Calculadora de proporciones
Resultado
Término que falta
- Producto cruzado (A × D = B × C)
- 48,0000
- Factor de escala (C ÷ A)
- 4,0000
Esta calculadora de proporciones resuelve el enunciado que dice que dos razones son iguales cuando falta uno de sus cuatro términos. Escribir 3 : 4 = 12 : ? devuelve 16, porque 3 : 4 y 12 : 16 son razones equivalentes: la segunda es la primera con cada término multiplicado por cuatro. El formulario son cuatro casillas numéricas y nada más, y la regla es que se deja en blanco exactamente una de ellas: esa casilla vacía es el término que falta, y es lo que se resuelve. No hay ningún desplegable preguntando cuál de los cuatro quieres, porque el hueco ya lo dice, y las cuatro posiciones funcionan igual: se puede dejar en blanco la primera igual de fácil que la última, que es la pregunta que más veces se le hace a este tipo de formulario. Solo hacen falta tres de los cuatro términos, y la aritmética es siempre la misma: multiplicar en cruz convierte el enunciado en una única ecuación, A × D = B × C, y despejar el término que falta consiste en multiplicar la otra pareja y dividir por su compañero en diagonal. Eso es exactamente lo que en la escuela se llama regla de tres, y es también la razón de que el panel muestre el producto de la pareja que sí llenaste, porque es el número al que llegaría tu mano antes de dividir. Al lado va el factor de escala, que dice cuántas veces la segunda razón amplía cada término de la primera. Como la fórmula es una sola, aquí no hay cuatro casos que aprender y equivocarse en uno: hay una única operación escrita una vez. Las razones pueden ser negativas, así que los términos también; el cero es el único valor que no se admite en ninguna casilla, porque un término nulo deja la ecuación sin solución o con infinitas.
Diez proporciones y las cuatro formas de dejar una casilla en blanco
| Primer término (A) | Segundo término (B) | Tercer término (C) | Cuarto término (D) | Término que falta | Producto cruzado | Factor de escala |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 12 | 16 | D | 48 | 4 |
| 3 | 4 | 12 | 16 | A | 48 | 4 |
| 3 | 4 | 12 | 16 | B | 48 | 4 |
| 3 | 4 | 12 | 16 | C | 48 | 4 |
| 12 | 5 | 2.4 | 1 | C | 12 | 0.2 |
| 5 | 3 | 20 | 12 | D | 60 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 6 | D | 12 | 2 |
| 1.5 | 4.5 | 2.5 | 7.5 | C | 11.25 | 1.6667 |
| -3 | 4 | -12 | 16 | D | -48 | 4 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | D | 49 | 1 |
Cada fila es una proporción ya resuelta, y las columnas son los cuatro términos, cuál de las casillas quedó en blanco, el producto de la pareja que sí estaba puesta y el factor que convierte la primera razón en la segunda. Las cuatro primeras filas son la misma proporción, 3 : 4 = 12 : 16, con el hueco recorriendo D, A, B y C por turno, y las lecturas son idénticas en las cuatro: 48 de producto cruzado y 4 de factor de escala. Leer esas cuatro filas seguidas es la respuesta más rápida a si esta página puede despejar el primer término: puede despejar cualquiera de ellos. También explican la columna del término que falta, que imprime la letra de la casilla vacía en lugar de un número, porque los términos y las letras son los mismos en cualquier idioma. La quinta fila es 12 : 5 = ? : 1, resuelta como 2,4, que es la misma aritmética que un precio por unidad y la única fila cuya respuesta no es un número entero. La sexta es 5 : 3 = 20 : ?, resuelta como 12. La séptima es la proporción entera más pequeña, 2 : 3 = 4 : 6. La octava tiene decimales en todas las casillas, y su factor de escala de 1,6667 es la única lectura de la tabla que no sale exacta. La novena tiene términos negativos, donde el producto cruzado es negativo y el factor de escala es positivo. La décima es 7 : 7 = 7 : 7, cuyo factor de escala de 1 dice que las dos razones son idénticas: una proporción puede ser trivialmente cierta, y aun así hay que resolverla como cualquier otra.
Fórmula
A ÷ B = C ÷ D multiplicando en cruz: A × D = B × C término que falta = (la pareja que llenaste, multiplicada) ÷ su compañero en diagonal
- First term (A)
- El primer número de la razón de la izquierda: 3 en 3 : 4 = 12 : 16. Puede dejarse en blanco, y entonces es el término que resuelve esta página: la respuesta se imprime en la misma línea sea cual sea la casilla vacía. Admiten negativos y no admite el cero.
- Second term (B)
- El segundo número de la razón de la izquierda: 4 en la misma proporción. Por ser el segundo miembro de una razón es aquel contra el que se compara, así que un cero aquí no describe nada: una razón de 3 : 0 no es una razón. Los valores negativos sí se aceptan.
