una hora, cuántos defectos en un metro cuadrado de tela, cuántas partículas en una ventana fija de conteo. Dos condiciones cargan con casi todo el peso. Los sucesos tienen que ser raros en relación con la oportunidad de que ocurran, porque una tasa tan alta que el recuento esté en la práctica limitado por otra cosa deja de ser de Poisson, y no deben agruparse, porque una ráfaga de llegadas con una misma causa rompe la independencia que da su forma a la distribución. Recurre a la binomial cuando el número de oportunidades sea fijo y contable, ya que un recuento de Poisson no tiene tope superior mientras que uno binomial no puede superar su número de ensayos; recurre a la aproximación normal cuando lambda sea grande, donde las dos coinciden de cerca y las bandas de desviación estándar de siempre se vuelven legibles. Que la media sea igual a la varianza es además el diagnóstico más rápido que hay: divide la varianza entre la media de un conjunto de recuentos y, si el cociente se aleja mucho de uno, el proceso está sobredisperso o infradisperso y este modelo tiene la forma equivocada.

1. Cuatro sucesos por hora, preguntando por tres

   1. La tasa es de 4 por hora en un intervalo de 1 hora, así que lambda es 4
   2. P(X = 3) = e⁻⁴ × 4³ / 3! = 0,018316 × 64 / 6 = 0,1954, es decir el 19,54 %
   3. Sumando los recuentos de 0 a 3 sale un 43,35 % como máximo; el resto de la masa por encima de 3 da un 76,19 % como mínimo
   4. La media es lambda = 4 y la varianza también, lo que hace que la desviación estándar sea √4 = 2

   Las dos filas acumuladas se solapan y eso no es un error: 43,35 % más 76,19 % da 119,54 %, y el exceso sobre 100 % es exactamente el 19,54 % de tres sucesos, que está en las dos filas. Es la misma precaución que con un recuento binomial y la misma trampa: calcular el como mínimo como uno menos el como máximo diría aquí un 56,65 %, que está mal. Fíjate también en que tres sucesos no tienen nada de llamativo cuando la media es cuatro: está media desviación estándar por debajo de la media.

2. El centro de la distribución

   1. Preguntando por cuatro sucesos en lugar de tres: P(X = 4) = e⁻⁴ × 4⁴ / 4! = 0,018316 × 256 / 24 = 0,1954
   2. La probabilidad exacta es el mismo 19,54 % que para tres sucesos, porque el máximo de la distribución está en k = 4 = lambda y los dos recuentos a cada lado son igual de probables
   3. Como máximo cuatro es el 62,88 % y como mínimo cuatro es el 56,65 %
   4. La media, la varianza y la desviación estándar no cambian, porque solo dependen de lambda

   Dos recuentos con la misma probabilidad son la señal visible más clara de que la distribución está centrada en lambda: con una media de cuatro sucesos, ver tres y ver cuatro es igual de probable, y cualquier otro recuento lo es menos. Las filas acumuladas no son simétricas ni siquiera aquí —62,88 % frente a 56,65 %— porque la fila del como máximo incluye entero el k = 4 y la del como mínimo también lo incluye, y por debajo del máximo la distribución es más delgada que por encima.

3. La misma tasa a lo largo de tres horas

   1. La tasa sigue siendo de 4 por hora, pero la duración del intervalo es ahora de 3 horas, así que lambda = 4 × 3 = 12
   2. P(X = 3) = e⁻¹² × 12³ / 3! = 0,0000061 × 1728 / 6 = 0,0018, es decir el 0,18 %
   3. Como máximo tres es el 0,23 % y como mínimo tres es el 99,95 %
   4. La media es 12 y la varianza también, lo que hace que la desviación estándar sea √12 = 3,46

   Este es el ejemplo que separa los dos campos de entrada: no ha cambiado nada salvo la duración de la ventana y la respuesta ha pasado del 19,54 % al 0,18 %. Hacen falta los dos campos porque el parámetro es su producto, y una página que solo tomara la tasa daría la misma respuesta para una hora y para un día. Las filas de resumen se mueven con él: con doce sucesos esperados, tres está a más de dos desviaciones estándar por debajo de la media, y por eso la fila del como mínimo es ya casi la certeza.

4. Un suceso por hora, y no ocurre nada

   1. Con lambda = 1, la probabilidad de exactamente cero sucesos es e⁻¹ = 0,3679, es decir el 36,79 %
   2. Pedir como máximo cero plantea la misma pregunta, así que esa fila repite el mismo número
   3. Como mínimo cero cubre todos los recuentos posibles, así que es exactamente el 100 %, y no el 99,99 %
   4. La media y la varianza son las dos 1, y la desviación estándar también es 1

   Lambda igual a uno es el punto de partida de manual y produce el número más contraintuitivo de la página: más de un tercio de las veces, un proceso que promedia un suceso por hora no produce ninguno. La fila del como mínimo merece leerse también: es el 100 % exacto, porque cero o más es toda la distribución, y una página que la calculara restando a una suma acumulada podría devolver fácilmente un 99,99 % en su lugar. Cero sucesos es además una respuesta legítima que se puede pedir, y por eso el campo del recuento empieza en cero y no en uno.

