Calculadora de proporción áurea
Resultado
Parte más larga
- Parte más corta
- 38,1966
- Segmento completo
- 100,0000
Una calculadora de proporción áurea parte una longitud en los dos trozos de una sección áurea: la parte más larga dividida entre la más corta da 1,6180339887, y la línea completa dividida entre la más larga da lo mismo. Escribe 100 en una página como esta y el corte sale en 61,8034 y 38,1966. La razón se escribe phi, y su valor exacto es uno más la raíz cuadrada de cinco, todo dividido entre dos: un número que sigue indefinidamente sin repetirse, y esa es la razón de que todas las lecturas de esta página estén redondeadas. Lo que la calculadora necesita de ti no es la razón sino una sola longitud: cuál de las tres conoces ya y cuánto mide. Pongamos que sabes que la línea completa son 1920 píxeles y quieres el corte, o que ya tienes el trozo largo en 100 y quieres el corto, o que el trozo corto está fijado y el largo tiene que seguirlo. Las tres ramas son la misma aritmética reordenada, así que el panel imprime siempre los mismos tres números: la parte más larga, la parte más corta y la línea completa. Dos de ellos son lo que preguntaste, y el tercero es lo que sujeta a los otros dos. Aquí nada lleva unidad, así que la misma página sirve para píxeles, milímetros, pulgadas o fracciones de una hoja, y la misma página responde igual para una fotografía que para la maqueta de una página. La proporción se viene escribiendo desde que Euclides la describió como dividir un segmento en media y extrema razón, que es exactamente la operación que hace esta página: entra una longitud y salen dos. La misma razón es la de los lados de un rectángulo áureo, el que conserva su proporción cuando se le recorta el cuadrado más grande posible, y también el límite al que tienden los cocientes entre términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
Ocho longitudes partidas por la sección áurea
| Línea completa | Parte más larga | Parte más corta |
|---|---|---|
| 1 | 0.618 | 0.382 |
| 10 | 6.1803 | 3.8197 |
| 100 | 61.8034 | 38.1966 |
| 480 | 296.6563 | 183.3437 |
| 960 | 593.3126 | 366.6874 |
| 1080 | 667.4767 | 412.5233 |
| 1200 | 741.6408 | 458.3592 |
| 1920 | 1186.6253 | 733.3747 |
Cada fila es la misma división sobre una longitud distinta, aplicada a la línea completa. Las tres primeras filas son la escala misma: 1, 10 y 100 se parten en las mismas proporciones, y los números son simplemente los de la fila anterior con la coma desplazada un lugar, que es lo que significa que la razón no tenga unidad. De la cuarta en adelante son anchos que aparecen en la práctica —480, 960, 1080, 1200 y 1920— y están para poder leer una cifra en vez de calcularla. Hay dos cosas que llaman la atención según crecen las filas. La primera es que la parte larga siempre está justo por debajo del 62 % de la línea completa y la corta justo por encima del 38 %, en todas las filas y sea cual sea la longitud: lo único que la razón fija es la proporción, y es la misma proporción a un píxel que a mil. La segunda es que la parte corta no es exactamente el 38 % —0,382 y no 0,38—, y por eso el corte no se parece al 60/40 de la regla de los tercios, y por eso los dos trozos de una sección áurea están más cerca de ser iguales de lo que la mayoría espera. Lee cualquier fila de izquierda a derecha y los dos trozos suman la línea completa de la primera columna.
Fórmula
Parte más larga ÷ Parte más corta = phi Línea completa ÷ Parte más larga = phi Parte más corta = Parte más larga ÷ phi Parte más larga = Parte más corta × phi Línea completa = Parte más larga + Parte más corta Qué parte conoces elige cuál de los tres campos se rellena y La longitud que conoces es el número que se escribe en él; el Redondeo deja las tres lecturas en cuatro cifras decimales
- Qué parte conoces
- Una elección entre tres: la parte más larga, la parte más corta o la línea completa. Decide cuál de los campos es tu entrada y cuáles de las tres lecturas se deducen de ella. La línea completa es la opción por defecto, porque una longitud que se puede medir directamente es la manera habitual de entrar en el problema.