- Third term (C)
- El primer número de la razón de la derecha: 12 en el ejemplo. Puede quedar en blanco y puede ser negativo. El cero también se rechaza aquí, porque C ÷ D sería cero para cualquier D, y ningún D hace que cero sea igual a una razón distinta de cero.
- Fourth term (D)
- El segundo número de la razón de la derecha: 16 en el ejemplo, y la casilla que suele quedar vacía porque el formulario trae los tres primeros puestos. Es el término que más se busca, y se resuelve igual que los otros tres: multiplicar la otra pareja y dividir entre el compañero en diagonal.
- Missing term
- El término que quedó en blanco, ya resuelto: 16 para 3 : 4 = 12 : ?. Se imprime en una sola línea sea cual sea de las cuatro casillas la que estaba vacía, porque una línea etiquetada según una posición concreta estaría señalando el sitio equivocado tres veces de cada cuatro. La respuesta nunca es cero: es uno de los dos productos dividido entre un compañero distinto de cero.
- Cross product
- El producto de la pareja que llenaste: 48 para 3 : 4 = 12 : ?, que sale de 4 × 12. La multiplicación en cruz afirma que los dos productos son iguales, así que este número es el que queda a los dos lados del signo igual y el que conviene comprobar a mano. Qué pareja se muestra depende de la casilla que estuviera vacía, y siempre es la pareja completa, la que no necesita el valor ya resuelto, que a su vez es una lectura redondeada.
- Scale factor
- C dividido entre A: 4 para 3 : 4 = 12 : 16, porque la segunda razón es la primera con cada término multiplicado por cuatro. No es el valor de ninguna de las dos razones, que son iguales por definición, porque eso es precisamente lo que afirma un enunciado de proporcionalidad; es cuántas veces la segunda razón amplía la primera, y es la comprobación más rápida de que la respuesta tiene el tamaño que debe tener.
El primer uso es el de siempre: se conocen tres términos de una proporción y se quiere el cuarto, ya sea en un plano a escala, una receta, una mezcla o un cambio de moneda a un tipo fijo. El segundo es comprobar una proporción ya resuelta: la línea del producto cruzado es la multiplicación que harías a mano, y el factor de escala es la versión de un vistazo de esa misma comprobación. El tercero es una proporción cuyo primer término es el desconocido, que muchas herramientas no saben expresar porque dan por hecho que la respuesta va siempre en la última casilla; aquí basta con dejar vacía la primera. El cuarto es una pareja de razones con decimales, como 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5, donde la respuesta es un decimal y esta página imprime decimales en lugar de convertir el resultado en una fracción. El quinto es la frontera con la tasa unitaria: 12 : 5 = ? : 1 es la misma aritmética que calcular el precio de una sola unidad, y esta página lo resuelve, mientras que la de tasa unitaria es la que exige que el segundo término sea exactamente 1.
Ejemplos resueltos
3 : 4 = 12 : ?
- El cuarto término es el que queda en blanco, así que es el que se despeja
- Multiplica en cruz: 3 × D = 4 × 12, que es 3 × D = 48
- Divide los dos lados entre 3: D = 48 ÷ 3 = 16
- Comprueba con el factor de escala: 12 ÷ 3 = 4, y 4 × 4 = 16, así que las dos razones son la misma
La pareja por defecto y la forma con la que llega casi todo el mundo: los tres primeros términos puestos y el último deseado. Las dos lecturas de apoyo son las dos mitades de la comprobación: el producto cruzado 48 es el número que queda a los dos lados de la ecuación, y el factor de escala 4 es aquello por lo que la segunda razón multiplica a la primera. Fíjate en que el término despejado es el que hace que las dos razones valgan 0,75: 3 ÷ 4 y 12 ÷ 16. Esa igualdad es todo el contenido de una proporción, y esta página no hace más que reordenarla.
? : 4 = 12 : 16
- Esta vez queda en blanco el primer término, y nada más del método cambia
- Multiplica en cruz: A × 16 = 4 × 12, que es A × 16 = 48
- Divide los dos lados entre 16: A = 48 ÷ 16 = 3
- El producto cruzado sigue siendo 48, porque sale de la pareja que sí estaba puesta
La misma proporción con la respuesta en la primera casilla en lugar de la última, y todas las lecturas son idénticas: 3, 48 y 4. Esta es la pregunta que responde el formulario de cuatro casillas y que un formulario con la salida fija no puede responder: el desconocido está donde hayas dejado el hueco. Merece la pena mirar aquí el producto cruzado, porque es 4 × 12 y no A × 16: la página multiplica la pareja que llenaste, no la pareja que resulta contener el término que acaba de despejar. Si usara el valor ya resuelto, quien comprobara a mano estaría multiplicando por un número redondeado.
