¿La sucesión empieza en F(0) o en F(1)?

Esta página empieza en F(1), así que F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2 y el décimo término es 55. La otra convención extendida fija F(0) = 0 y F(1) = 1, lo que desplaza todos los índices una posición: bajo ella el quinto término es 5, mientras que aquí es 8. Las dos se usan en libros de texto y en programas, y ninguna es un error. Pero si comparas esta página con otra fuente y los valores coinciden con una posición de desfase, esta es la razón; es la forma más común de que un resultado de Fibonacci salga mal.

¿Por qué la relación cambia todo el rato en lugar de asentarse de inmediato?

Porque es un límite y no una identidad. Cada término es la suma de los dos anteriores, así que la relación entre términos consecutivos se mueve con una regla propia y fija, y ese movimiento alterna por encima y por debajo del objetivo con cada oscilación de aproximadamente la mitad del tamaño de la anterior. La tabla de esta página lo enseña: 2, 1,5, 2, 1,667, 1,6, 1,625, y luego estrechándose a 1,615 y 1,619. Diez términos se acercan, veinte bastan para los ocho decimales que imprime la página, y ningún número finito de términos es exactamente el número áureo: solo cada vez más cerca de él.

¿Qué es el número áureo y por qué esta sucesión lo produce?

El número áureo es 1,6180339887…, la solución positiva de x² = x + 1. Esa ecuación es la recurrencia de Fibonacci escrita de otra manera: si las relaciones se asientan en algún número, ese número tiene que satisfacerla, y esa es la razón de que la sucesión aterrice en él y de que la convergencia no sea una casualidad ni una curiosidad. La relación es además el número más difícil de aproximar con fracciones, porque su fracción continua es todo unos, y esa es la propiedad que aprovechan las plantas cuando espacian hojas y semillas según ella.

¿Por qué solo puedo pedir 78 términos?

Porque F(79) es mayor que el entero más grande que un valor en doble precisión puede representar exactamente, que es 9007199254740991. F(78) es 8944394323791464 y es exacto; F(79) es 14472334024676221 y se almacenaría como algo cercano a él, pero no igual. La página rechaza la petición en lugar de imprimir una aproximación, porque un término impreso con dieciséis cifras se parece exactamente a uno correcto: no hay forma de ver el error desde la salida. El número de términos es un hecho de coma flotante, no un hecho matemático; la sucesión en sí no termina nunca.

¿Y el problema de los conejos?

Fibonacci presentó la sucesión con un pasatiempo: se empieza con una pareja de conejos, se deja que cada pareja tarde un mes en madurar y que después produzca una pareja nueva cada mes, y se cuentan las parejas al principio de cada mes. Los recuentos salen 1, 1, 2, 3, 5, 8 y así, porque las parejas maduras del mes pasado siguen todas ahí y las parejas nuevas de este mes vienen de las que ya estaban maduras un mes antes, que es la recurrencia alcanzada desde una dirección completamente distinta. Merece la pena conocerlo porque muestra que la sucesión no está definida por ninguna aplicación concreta.

¿Puedo calcular el término n-ésimo sin listar todos los anteriores?

En principio sí, y la salida del término n-ésimo de la página te da ese número en su propia línea, pero lo produce el mismo bucle y no una fórmula abreviada. La razón es la exactitud: existe una forma cerrada, la fórmula de Binet, que da el n-ésimo número de Fibonacci directamente a partir del número áureo, pero incluye números irracionales elevados a una potencia y, en aritmética de coma flotante, se va alejando del entero verdadero según crece n. Sumar enteros es exacto allí donde esa fórmula no lo es, así que la página suma. Avanzar desde dos valores iniciales es además la razón de que 78 términos no cuesten nada: no hay ninguna fórmula que resolver, solo una suma repetida 76 veces.

