Calculadora de puntuación z
Resultado
Puntuación z
- Distancia a la media
- 10,00
Una puntuación z dice cuántas desviaciones estándar está un valor por encima o por debajo de la media, lo que hace comparables valores de escalas distintas: una nota de examen, una medición y una lectura de un instrumento de laboratorio se convierten en un solo número en cuanto se ponen en esta escala. Escribe el valor, la media del grupo al que pertenece y la desviación estándar de ese grupo; esta calculadora de puntuación z resta la media, divide entre la desviación estándar y devuelve la puntuación z junto a la distancia a la media en las unidades originales. También dice en qué banda cae la puntuación, de ordinaria a poco frecuente y a candidata a valor atípico.
Las cuatro bandas y qué significa una puntuación z de ese tamaño
| Rango de |z| | Cómo leerlo |
|---|---|
| |z| ≤ 1 | Habitual. Alrededor del 68 % de los valores de una distribución normal caen así de cerca de la media. |
| 1 < |z| ≤ 2 | Sigue siendo ordinario: cerca del 95 % de una distribución normal queda dentro de dos desviaciones estándar, así que la mayoría de los valores que no están cerca del centro están aquí. |
| 2 < |z| ≤ 3 | Poco frecuente: aproximadamente el 5 % de una distribución normal queda tan lejos, y solo alrededor del 0,3 % queda más allá. Merece una mirada a la medición misma. |
| |z| > 3 | Raro bajo una distribución normal, lo que lo convierte en candidato a valor atípico: comprueba la medición antes de creértela. Véase el aviso sobre muestras pequeñas en las limitaciones de más abajo. |
Las bandas son la regla empírica —la regla 68-95-99,7— reescrita como rangos de la puntuación z en lugar de como áreas bajo una curva. Dos advertencias antes de usarlas. Los porcentajes son propiedades de una distribución normal: la puntuación z está definida para cualquier dato sea cual sea su forma, pero las proporciones de arriba solo describen una normal, así que un conjunto de datos de cola larga producirá puntuaciones z grandes para valores que no tienen nada de raros. Y los límites son cerrados por arriba: un valor a exactamente tres desviaciones estándar de la media cuenta como dentro de la tercera banda, porque la regla habla de valores más allá de tres. La calculadora usa esos mismos límites, así que la insignia del resultado y esta tabla no pueden contradecirse.
Fórmula
z = (x − μ) ÷ σ
- x
- El valor que se quiere situar: la medición, la nota, la lectura que quieres colocar en la escala
- μ
- La media del grupo al que pertenece el valor. La resta es lo que convierte un valor absoluto en una distancia al centro
- σ
- La desviación estándar de ese mismo grupo. Dividir entre ella es lo que hace que la respuesta sea comparable entre escalas: una puntuación z de 1,5 significa lo mismo si los datos venían en notas o en milímetros. Tiene que ser mayor que cero
- x − μ
- La distancia a la media, impresa por separado y en valor absoluto, para que la brecha se pueda leer en las unidades originales antes de reescalarla
- z
- La puntuación z: negativa cuando el valor está por debajo de la media, positiva cuando está por encima. El signo lleva la dirección, el tamaño lleva cuán raro es el valor
Úsala para comparar valores que vienen de escalas distintas, que es toda la razón de que esta medida exista: un 85 en una clase cuya media es 75 no es el mismo logro que un 85 en una clase que promedia 90, y las puntuaciones z lo dicen directamente. También es la forma estándar de situar una sola lectura frente a una población de referencia, y el primer paso de casi todas las reglas de valores atípicos. Si lo que tienes son los datos en bruto y no una media y una desviación estándar, sácalas primero en la página de la desviación estándar y vuelve; esta página no te las va a estimar. Ten presente qué significan las etiquetas de las bandas: los porcentajes que hay detrás salen de la regla empírica, la regla 68-95-99,7, y esa regla describe una distribución normal. Cualquier valor puede tener una puntuación z; solo uno normal tiene el 68 % de sus valores dentro de una desviación estándar.
Ejemplos resueltos
Una nota una desviación estándar por encima de la media de la clase
- Distancia a la media: 85 − 75 = 10 puntos
- Dividir entre la desviación estándar: 10 ÷ 10 = 1
- La puntuación z es 1, positiva porque 85 está por encima de 75
Una puntuación z de exactamente 1 cae en la primera banda, no en la segunda: la regla empírica es una afirmación sobre la proporción de valores que quedan dentro de una desviación estándar, así que el límite cuenta como dentro, y el 68 % es la cifra que va asociada a él. Los diez puntos de distancia y la puntuación z de 1 son el mismo hecho, uno en las unidades del examen y otro en unidades de dispersión: eso es exactamente lo que compra la división.
Exactamente a tres desviaciones estándar
- Distancia: 105 − 75 = 30
- Dividir: 30 ÷ 10 = 3
- La banda es la que termina en 3, porque la regla habla de valores más allá de tres desviaciones estándar
Este es el límite que más importa, y es el que más se falla. Estar exactamente a tres desviaciones estándar de la media no es lo mismo que estar más allá de tres, y la cifra del 0,3 % pertenece al caso «más allá». En la práctica es una distinción pedante —las mediciones reales rara vez caen justo encima—, pero es la diferencia entre las bandas, y la tabla de abajo detalla dónde queda cada límite.
