Calculadora del triángulo de Pascal

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k); C(n, 0) = C(n, n) = 1; suma de la fila = 2^n

n

El número de filas que se imprimen, contando el 1 solitario de arriba como fila 0. Así, n filas significa las filas 0 a n - 1, y la última fila impresa tiene n casillas. La entrada va de 1 a 53, y el techo no tiene que ver con el tamaño de la pantalla: mira la entrada de la suma de la fila, que es la cantidad que de verdad se queda sin sitio antes

k

La posición dentro de una fila, contada desde 0 en el borde izquierdo. La fila n tiene casillas en k = 0 hasta k = n, que son n + 1 números. Las dos posiciones de los bordes son especiales: C(n, 0) y C(n, n) valen los dos 1, y ese es el par de 1 que baja por los costados del triángulo. Todo lo que queda estrictamente entre ellos es la suma de dos casillas de la fila de arriba

C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

La regla que construye todo el triángulo, y la que sigue la página. La casilla en la posición k de la fila n es la suma de las dos casillas que tiene encima: la de arriba a la izquierda y la de arriba a la derecha, y por eso los bordes solo ven un número y se quedan en 1. Esto se hace por sumas y no con la fórmula de los factoriales, así que todos los valores intermedios son exactos y el triángulo de la pantalla es literalmente la secuencia de sumas que ha hecho la página

C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)

La otra cara del mismo número: el coeficiente binomial, que cuenta las maneras de elegir k elementos de entre n cuando el orden no importa. Da el mismo valor que la regla de la suma y es lo que significan los números de la fila cuando el triángulo se usa para contar en vez de para álgebra. La página no calcula con ella, porque entonces serían dos aritméticas separadas que podrían acabar discrepando

2^n

La suma de la fila n, y la razón de que la entrada se corte donde se corta. Suma una fila y siempre sale una potencia de dos: la fila 0 suma 1, la fila 1 suma 2, la fila 2 suma 4 y la fila 6 suma 64. Que cada fila doble es la razón de que la suma se salga del rango representable de forma exacta antes que cualquier coeficiente suelto: la fila 52 suma 4503599627370496 y la fila 53 suma 9007199254740992, que es uno más allá del último entero que un doble puede representar exactamente

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

La fila 6 escrita, que es la última de las siete filas por defecto. Léela hacia atrás contra la fila de encima y cada casilla es la suma de dos vecinas: 6 es 1 + 5, 15 es 5 + 10, 20 es 10 + 10, y a partir de ahí se refleja. La fila es simétrica respecto a su centro, siempre, porque elegir cuáles k elementos se conservan y elegir cuáles n - k se descartan son la misma elección contada dos veces

El triángulo es la manera más rápida de desarrollar un binomio a mano. Para multiplicar (x + y) elevado a la sexta potencia se lee la fila 6 directamente de la página y se escribe 1x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + 1y⁶, sin multiplicar ni un polinomio. Un coeficiente suelto es lo que se busca cuando solo hace falta un término, y la página de combinaciones lo calcula directamente a partir de n y de k sin construir las filas de en medio. Las preguntas de probabilidad con dos resultados usan los mismos números: la probabilidad de sacar exactamente 4 caras en 10 lanzamientos es C(10, 4) dividido entre 2¹⁰, y ese 1024 del denominador es la suma de la fila 10. El triángulo responde también a preguntas de recuento que parecen no tener relación: el número de caminos que cruzan una cuadrícula de una esquina a la opuesta, el número de maneras de llegar a una casilla concreta cuando solo se puede avanzar a la derecha y hacia abajo, y el número de subconjuntos de un tamaño dado. Cuando la pregunta es qué números son y no qué significan, esta página los imprime; cuando la pregunta es de cuántas maneras puede ocurrir algo, la página de combinaciones es el camino corto; y cuando la pregunta es por los números de Fibonacci que se esconden en las diagonales, la página de Fibonacci cubre esa sucesión directamente.