Calculadora de Fibonacci

Resultado

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Términos (F(1) a F(n))

Término n-ésimo: 55
Estimación del número áureo: 1,61764706

La sucesión de Fibonacci empieza con dos unos, y cada término a partir de ahí es la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 y así indefinidamente. Esta calculadora produce los primeros n términos, el valor del término n-ésimo por separado y la relación entre el último término y el anterior. Esa última salida es la razón de que la página valga más que una tabla de consulta. Las relaciones empiezan oscilando —2, luego 1,5, luego 1,6667, luego 1,6— y se asientan muy rápido en un solo número, 1,6180339887…, que es el número áureo. Hacia el término veinte la relación ya es correcta hasta la millonésima. Nada en la definición menciona ese número: sale de la suma, y verlo salir es lo interesante. Esta página cuenta desde 1, así que F(1) es 1, F(2) es 1, F(3) es 2 y F(10) es 55. Existe una segunda convención de uso frecuente que empieza en F(0) = 0, y bajo ella el quinto término es 5 donde esta página da 8. Las dos son correctas, pero una página tiene que elegir una, y mezclarlas es la forma más común de equivocarse con un resultado de Fibonacci. El techo de 78 términos no es un límite de la idea sino de la aritmética: los términos superan lo que un número en doble precisión puede representar exactamente en F(79), así que la página se detiene un término antes del punto en el que las respuestas empezarían a ser aproximaciones. La sucesión merece además una palabra porque es el ejemplo raro que llega desde dos direcciones a la vez. Una es un problema de cría de conejos: se empieza con una pareja, se deja que cada pareja tarde un mes en madurar y que después produzca una pareja nueva cada mes, y el número de parejas por mes son exactamente estos números. La otra es la recurrencia de arriba, sumar los dos últimos, y no es evidente que las dos cosas sean lo mismo, que es por lo que la sucesión aparece en sitios que no tienen nada que ver entre sí. Las espirales de las semillas de girasol, las escamas de las piñas y la disposición de las hojas alrededor del tallo funcionan con estos números, y la razón es siempre el número áureo al que convergen las relaciones. Lo que la sucesión no es: ni una ley de la naturaleza ni un principio de diseño, sino una recurrencia que resulta aproximar el número más irracional que hay, y los usos que la naturaleza le da son aquellos en los que esa aproximación compensa. El dibujo que más se asocia a todo esto se construye con los propios términos: cuadrados de lados 1, 1, 2, 3, 5, 8 y 13 encajados en un rectángulo cada vez mayor, unidos por un arco, producen la espiral áurea, la forma a la que se parecen las conchas de caracol y muchas galaxias espirales.

Los diez primeros términos, con la relación de cada uno con el anterior

n	Término	Relación con el término anterior
1	1	—
2	1	1.00000000
3	2	2.00000000
4	3	1.50000000
5	5	1.66666667
6	8	1.60000000
7	13	1.62500000
8	21	1.61538462
9	34	1.61904762
10	55	1.61764706

Lee la columna de la derecha de arriba abajo y estarás viendo a un número decidirse. Empieza en 2 —el segundo término es 1 y el primero es 1, pero 2 ÷ 1 es 2—, luego baja a 1,5, vuelve a subir a 2, cae a 1,667 y a partir de ahí las oscilaciones se encogen deprisa: 1,6, 1,625, 1,615, 1,619, 1,617647. La oscilación es lo que hay que ver. La relación no se acerca a 1,618 desde un lado, sino que se pasa y se queda corta alternativamente, con cada oscilación aproximadamente la mitad de grande que la anterior, y por eso el valor impreso ya es correcto hasta dos decimales en la décima fila. El número áureo verdadero empieza 1,6180339887, así que en la fila diez el error que queda está en el tercer decimal. La primera fila lleva un guion en lugar de una relación porque no hay término anterior entre el que dividir: la misma razón por la que la página rechaza una petición de un solo término en lugar de imprimir un hueco. Nota: los decimales de esta tabla los escribe el propio programa que la genera, que usa el punto como separador; en el texto de arriba van con coma, como manda la convención del español.