Por debajo de la media, donde el signo cambia
- Distancia: 65 − 75 = −10, así que el valor está diez puntos por debajo de la media
- Dividir: −10 ÷ 10 = −1
- La puntuación z es negativa; su tamaño es el mismo que en el primer ejemplo, porque el valor está a la misma distancia de la media
El signo es la dirección y el tamaño es el tamaño. Un valor diez puntos por debajo de la media y otro diez por encima tienen puntuaciones z de −1 y +1, que son igual de raros: por eso la banda se elige a partir del valor absoluto de z, y por eso el panel informa de la distancia como un número positivo. Lee las dos cosas juntas: el signo dice de qué lado, la distancia dice cuánto.
Limitaciones
Una puntuación z vale lo que valgan la media y la desviación estándar que le des: esta página toma las dos como un dato y no tiene forma de comprobarlas, así que una media tecleada de la columna equivocada hace que todas las respuestas estén mal sin ninguna señal de alarma. Los porcentajes que hay detrás de las bandas describen una distribución normal, y los datos reales a menudo no lo son: si los datos están sesgados, una puntuación z grande puede significar simplemente que la distribución tiene una cola larga, y no que el valor sea atípico. Hay además una trampa de muestras pequeñas que conviene conocer: la sección Detection of Outliers de NIST señala que la puntuación z más grande posible en una muestra de n valores es como mucho (n − 1) ÷ √n, así que con menos de unos once valores una puntuación z no puede llegar a 3 y una regla práctica fijada en tres desviaciones estándar no disparará nunca. Por último, la desviación estándar tiene que ser mayor que cero: un grupo en el que todos los valores son idénticos no tiene dispersión contra la que medir, y la página informa de un fallo en lugar de dar una respuesta.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la fórmula de la puntuación z?
- z = (x − μ) ÷ σ: resta la media al valor y divide después entre la desviación estándar. Una nota de 85 frente a una media de 75 con una desviación estándar de 10 da (85 − 75) ÷ 10 = 1. La resta sitúa el valor en una escala centrada en cero, y la división lo reescala a unidades de dispersión, que es lo que hace comparables dos escalas distintas.
- ¿Cuántas desviaciones estándar dista mi valor de la media?
- Eso es exactamente lo que informa la puntuación z: su tamaño es el número de desviaciones estándar y su signo dice de qué lado de la media está el valor. Una puntuación z de 2,5 significa dos desviaciones y media por encima de la media; −0,4 significa cuatro décimas de desviación por debajo. El panel imprime también la distancia en bruto, así que puedes leer la brecha en las unidades originales junto a la reescalada.
- ¿Qué se considera una puntuación z alta?
- Bajo una distribución normal, alrededor del 68 % de los valores caen dentro de una desviación estándar, el 95 % dentro de dos y el 99,7 % dentro de tres: la regla empírica. Eso hace que una puntuación z más allá de 2 sea poco común y una más allá de 3 sea rara, y por eso tres desviaciones estándar es la línea habitual para un candidato a valor atípico. Toma los números como una lectura, no como un veredicto: describen una distribución normal, y una sesgada puede producir puntuaciones z grandes para valores perfectamente ordinarios.
- ¿Es lo mismo que un percentil?
- No, aunque están relacionados. Una puntuación z es una distancia en unidades de desviación estándar; un percentil es una posición en la lista ordenada de valores. Convertir uno en otro exige la forma de la distribución: bajo una distribución normal una puntuación z de 1,645 se sitúa en el percentil 95, pero esa correspondencia solo vale para una normal. La puntuación z no necesita ninguna suposición propia, y por eso se informa aquí y el percentil no.
- ¿Qué pasa si la desviación estándar es cero?
- Entonces no hay nada entre lo que dividir, y la página informa de un fallo en lugar de dar un número. Una desviación estándar de cero significa que todos los valores del grupo son idénticos, así que ningún valor está a ninguna distancia de la media y la pregunta no tiene respuesta. Imprimir infinitos o errores como resultado sería peor que decirlo: una división entre cero no produce aquí ninguna lectura con sentido, y la página prefiere decírtelo.
- ¿Puedo usarla con cualquier conjunto de datos, sea normal o no?
- La puntuación z en sí, sí: resta la media y divide entre la desviación estándar y tienes una medida válida de posición relativa sea cual sea la forma de los datos. Las etiquetas de las bandas son la parte que hay que manejar con cuidado. Los porcentajes 68-95-99,7 son propiedades de una distribución normal, y un conjunto de datos con una cola larga repartirá puntuaciones z muy por encima de 3 para valores que no son nada raros en esa distribución. Usa las bandas como una invitación a mirar el valor, no como un veredicto sobre él.
Referencias
- The Standard Normal Distribution — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 6.1 (the z-score as the number of standard deviations from the mean, and the Empirical Rule: about 68%, 95% and 99.7% within one, two and three standard deviations) — OpenStax, Rice University
- Detection of Outliers — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 (the small-sample caveat: the largest possible Z-score in a sample of n values is at most (n − 1) ÷ √n, so a rule set at three standard deviations never fires with fewer than about eleven values) — National Institute of Standards and Technology