1. Siete filas, terminando en 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

   1. La fila 0 es 1, y la fila 1 es 1, 1: los dos bordes de cualquier fila valen siempre 1
   2. Fila 2: 1 + 1 = 2 en el centro, lo que da 1, 2, 1
   3. Fila 3: 1 + 2 = 3 dos veces, lo que da 1, 3, 3, 1; fila 4: 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, lo que da 1, 4, 6, 4, 1
   4. Las filas 5 y 6 siguen igual y terminan en 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
   5. Suma la fila 6 de corrido: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64, que es 2 elevado a la sexta

   Es la entrada por defecto. Merece la pena comprobar dos cosas contra la pantalla. La primera, que cada número es la suma de los dos de encima: 15 es 5 + 10, 20 es 10 + 10, y la fila es simétrica porque el 20 ocupa el centro de siete casillas y se empareja a los dos lados. La segunda, que la suma de la fila se duplica cada vez —1, 2, 4, 8, 16, 32, 64—, así que quien sepa que la fila anterior suma 32 puede predecir esta antes de sumarla. Esa duplicación es el mismo hecho que los dos 1 de los bordes: cada fila de arriba aporta su total entero dos veces, una a la mitad izquierda y otra a la derecha.

2. Cuatro filas, el triángulo útil más corto

   1. La fila 0 es 1; la fila 1 es 1, 1
   2. La fila 2 es 1, 2, 1, con el 2 salido de 1 + 1
   3. La fila 3 es 1, 3, 3, 1, con cada 3 salido de 1 + 2
   4. Suma la última fila: 1 + 3 + 3 + 1 = 8, que es 2 elevado al cubo

   La fila 3 es la última de este ejemplo, y es donde el triángulo se vuelve interesante: 1, 3, 3, 1 son los coeficientes de (x + y)³, así que x³ + 3x²y + 3xy² + y³ se puede escribir directamente a partir de esta fila sin multiplicar nada. Es también la última fila lo bastante pequeña para comprobarla a mano en unos segundos, y por eso merece la pena mirarla antes que las largas. Fíjate en que 4 filas significa las filas 0 a 3: el número que se escribe es un número de filas, no el índice de la fila más grande.

3. Una fila, el caso trivial

   1. La fila 0 es un solo 1, sin nada encima que sumar
   2. Se ha pedido una fila y se imprime una fila
   3. La suma de la fila es 1, que es 2 elevado a cero

   Es la entrada más pequeña que acepta la página, y se acepta en lugar de tratarse como vacía. Un triángulo de una fila no es degenerado: es el caso base a partir del cual se construyen todas las filas siguientes. Leerlo confirma además el indexado: pedir 1 fila da la fila 0 y no la fila 1, lo cual importa en cuanto se compara el triángulo con un desarrollo del binomio. Que la suma sea 1 y no 0 es la misma afirmación en aritmética que el hecho de que la cima del triángulo sea un solo 1.

El número de filas tiene que ser un entero entre 1 y 53. El techo está ahí porque cada número impreso tiene que ser uno que un ordenador siga representando de forma exacta, y a partir de ese punto dos enteros vecinos se confunden con el mismo valor: los dígitos impresos siguen pareciendo de lo más corriente, simplemente ya no representan el número que dicen representar. La suma de la fila es lo que se agota primero: la fila 52 suma 4503599627370496 y la fila 53 suma 9007199254740992, uno más allá del mayor entero que un doble representa exactamente. Los coeficientes sueltos aguantarían hasta la fila 56 —el primero que se pasa es C(57, 28)—, pero un triángulo se imprime fila a fila, así que decide la suma. Cero filas se rechaza: un triángulo vacío no imprime nada, así que no hay respuesta que dar. Las fracciones de fila se rechazan en lugar de redondearse, ya que no existe algo así como dos filas y media. Las filas vuelven como una línea plana de números separados por comas, con las filas separadas por puntos y coma y sin ningún separador de millares, así que un coeficiente grande se imprime como 184756 y no como 184,756. En un triángulo ancho eso significa una línea larga que hay que desplazar. La tabla de referencia de abajo muestra las siete primeras filas en lugar de seguir la entrada, y no se puede llegar a una fila concreta pidiéndola directamente: la página imprime siempre desde arriba.

¿Para qué sirve el triángulo de Pascal?

Sobre todo para desarrollar binomios. Las casillas de la fila n son los coeficientes que salen al multiplicar (x + y) elevado a la n, así que la fila 6 permite escribir de inmediato los siete términos de (x + y)⁶ sin multiplicar ningún polinomio. Esos mismos números cuentan combinaciones: C(n, k) es la casilla en la posición k de la fila n, así que responden a preguntas como de cuántas maneras se pueden elegir 4 personas de entre 10. También aparecen en probabilidad, donde la probabilidad de sacar exactamente 4 caras en 10 lanzamientos de moneda es C(10, 4) de entre 2¹⁰, y ese 1024 es la suma de la fila 10. El recuento de caminos en una cuadrícula también los usa: el número de rutas que cruzan una cuadrícula de una esquina a la opuesta avanzando solo a la derecha y hacia abajo es una casilla del triángulo.