Fórmula

F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) ⇒ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …; la relación entre dos términos consecutivos → φ = (1 + √5) / 2 = 1,6180339887…

F(1) = F(2) = 1: Los dos valores iniciales, y la elección que la página hace explícita. Contar desde 1 significa que F(1) y F(2) son ambos 1 y que F(10) es 55. La otra convención habitual fija F(0) = 0 y F(1) = 1, lo que desplaza todos los índices en una posición, de modo que el quinto término es 5 en lugar de 8. Ninguna de las dos está mal, pero no coinciden en ningún índice
F(n) = F(n − 1) + F(n − 2): La recurrencia, que es toda la definición. Cada término es la suma de los dos anteriores: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8. Avanzar desde dos valores iniciales es la razón de que la página pueda producir mil términos con la misma facilidad que diez: no hay ninguna fórmula que resolver, solo una suma repetida
n: Cuántos términos quieres, de 2 a 78. El límite inferior es 2 y no 1 porque la salida de la relación necesita un término y el anterior, así que con un solo término no habría entre qué dividir; la página lo rechaza en lugar de imprimir una relación en blanco. El límite superior es el punto en el que los términos dejan de ser exactos en aritmética de coma flotante ordinaria
F(78) = 8944394323791464: El último término que alcanza esta página, y la razón de que se detenga ahí. F(79) es 14472334024676221, que supera el mayor número entero que un valor en doble precisión puede representar exactamente, 9007199254740991, así que a partir de ese punto las cifras impresas serían una aproximación y no la sucesión. La página rechaza 79 en lugar de imprimir un término que es casi correcto
F(n) / F(n − 1): La salida de la relación. No es el número áureo y la página no dice que lo sea: 1,6667 es lo que sale en el quinto término y está muy lejos de 1,618. Lo que es, es una estimación que mejora deprisa: el término veinte ya es correcto hasta ocho decimales, que es la precisión que imprime la página
φ = 1,6180339887…: El número áureo, el valor al que convergen estas relaciones. Es la solución positiva de x² = x + 1, que es la misma recurrencia escrita como ecuación; eso no es una coincidencia, es la razón de que las relaciones de Fibonacci aterricen en él. Conviene notar que la estimación impresa llega como mucho a 1,61803399: la página muestra ocho decimales y el valor verdadero continúa más allá

Comprobar un término es el uso llano: un pasatiempo pide el décimo número de Fibonacci o una sucesión en un libro de texto llega más lejos de lo que quieres sumar a mano, y la página da el valor y la tanda de términos que llevan hasta él. La salida de la relación sirve a otra pregunta distinta, que es de dónde sale el número áureo. Ver cómo 2, 1,5, 1,6667, 1,6, 1,625 y 1,615 se asientan hacia 1,618 es un camino mucho más corto para entender la conexión que leer una demostración, y la tabla de esta página está dispuesta justo para esa lectura. Un tercer uso está en programación y en el trabajo de clase, donde la recurrencia es el primer ejemplo estándar de recursión y la sucesión es el ejemplo estándar de una definición recursiva que resulta mucho más barata de calcular de forma iterativa: el bucle de esta página es la versión iterativa, y por eso 78 términos no cuestan nada. Los números aparecen además en problemas de estimación en los que el crecimiento se compone consigo mismo: el número de formas de embaldosar una tira con cuadrados y dominós, el número de caminos para subir una escalera dando uno o dos escalones cada vez y los recuentos de ramificación de una planta que se divide cada temporada siguen todos la misma recurrencia. Cuando la pregunta va sobre la relación y no sobre la sucesión, la calculadora del número áureo lo trata como un número con entidad propia y con sus propiedades; cuando va sobre el patrón de crecimiento, la calculadora de crecimiento exponencial cubre la versión continua de lo que estos términos aproximan a saltos.

