Calculadora de combinaciones

combinaciones C(n, r) = n! / (r!(n − r)!) · permutaciones P(n, r) = n! / (n − r)! · con repetición: C = (n + r − 1)! / (r!(n − 1)!) y P = nʳ

n

Cuántos elementos distintos hay para elegir: el tamaño del conjunto, no el número de elecciones

r

Cuántos elementos se eligen. Con la repetición desactivada, r no puede superar n; con ella activada, r puede ser mayor que n, porque se permite que el mismo elemento salga dos veces

allow repetition

Si el mismo elemento puede elegirse más de una vez. No es una preferencia de formato: selecciona una fórmula distinta, y es el ajuste que decide si una r mayor que n es legal o imposible

C(n, r)

El número de combinaciones, leído como nCr: las maneras de elegir r elementos cuando el orden de las elecciones no importa, de modo que ABC y CBA cuentan una sola vez

P(n, r)

El número de permutaciones: las maneras de elegir y después ordenar r elementos, de modo que ABC y CBA son dos resultados distintos. Siempre es el número de combinaciones multiplicado por r!

Úsala siempre que la pregunta sea en realidad cuántas maneras hay, que es lo que ocurre la mayoría de las veces que una probabilidad se calcula contando en lugar de con una fórmula. Las manos de cartas, los sorteos de lotería, la elección de una comisión y los repartos de asientos son todos este cálculo, y la única decisión que hay que tomar antes de cualquiera de ellos es si el orden importa: una mano de póker es una combinación y un podio es una permutación. El interruptor de repetición importa cuando una misma elección puede hacerse dos veces: elegir tres bolas de helado de una carta de sabores, donde el orden sigue sin importar pero los sabores pueden repetirse, es un recuento de combinaciones con repetición y no uno corriente. La página no calcula probabilidades, solo los recuentos con los que se construyen.

1. Diez elementos, elegir tres: 120 combinaciones o 720 permutaciones

   1. Con el orden ignorado, C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120
   2. Con el orden contado, P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720
   3. Los dos difieren en 3! = 6, que es el número de maneras de ordenar tres elementos elegidos
   4. Comprobación: 120 × 6 = 720

   Este es el par que la página existe para mantener separado. Los mismos tres elementos tienen una combinación y seis permutaciones, así que un recuento citado sin decir cuál de los dos es puede estar equivocado por un factor de seis aquí, y por un factor de 120 con cinco elecciones, que es donde los errores dejan de ser lo bastante pequeños como para no notarse. El último paso es la relación que conviene recordar: el número de permutaciones es siempre el de combinaciones multiplicado por el factorial de r, porque cada elección sin orden se puede ordenar exactamente de r! maneras.

2. Los mismos diez y tres, con repetición permitida

   1. Con repetición y el orden ignorado, C = (10 + 3 − 1)! / (3! × 9!) = C(12,3) = 220
   2. Con repetición y el orden contado, P = 10³ = 1000
   3. El conjunto es en la práctica más grande para el recuento de combinaciones —la fórmula le suma r − 1 a n—, mientras que el de permutaciones es simplemente una elección por posición
   4. Comprobación: 220 no es 120, y 1000 no es 720; mover el interruptor ha movido las dos filas

   Las dos filas han cambiado, y eso es precisamente el interruptor y no un detalle suyo. Una implementación que solo ajustara el recuento de combinaciones imprimiría 220 y 720 uno al lado del otro, y los dos números parecerían plausibles mientras describen reglas distintas. Fíjate también en que el recuento de permutaciones es ahora una potencia y no un producto decreciente: con repetición hay n elecciones en cada una de las r posiciones, así que el recuento se multiplica hasta nʳ en lugar de encoger de uno en uno.

3. Una mano de cinco cartas de una baraja de 52

   1. Una mano no tiene orden, así que el recuento es C(52,5) = 52! / (5! × 47!)
   2. Se multiplican los cinco términos decrecientes: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200
   3. Se divide entre 5! = 120: 311875200 / 120 = 2.598.960
   4. La segunda fila es el paso intermedio de la primera: eso es lo que significa decir que una mano es el reparto ordenado dividido entre las ordenaciones

   2.598.960 es el número entre el que se divide toda probabilidad de póker, y es la casilla más visitada de esta página. Las dos filas merecen leerse juntas aquí porque la fila de permutaciones es literalmente el numerador antes de dividir entre 5!: una mano de cinco cartas se puede repartir de 311.875.200 maneras ordenadas y cada mano se corresponde con 120 de ellas. Ver que el recuento sin orden es el recuento ordenado dividido entre las ordenaciones es la manera más rápida de dejar de confundir los dos.

4. Seis elementos, tomar los seis: una combinación, 720 permutaciones

   1. Solo hay una manera de tomarlo todo, así que C(6,6) = 1
   2. Las permutaciones son las ordenaciones de los seis elementos: P(6,6) = 6! = 720
   3. El factor entre las filas es 720 = 6!, que es la regla del r! llevada a r = n

   Con r = n las dos filas están lo más lejos que pueden estar, y la fila de combinaciones se queda en 1: no queda nada que elegir cuando se toma todo. Es un extremo útil para poner al lado de la mano de póker: allí la distancia era un factor de 120 y aquí es un factor de 720, y lo único que ha cambiado es cuántas ordenaciones admite cada elección. Si la fila de permutaciones es alguna vez la que querías, esta es la forma que tiene ese error cuando es más grande.