¿Por qué la entrada se corta en 53 filas?

Porque la suma de la fila deja de ser un entero que un ordenador pueda representar de forma exacta. La fila 52 suma 4503599627370496 y la fila 53 suma 9007199254740992, y ese segundo número es uno más allá del mayor valor que un número de doble precisión representa exactamente. A partir de ahí dos enteros vecinos pasan a ser el mismo valor, así que los dígitos impresos siguen pareciendo normales aunque ya no representen el número que dicen. Los coeficientes sueltos durarían más —el primero que se pasa es C(57, 28), en la fila 57—, pero un triángulo se imprime fila a fila, así que decide la suma. Publicar una fila cuyo total está mal y cuyas casillas están bien sería una cosa muy confusa.

¿Por qué la última fila se imprime dos veces?

Porque en un triángulo grande la última fila es la única parte que quiere la mayoría de los lectores, y encontrarla dentro de una línea larga de dígitos cuesta trabajo. Pide 40 filas y la salida del triángulo es una pared de números en la que la fila que te interesa está en el extremo derecho; la salida de la última fila es esa misma fila sola, en un tamaño legible. Las dos vienen del mismo cálculo, así que no pueden discrepar. La suma de la fila se imprime una tercera vez por la misma razón: es un solo número que responde a una pregunta que la fila de dígitos no responde de un vistazo.

¿Las filas empiezan en 0 o en 1?

En 0, que es la convención con la que se suelen indexar los coeficientes. C(n, k) significa la casilla en la posición k de la fila n, así que el 1 solitario de arriba es la fila 0 y pedir 7 filas da las filas 0 a 6, terminando en 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1: siete números, porque la fila n tiene siempre n + 1 casillas. Esto importa cuando se compara el triángulo con un desarrollo del binomio: la fila de coeficientes de (x + y)⁶ es la fila 6, no la fila 7. El número que se escribe es una cantidad de filas, no el índice de la fila más grande.

¿Qué es la suma de una fila y por qué es siempre una potencia de dos?

Suma cualquier fila y sale 2 elevado al índice de esa fila: la fila 0 da 1, la fila 6 da 64 y la fila 10 da 1024. La razón está en la regla que construye el triángulo. Cada fila se hace a partir de la de arriba, sumada consigo misma desplazada un lugar, así que cada número de la fila superior se cuenta dos veces en la inferior: una en el lado izquierdo y otra en el derecho. Doblar el total cada vez da potencias de dos. El mismo hecho leído al revés: la suma de la fila n cuenta todos los subconjuntos de un conjunto de n elementos, y un conjunto de n elementos tiene 2ⁿ subconjuntos. Por eso el 1024 que va debajo de una probabilidad de diez lanzamientos de moneda sale directamente de la fila 10.

¿De dónde salen los números de Fibonacci en este triángulo?

De las diagonales poco inclinadas. Suma los números a lo largo de una línea que sube hacia la izquierda —por ejemplo 1, luego 4, luego 3— y los totales acumulados salen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Esos son los números de Fibonacci, donde cada uno es la suma de los dos anteriores. La razón es que cada casilla de una diagonal está construida a su vez a partir de las dos que tiene encima, una de las cuales está en la misma diagonal y la otra en la siguiente, así que las diagonales heredan directamente la recurrencia de Fibonacci. La página de Fibonacci cubre esa sucesión por sí sola si quieres seguirla más allá.

• Pascal's Triangle — el arreglo de coeficientes binomiales, su regla aditiva y las identidades que se derivan de ella — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Coefficient — qué cuenta C(n, k), la fórmula de los factoriales y por qué la regla aditiva da los mismos valores — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Theorem — el desarrollo de (x + y)^n, cuyos coeficientes son las filas del triángulo — Wolfram MathWorld (United States)
• Sucesión de Fibonacci y triángulo de Pascal — fórmulas, el triángulo construido fila a fila y las diagonales que dan los números de Fibonacci — Matesfacil (España)