Ejemplos resueltos

Los primeros diez términos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
1. Empezamos con 1 y 1, los dos valores iniciales que usa esta página
2. 1 + 1 = 2, luego 1 + 2 = 3, luego 2 + 3 = 5, luego 3 + 5 = 8
3. Seguimos: 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55
4. Diez términos, así que el décimo es 55; la relación entre los dos últimos es 55 ÷ 34 = 1,61764706
La entrada por defecto. Fíjate en que el décimo término es 55 y en que la relación de 55 con 34 es 1,61764706, cerca del número áureo pero todavía visiblemente fuera de él en el tercer decimal. Eso es lo que hace que la sucesión merezca mirarse en lugar de solo consultarse: la convergencia es rápida pero no instantánea, y diez términos aún no bastan para que los ocho decimales impresos lleguen a 1,61803399.
La tirada más corta: dos términos
1. Dos términos es lo mínimo que acepta esta página
2. La sucesión son solo los dos valores iniciales: 1 y 1
3. El segundo término es 1, así que la salida del término n-ésimo es 1
4. La relación es 1 ÷ 1 = 1, lo más lejos que esta página llega nunca del número áureo
El límite inferior, y la razón de que sea 2 y no 1. La salida de la relación necesita dos términos para existir; con uno solo no habría entre qué dividir, así que la página rechaza el 1 en lugar de imprimir un hueco o un cero. La relación de 1 es además el punto de partida de toda la convergencia: cada relación posterior es un paso que se aleja de él, y el recorrido de 1 a 1,618 es lo que la tabla de abajo despliega término a término.
Donde se asienta la relación: veinte términos
1. Continuamos la recurrencia desde el décimo término: 34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144, y así
2. El vigésimo término es 6765 y el decimonoveno es 4181
3. 6765 ÷ 4181 = 1,61803396317…
4. Redondeado a los ocho decimales que imprime la página, eso es 1,61803396
Veinte términos bastan. El número áureo verdadero empieza 1,6180339887, y la estimación de aquí coincide con él hasta siete decimales: la divergencia está ya en el octavo, que es el último que se imprime. Compáralo con el caso de diez términos, donde el error se veía ya en el tercer decimal. Este es el punto que la página existe para dejar claro: la recurrencia no tiene nada que ver con el número áureo en su definición y, sin embargo, lo produce, deprisa y a partir de nada más que sumas.

Limitaciones

El número de términos debe ser un entero de 2 a 78. El 1 se rechaza porque la salida de la relación necesita dos términos para existir, y el 79 se rechaza porque ahí los términos dejan de ser exactos: F(78) es 8944394323791464, el último número de Fibonacci que cabe exactamente en un valor en doble precisión, y F(79) supera el techo de 9007199254740991. La página rechaza la petición en lugar de devolver un término aproximado, porque un número que es casi correcto pero se imprime con dieciséis cifras se parece exactamente a uno correcto. El recuento empieza en 1 y esta página usa F(1) = F(2) = 1. La otra convención extendida fija F(0) = 0 y F(1) = 1, lo que desplaza todos los índices una posición: bajo esa convención el quinto término es 5 y aquí es 8. Las dos están en uso en libros de texto y en programas, así que si comparas esta página con otra fuente y los valores salen desfasados una posición, esa es la razón y no un error. La salida de la relación es una estimación y se imprime con ocho decimales; nunca es exactamente el número áureo para un número finito de términos, aunque hacia el septuagésimo octavo el valor impreso y el número áureo coinciden en esas ocho cifras. Los términos se imprimen como una lista separada por comas y sin separadores de millares, así que el décimo término se lee 55 y el septuagésimo octavo se lee 8944394323791464: leer en voz alta un término largo es trabajo de la salida del término n-ésimo y no de la lista. Por último, la tabla de abajo está fijada en los diez primeros términos y no sigue tu entrada; está ahí para mostrar cómo se asienta la relación, no para responder a lo que hayas escrito.