- La longitud que conoces
- Cuánto mide esa parte: 100, o 1920, o 0,5. Tiene que ser mayor que cero, porque el cero no tiene sección áurea —los dos trozos serían cero— y una longitud negativa no es una longitud. No está restringida a números enteros y no lleva unidad: los píxeles, los milímetros y las pulgadas funcionan igual.
- Parte más larga
- El trozo mayor del corte, y la lectura principal. Si conoces la línea completa, es esa longitud dividida entre phi; si conoces la parte corta, es esa parte multiplicada por phi; y si es la que conoces, es el número que escribiste.
- Parte más corta
- El trozo menor. Si conoces la línea completa, es lo que queda al quitarle la parte más larga; si conoces la parte más larga, es esa dividida entre phi; y si es la que conoces, es el número que escribiste.
- Línea completa
- Los dos trozos sumados, que es la longitud de la que partías siempre que fuera ese el campo rellenado. Es la lectura que ata a las otras dos: la parte más larga más la parte más corta la devuelven siempre, y esa suma es la comprobación de que las tres líneas concuerdan.
- Redondeo
- Las tres lecturas se imprimen con cuatro cifras decimales, porque phi no termina nunca. Las tres se calculan a partir del mismo par de números, así que cuando la longitud que escribes cae sobre la rejilla de cuatro decimales, las tres líneas impresas siguen sumando exacto: 61,8034 + 38,1966 son 100.
El primer uso es una maquetación: una página, un lienzo, una fotografía o un marco que conviene partir por la sección áurea, donde se conoce el ancho total y se quieren los dos trozos. El segundo es la dirección contraria, igual de frecuente: ya has dibujado el trozo largo y ahora necesitas el corto, o tienes un trozo corto fijo y el largo hay que deducirlo de él. El tercero es comprobar un corte que ha hecho otra persona: se escribe la parte más larga y se mira si la línea completa que implica es la que aparece en el plano. El cuarto es una proporción a distintas escalas, donde la misma razón se aplica a una versión grande y a una pequeña del mismo diseño; como la razón no tiene dimensiones, no hay nada que convertir entre las dos. El quinto es el que trae la gente después de toparse con la frase y no con el número: ver que una línea de 100 se convierte en 61,8 y 38,2 es lo que vuelve concreta la definición, y la tabla de abajo repite eso con un puñado de anchos conocidos para poder leer el efecto de escalar en una sola columna. Lo que esta página no decide es si la sección áurea es la proporción adecuada para el trabajo que tienes entre manos: aplica la razón y nada más, y para eso no hace falta ninguna calculadora.
Ejemplos resueltos
Una línea completa de 100
- Parte más larga: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
- Parte más corta: 100 − 61,8034 = 38,1966
- Comprobamos: 61,8034 + 38,1966 = 100, la longitud de la que se partía
- Y la razón: 61,8034 ÷ 38,1966 = 1,618
El caso por defecto y el más claro: entra un 100 redondo, salen dos números incómodos, y los dos suman exactamente 100. Esa última parte no es suerte: la parte corta se halla por resta y no con una segunda división, así que las dos líneas impresas no pueden contradecir a la línea que escribiste. El cuarto paso es la definición al revés, y es el paso que merece la pena hacer una vez: dividir el trozo largo entre el corto tiene que devolver phi.
Parte más larga conocida de 100
- Parte más corta: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
- Línea completa: 100 + 61,8034 = 161,8034
- Así que un trozo largo de 100 pertenece a una línea de 161,8034
La dirección que de verdad hace falta cuando el diseño ya tiene un borde largo: el trozo largo está fijado y el resto de la línea tiene que seguirlo. Fíjate en que aquí la lectura principal es simplemente el número que se escribió: el panel mantiene la parte más larga en la primera línea sea cual sea la rama que se tome, así que la respuesta está siempre en el mismo sitio. Y fíjate en que la segunda línea es el mismo 61,8034 que en el caso anterior, que es justamente el asunto: un trozo largo de 100 implica el mismo trozo corto, tanto si viene de una línea de 161,8 como si viene de una línea de 100 partida de otra manera.