El modelo de Poisson se apoya en dos supuestos que fallan en silencio, y los dos merecen comprobarse antes de fiarse de los números. Los sucesos tienen que ser independientes entre sí y tienen que llegar a una tasa que no derive dentro del intervalo que indicas. La independencia falla siempre que las llegadas compartan una causa —las llamadas se disparan durante una avería, los defectos se agrupan en una misma pieza de tela, los accidentes se agrupan con mal tiempo— y el síntoma es que los recuentos reales están más dispersos de lo que la página predice, con más intervalos vacíos y más intervalos muy cargados de lo que el modelo permite. Una tasa que deriva falla en el otro sentido: un centro de llamadas con una noche tranquila y una mañana cargada no tiene una sola tasa horaria, y promediar las dos produce un número que no describe ninguna. Más allá de los supuestos, hay dos límites que se aplican en lugar de explicarse. La duración del intervalo y la tasa se pueden escribir cada una hasta unos topes razonables, pero su producto está acotado, porque un recuento medio de millones hace que todas las probabilidades del panel se redondeen a cero y la página prefiere negarse antes que imprimir una tabla de ceros. El recuento tiene que ser un número entero. Y aquí no hay tabla de referencia de probabilidades de Poisson: la tabla que la gente quiere tiene una fila por cada valor de la media, y la media depende de la tasa y del intervalo que has escrito, así que una tabla impresa respondería a una pregunta distinta de la del panel que tiene encima.

¿Qué diferencia hay entre la distribución de Poisson y la binomial?

La binomial cuenta éxitos en un número fijo de ensayos, así que su recuento no puede superar ese número; la de Poisson cuenta sucesos que llegan por su cuenta, así que no tiene tope superior ni un número de ensayos que escribir. La binomial necesita dos datos —cuántos ensayos y la probabilidad de cada uno—, mientras que esta página necesita una tasa y una duración, que se combinan en el único recuento esperado. Las dos coinciden en el caso estrecho en el que el número de ensayos es grande y la probabilidad de cada uno es pequeña, y por eso los sucesos raros se describen de las dos maneras en la práctica. Usa la binomial cuando puedas nombrar las oportunidades, y la de Poisson cuando los sucesos simplemente lleguen.

¿Por qué aquí la media es igual a la varianza?

Porque esa identidad es aquello sobre lo que está construido el modelo y no una casualidad de los ejemplos: en un recuento de Poisson la media y la varianza son el mismo número, lambda, así que la desviación estándar es siempre la raíz cuadrada de la media. Eso da una manera rápida de comprobar si el modelo encaja: toma un conjunto de recuentos observados, divide su varianza entre su media, y si el cociente es muy superior a uno los recuentos están agrupados en lugar de ser independientes, mientras que un cociente muy por debajo de uno significa que son más regulares de lo que el azar los haría. Ninguno de los dos casos se arregla escribiendo otros números: significa que el proceso no es de Poisson.

¿Por qué como máximo k y como mínimo k no son complementarios?

Porque las dos filas incluyen el recuento de exactamente k, así que sumarlas cuenta ese resultado dos veces. En el ejemplo de arriba, como máximo tres es el 43,35 % y como mínimo tres es el 76,19 %, que suman 119,54 %: el exceso sobre 100 % es exactamente el 19,54 % de tres sucesos. Es la misma aritmética que con un recuento binomial y la misma trampa: leer el como mínimo como uno menos el como máximo se equivoca en la probabilidad por la que preguntabas. Si quieres un complementario de verdad, usa la cifra de como máximo k − 1, o lee las tres filas juntas y comprueba que la de exactamente k rellena el hueco entre ellas.

¿Cuándo es un recuento realmente de Poisson?

Cuando los sucesos son independientes, la tasa es estable a lo largo del intervalo y los sucesos son raros en relación con las oportunidades de que ocurran. La independencia es el supuesto que hace el trabajo y el que falla más a menudo, porque el agrupamiento es fácil de pasar por alto con números resumen: una fábrica que declara el mismo total mensual de defectos todos los meses puede estar teniendo igualmente días malos y días tranquilos, y ese agrupamiento aparecerá como recuentos más variables de lo que esta página predice. La comprobación práctica es la de la respuesta anterior: compara la varianza de un conjunto de recuentos con su media. Si están cerca, el modelo describe bien la situación; si están lejos, ninguna elección de tasa lo arregla.

¿Qué pasa cuando la tasa es cero?

No puede ocurrir nada en el intervalo, así que el recuento de cero tiene una probabilidad del 100 % y cualquier otro recuento tiene una probabilidad del 0 %. La página lo informa así en lugar de fallar: una tasa de cero, o una duración de intervalo de cero, dan las dos lambda igual a cero sin sucesos esperados, y preguntar por uno o más devuelve 0 % mientras que preguntar por ninguno devuelve 100 %. Merece la pena saber que esto está tratado de forma explícita, porque la fórmula tal como está escrita contiene un factor de cero elevado a k y un menos infinito que viene del logaritmo, y una implementación que la evaluara sin más produciría un resultado sin sentido en lugar de la respuesta obvia.

¿Por qué no hay ninguna tabla de probabilidades de Poisson en esta página?

Porque cada fila de una tabla así pertenece a un valor distinto de la media, y aquí la media es el producto de los dos números que escribes. Una tabla impresa sería correcta para una tasa y una duración y estaría equivocada para cualquier otra combinación, así que respondería a una pregunta distinta de la del panel, y donde las dos discreparan la correcta sería la del panel. El panel es la tabla: las tres filas de probabilidad son las cifras de exactamente, como máximo y como mínimo para la media que has indicado, y cambiar la tasa o la duración las recalcula. Las tablas de referencia se ganan su sitio en páginas cuyas filas no dependen de ningún dato de entrada, como una escala de calificación o un conjunto de tramos.

• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e (the fixed number of independent trials with a constant success probability, which is precisely the constraint a Poisson count does not have) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case a large-mean Poisson count approaches) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for a count to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)