5. Tres sabores, cinco bolas: r mayor que n

   1. Cinco bolas de tres sabores, sin importar el orden y con repetición: C = C(3 + 5 − 1, 5) = C(7,5) = 21
   2. Contando también el orden, P = 3⁵ = 243
   3. Los dos son legales solo porque la repetición está activada; con ella desactivada, elegir cinco de tres es imposible y la página rechaza la entrada

   Este es el caso que convierte el interruptor en un requisito de corrección y no en una preferencia. Elegir cinco cosas de un conjunto de tres no se puede hacer sin repetir, así que con la repetición desactivada la página lo rechaza sin más, y con ella activada los mismos datos dan dos números perfectamente corrientes. La fila de combinaciones muestra además por qué la fórmula le suma r − 1 al conjunto: permitir repeticiones hace que el conjunto se comporte como si fuera mayor en uno menos que el número de elecciones, así que tres sabores tomados de cinco en cinco cuentan como siete cosas elegidas de cinco en cinco.

Los dos recuentos son enteros exactos hasta cierto punto, y pasado ese punto la página se niega en lugar de redondear. Los recuentos crecen muy deprisa —cien elementos elegidos de cincuenta en cincuenta tiene treinta dígitos— y los números en coma flotante de un ordenador dejan de poder representar todos los enteros exactamente alrededor del decimosexto dígito, así que un recuento de ese tamaño volvería con las últimas cifras mal y con un aspecto completamente normal. En lugar de imprimir un número equivocado de una manera que nadie detectaría, la página da error para los recuentos que quedan fuera del rango exacto; la misma negativa cubre los conjuntos de más de mil elementos y cualquier recuento negativo. Hay dos límites más. La página cuenta y nada más: no enumera las combinaciones, no las lista y no calcula la probabilidad de sacar una, que sería el recuento dividido entre el total. Y el interruptor de repetición significa una sola cosa, que el mismo elemento puede tomarse más de una vez; no modela el reparto sin devolución frente al reparto con devolución en el sentido de una baraja, donde el conjunto se encoge a medida que salen cartas.

¿Cuál es la diferencia entre una combinación y una permutación?

Una combinación ignora el orden de las elecciones y una permutación lo cuenta. Elegir a tres personas de diez para una comisión es una combinación, porque la comisión ABC es la misma que CBA; darles a esas tres personas un primer, un segundo y un tercer premio es una permutación, porque los repartos son distintos. Los dos recuentos no están nunca cerca: el de permutaciones es el de combinaciones multiplicado por r!, el número de maneras de ordenar los r elementos elegidos. Esta página imprime las dos filas para que el factor no haya que adivinarlo: con r = 3 es 6, y con r = 5 es 120.

¿Qué significa el nCr de mi calculadora?

nCr es la función de combinaciones: n es el tamaño del conjunto y r es cuántos se eligen, y el resultado es el número de maneras de elegirlos sin importar el orden. Es el mismo número que esta página imprime en la fila de combinaciones. La tecla compañera, nPr, es el recuento de permutaciones contando el orden, y es la fila de abajo. Una manera rápida de saber cuál pide un problema es preguntarse si intercambiar dos de los elementos elegidos daría un resultado distinto: si no lo da, la respuesta es nCr.

¿Qué cambia cuando permito la repetición?

Cambian las dos fórmulas y también qué datos son legales. Con la repetición desactivada, el recuento de permutaciones es un producto decreciente —n × (n − 1) × …— y el de combinaciones lo divide entre r!; con la repetición activada, el de permutaciones es simplemente n elevado a r y el de combinaciones pasa a ser el recuento de multiconjuntos, que para n elementos tomados de r en r sale C(n + r − 1, r). El punto de la legalidad es el que pilla a la gente: con la repetición desactivada, una r mayor que n no se puede hacer y se rechaza, mientras que con ella activada es una petición corriente, como cinco bolas de tres sabores.

¿Por qué la página rechaza algunas entradas grandes en lugar de dar una respuesta?

Porque la respuesta estaría mal en sus últimas cifras y no lo parecería. Estos recuentos crecen muchísimo —cincuenta elecciones de cien elementos llega a unos treinta dígitos— y los números que un ordenador usa para calcular dejan de representar todos los enteros exactamente alrededor del decimosexto dígito. Pasada esa línea el resultado es un número cercano, con un principio que parece correcto y un final equivocado, lo que es peor que no dar respuesta si el recuento va a entrar en una probabilidad o en un informe. Por eso la página da error para los recuentos que no puede representar exactamente, igual que lo da para un conjunto de más de mil elementos o para un recuento negativo.

¿El interruptor de repetición significa repartir con devolución?

No en el sentido en que lo usa un problema de barajas. El interruptor solo dice que el mismo elemento puede elegirse más de una vez, que es lo que da el reparto con devolución en un conjunto de elecciones independientes. En un problema de cartas el conjunto además se encoge a medida que salen cartas, y los recuentos de arriba ya lo tienen en cuenta mediante el producto decreciente de las fórmulas sin repetición: una mano de cinco cartas es C(52,5) y no 52 elevado a cinco. Así que el interruptor va de si se permite repetir, y de que el conjunto se encoja se encarga la fórmula y no el interruptor.

¿Por qué no hay una tabla de consulta debajo de la calculadora?

Porque una tabla tendría que contradecir al panel. La tabla que querría una página así es una rejilla con n en un lado y r en el otro, pero la respuesta del panel se calcula a partir de la n y la r que has escrito, de modo que una rejilla fija mostraría números distintos para los mismos datos. Las páginas de este sitio que sí llevan tabla de referencia son aquellas cuya tabla describe un conjunto fijo de valores —un límite entre categorías o una escala normalizada— y no un cálculo hecho con los datos de entrada. Aquí la respuesta son las dos filas del panel, y se mueven con cada tecla.

• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Multichoose — from Wolfram MathWorld (the number of multisets of a given length on a given number of symbols, which is the combinations with repetition count this page switches to) — Wolfram MathWorld