Parte más corta conocida de 100
- Parte más larga: 100 × 1,6180339887 = 161,8034
- Línea completa: 100 + 161,8034 = 261,8034
- Así que un trozo corto de 100 pertenece a una línea de 261,8034
La tercera rama, y la que fija la multiplicación: pasar del trozo corto al largo multiplica por phi, mientras que pasar del largo al corto divide entre phi. Las dos direcciones aparecen en los casos anteriores, y compararlas es la manera más rápida de recordar hacia dónde va la constante. Un trozo corto de 100 necesita una línea de más de dos veces y media su longitud, que es el aviso práctico: la parte corta de una sección áurea siempre es la porción menor de una línea más larga de lo que parece.
Un ancho de 1920 píxeles
- Parte más larga: 1920 ÷ 1,6180339887 = 1186,6253
- Parte más corta: 1920 − 1186,6253 = 733,3747
- Comprobamos: 1186,6253 + 733,3747 = 1920
Un ancho de pantalla, que es donde este cálculo se hace de verdad la mayoría de las veces: un lienzo o una columna de contenido partidos por la sección áurea. Los dos trozos caen en cuatro cifras decimales y, en píxeles, eso es una fracción de píxel: redondéalos a píxeles enteros y el corte sigue siendo áureo muy por dentro de lo que el ojo distingue. Es también el caso que enseña por qué las lecturas se imprimen con cuatro decimales y no con dos: a este tamaño, dos decimales pondrían los dos trozos en números casi enteros y esconderían el hecho de que ninguno de los dos es exacto.
Una línea completa de 2
- Parte más larga: 2 ÷ 1,6180339887 = 1,2361
- Parte más corta: 2 − 1,2361 = 0,7639
- Comprobamos: 1,2361 + 0,7639 = 2
La longitud entera más pequeña que todavía muestra un corte con cifras a los dos lados de la coma, y el caso que hace visible la rareza de la razón: la parte larga de una línea de 2 es más de la mitad, como lo es siempre, y la parte corta se queda un poco por debajo de cuatro décimas. Escalar esta línea por diez da el 20, y las dos partes escalan con ella: en la razón no hay unidad ni escala, solo una proporción entre dos trozos de lo que hayas medido.
Limitaciones
La longitud que escribes tiene que ser mayor que cero. El cero se rechaza porque su sección áurea serían dos ceros, lo que no dice nada, y una longitud negativa se rechaza porque es una longitud que no existe y no una pequeña. Solo se toma una longitud a la vez, y la página nunca comprueba un corte hecho en otro sitio: si ya tienes dos trozos cortados, escribir uno de ellos devuelve la sección a la que ese trozo pertenece en lugar de confirmar la pareja que tienes. Las tres lecturas se imprimen con cuatro cifras decimales, así que los números nunca son los exactos: phi no tiene forma decimal exacta en absoluto y la página está redondeando en todas las líneas; cuando la línea completa y la parte más larga caen las dos sobre la rejilla, las líneas impresas siguen sumando exacto, pero una longitud con cinco o más decimales puede dejar la última cifra una unidad fuera, y eso es la impresión y no la aritmética. Las longitudes no llevan unidad a propósito, lo que significa que la página no puede decirte si los dos trozos están en milímetros o en millas, y significa también que no te avisará de que un corte en píxeles necesitará redondearse a píxeles enteros para poder construirse. Y la página aplica la razón y nada más: no dice si una sección áurea es la proporción adecuada para el trabajo, ni dibuja la espiral logarítmica con la que se suelen ilustrar los rectángulos áureos sucesivos.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es exactamente la proporción áurea?