Preguntas frecuentes

¿La sucesión empieza en F(0) o en F(1)?: Esta página empieza en F(1), así que F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2 y el décimo término es 55. La otra convención extendida fija F(0) = 0 y F(1) = 1, lo que desplaza todos los índices una posición: bajo ella el quinto término es 5, mientras que aquí es 8. Las dos se usan en libros de texto y en programas, y ninguna es un error. Pero si comparas esta página con otra fuente y los valores coinciden con una posición de desfase, esta es la razón; es la forma más común de que un resultado de Fibonacci salga mal.
¿Por qué la relación cambia todo el rato en lugar de asentarse de inmediato?: Porque es un límite y no una identidad. Cada término es la suma de los dos anteriores, así que la relación entre términos consecutivos se mueve con una regla propia y fija, y ese movimiento alterna por encima y por debajo del objetivo con cada oscilación de aproximadamente la mitad del tamaño de la anterior. La tabla de esta página lo enseña: 2, 1,5, 2, 1,667, 1,6, 1,625, y luego estrechándose a 1,615 y 1,619. Diez términos se acercan, veinte bastan para los ocho decimales que imprime la página, y ningún número finito de términos es exactamente el número áureo: solo cada vez más cerca de él.
¿Qué es el número áureo y por qué esta sucesión lo produce?: El número áureo es 1,6180339887…, la solución positiva de x² = x + 1. Esa ecuación es la recurrencia de Fibonacci escrita de otra manera: si las relaciones se asientan en algún número, ese número tiene que satisfacerla, y esa es la razón de que la sucesión aterrice en él y de que la convergencia no sea una casualidad ni una curiosidad. La relación es además el número más difícil de aproximar con fracciones, porque su fracción continua es todo unos, y esa es la propiedad que aprovechan las plantas cuando espacian hojas y semillas según ella.
¿Por qué solo puedo pedir 78 términos?: Porque F(79) es mayor que el entero más grande que un valor en doble precisión puede representar exactamente, que es 9007199254740991. F(78) es 8944394323791464 y es exacto; F(79) es 14472334024676221 y se almacenaría como algo cercano a él, pero no igual. La página rechaza la petición en lugar de imprimir una aproximación, porque un término impreso con dieciséis cifras se parece exactamente a uno correcto: no hay forma de ver el error desde la salida. El número de términos es un hecho de coma flotante, no un hecho matemático; la sucesión en sí no termina nunca.
¿Y el problema de los conejos?: Fibonacci presentó la sucesión con un pasatiempo: se empieza con una pareja de conejos, se deja que cada pareja tarde un mes en madurar y que después produzca una pareja nueva cada mes, y se cuentan las parejas al principio de cada mes. Los recuentos salen 1, 1, 2, 3, 5, 8 y así, porque las parejas maduras del mes pasado siguen todas ahí y las parejas nuevas de este mes vienen de las que ya estaban maduras un mes antes, que es la recurrencia alcanzada desde una dirección completamente distinta. Merece la pena conocerlo porque muestra que la sucesión no está definida por ninguna aplicación concreta.
¿Puedo calcular el término n-ésimo sin listar todos los anteriores?: En principio sí, y la salida del término n-ésimo de la página te da ese número en su propia línea, pero lo produce el mismo bucle y no una fórmula abreviada. La razón es la exactitud: existe una forma cerrada, la fórmula de Binet, que da el n-ésimo número de Fibonacci directamente a partir del número áureo, pero incluye números irracionales elevados a una potencia y, en aritmética de coma flotante, se va alejando del entero verdadero según crece n. Sumar enteros es exacto allí donde esa fórmula no lo es, así que la página suma. Avanzar desde dos valores iniciales es además la razón de que 78 términos no cuesten nada: no hay ninguna fórmula que resolver, solo una suma repetida 76 veces.

Referencias

Fibonacci Number — the recurrence, the closed form in terms of the golden ratio, and the identity that makes the ratio converge on it — Wolfram MathWorld (United States)
Golden Ratio — the number 1.6180339887…, its definition as the positive root of x² = x + 1, and why it is the hardest number to approximate with fractions — Wolfram MathWorld (United States)
Continued Fraction — why the all-ones continued fraction of the golden ratio is exactly what makes the Fibonacci ratios converge on it — Wolfram MathWorld (United States)

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