- Uno más la raíz cuadrada de cinco, dividido entre dos, que es 1,6180339887498948482 y sigue indefinidamente sin repetirse. Es la única razón que sobrevive a que la corten: toma un rectángulo con esos lados, quítale el cuadrado más grande y el rectángulo que queda vuelve a tener la misma razón. Euclides la describió como dividir un segmento en media y extrema razón, que es la operación que hace esta página.
- ¿Cómo se parte una longitud por la proporción áurea?
- Se divide la línea completa entre 1,6180339887 para obtener el trozo largo, y después se le resta ese trozo a la línea completa para obtener el corto. Una línea de 100 se convierte en 61,8034 y 38,1966. Que la parte corta salga de una resta y no de una segunda división es deliberado: garantiza que los dos trozos vuelvan a sumar la longitud que escribiste.
- Ya conozco uno de los trozos, no la línea completa. ¿Puedo usarlo?
- Sí: elige qué parte conoces en el primer campo y escribe su longitud. Si conoces el trozo largo, el corto es ese dividido entre phi y la línea completa son los dos sumados. Si conoces el trozo corto, el largo es ese multiplicado por phi. Las tres ramas son la misma aritmética reordenada, y el panel imprime siempre las mismas tres líneas.
- ¿Por qué los números salen con cuatro cifras decimales?
- Porque phi no termina nunca, así que ninguna lectura de esta página puede ser exacta: las cuatro cifras son donde se detiene el redondeo, en el mismo sitio para las tres líneas. Cuando la longitud que escribes tiene como mucho cuatro decimales, las tres líneas impresas siguen sumando exacto, porque el trozo corto se halla por resta. Una longitud con cinco decimales o más puede dejar la última cifra una unidad fuera.
- ¿Importa qué unidad uso?
- No, y por eso no aparece ninguna unidad en toda la página. La proporción áurea es una proporción entre dos longitudes y no una longitud, de modo que los píxeles, los milímetros, las pulgadas y las fracciones se comportan igual, y escalar la longitud que escribes escala las tres lecturas por el mismo factor. La consecuencia es que la página no puede decirte si tu respuesta necesita redondearse a píxeles enteros antes de poder construirse.
- ¿Basta con 1,618?
- Para cortar un cartón, sí; para la definición, no. La proporción áurea no es 1,618: es uno más la raíz cuadrada de cinco sobre dos, y solo empieza por esas cifras. Usar el 1,618 de cuatro cifras en todo el cálculo desplaza la parte larga de una línea de 100 alrededor de una milésima, lo que es invisible en casi cualquier trabajo pero no es la sección áurea. Esta página usa toda la precisión de la que dispone y redondea solo lo que imprime.
- ¿No es lo mismo que una calculadora de razones o de proporciones?
- No, y la diferencia está en lo que tienes que aportar tú. Una calculadora de razones toma dos números que le das y los simplifica, y una de proporciones resuelve el término que falta en una igualdad que has escrito. Aquí la razón no la eliges: está fijada en phi, y lo que escribes es una longitud. Tres páginas, tres preguntas distintas.
Referencias
- Golden Ratio — la definición de phi como la única razón que sobrevive al recortar un rectángulo en un cuadrado y un resto, su valor exacto de uno más la raíz cuadrada de cinco sobre dos, sus otros nombres (proporción divina, media áurea, sección áurea) y la definición equivalente de Euclides por media y extrema razón — Wolfram MathWorld (United States)
- Golden Ratio Conjugate — la cantidad menor, igual a phi menos uno y a uno entre phi, que es la razón entre el trozo corto y el trozo largo de esta página — Wolfram MathWorld (United States)
- Golden Rectangle — el rectángulo cuyos lados están en la proporción áurea y que conserva esa proporción cuando se le quita un cuadrado, la figura que hace única la definición de phi — Wolfram MathWorld (United States)
- Fibonacci Number — la sucesión cuyos términos están relacionados con la proporción áurea, y cuyos pares consecutivos se acercan a la misma proporción que aplica esta página — Wolfram MathWorld (United States)