3 : ? = 12 : 16
- El hueco está en la segunda casilla, y el método vuelve a ser el mismo
- Multiplica en cruz: 3 × 16 = B × 12, que es 48 = B × 12
- Divide los dos lados entre 12: B = 48 ÷ 12 = 4
- El producto cruzado sale esta vez de la pareja completa, 3 × 16 = 48
El hueco se ha movido a una segunda posición, que es donde las dos parejas se intercambian: con el primer término ausente la pareja completa es B y C, y con el segundo ausente es A y D. El producto impreso es 48 en los dos casos de este ejemplo, pero eso es una coincidencia de estos cuatro números y no una regla: la regla es que la página multiplica la pareja que llenaste, así que el número del panel siempre se puede reproducir a mano con lo que escribiste. Dividir entre 12 en vez de multiplicar por 12 es el paso que más veces se hace al revés.
12 : 5 = ? : 1
- El hueco es el tercer término: 12 : 5 debería ser igual a C : 1
- Multiplica en cruz: 12 × 1 = 5 × C, que es 12 = 5 × C
- Divide los dos lados entre 5: C = 12 ÷ 5 = 2,4
- El factor de escala es 2,4 ÷ 12 = 0,2, por debajo de uno porque la segunda razón es más pequeña
Es la misma aritmética que calcular el precio de una sola unidad cuando cinco cuestan doce, y la respuesta es un decimal y no un número entero. Esta página imprime ese decimal y no lo convierte en fracción, que es una frontera deliberada: reducir un resultado a su mínima expresión es cosa de las páginas de fracciones, y una proporción con términos decimales puede no tener ninguna fracción limpia. El factor de escala por debajo de uno es la señal útil de este ejemplo: dice que la segunda razón es una fracción de la primera, algo que se lee como un error con facilidad cuando uno esperaba que la respuesta saliera más grande.
-3 : 4 = -12 : ?
- El hueco es el cuarto término, y los términos pueden ser negativos
- Multiplica en cruz: −3 × D = 4 × (−12), que es −3 × D = −48
- Divide los dos lados entre −3: D = −48 ÷ −3 = 16
- El producto cruzado es negativo y el factor de escala es positivo, y los dos son correctos
Los términos negativos son legales, porque una razón puede ser negativa y −0,75 = −0,75 es una proporción verdadera. Las dos lecturas de apoyo apuntan aquí en direcciones opuestas y eso no es una contradicción: el producto cruzado −48 es el producto de los dos términos de un lado de la ecuación, mientras que el factor de escala 4 es −12 ÷ −3, y dividir un negativo entre otro da positivo. Este es el caso que hay que mirar si alguna vez parece que la página devuelve un signo al azar: el signo pertenece al producto o al cociente que se imprime, no a la proporción en su conjunto.
Limitaciones
Se deja en blanco exactamente una casilla. Si se llenan las cuatro, la página se niega, incluso cuando los cuatro números sí forman una proporción correcta como 3 : 4 = 12 : 16: sin hueco no hay término que despejar, e imprimir uno de ellos como respuesta sería que la página eligiera por ti. Eso mismo da la manera de comprobar una proporción que crees que se cumple: deja un término en blanco y mira si el valor resuelto es el número que tenías en la cabeza. Con menos de tres casillas llenas tampoco hay nada que resolver. El cero no puede aparecer en ninguna de las cuatro casillas, y los cuatro casos se reducen a un solo motivo: en A × D = B × C un término nulo o bien deja la ecuación sin solución o bien la hace cierta para cualquier valor, así que la página lo rechaza en lugar de escoger una respuesta. Un cero como segundo o como cuarto término es el caso más claro, ya que una razón escrita contra cero no es una razón. Los términos negativos son legales y la respuesta puede ser negativa, así que no hay que leer un signo menos como un error. Las cuatro lecturas van redondeadas a cuatro decimales, lo que importa cuando un término no divide exacto: 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5 se resuelve como 2,5 con un factor de escala de 1,6667. Los resultados se imprimen como decimales y nunca como fracciones: esta página no reduce nada, y una proporción con términos decimales puede no tener ninguna fracción exacta que reducir. Ninguno de los cuatro términos lleva unidad, porque una proporción compara cantidades de la misma clase y ponerle una dimensión dejaría fuera a todas las demás; si la razón es una tasa con unidades a cada lado, la página de la tasa unitaria es la que se ocupa de ello. La página resuelve una proporción cada vez y no ofrece proporciones compuestas ni encadenadas.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se resuelve una proporción?
- Multiplica en cruz y después divide. Para 3 : 4 = 12 : ? la fórmula da 3 × D = 4 × 12, así que 3 × D = 48 y D = 16. Dicho con palabras: multiplica la pareja que llenaste y divide entre el compañero en diagonal del término que despejas. Ese único método cubre las cuatro posiciones, y es la misma regla de tres que se aprende en la escuela.
- ¿Se puede despejar el primer término en vez del último?
- Sí, y cualquiera de los cuatro. Deja en blanco la casilla que quieras resolver y llena las otras tres: no hay ningún modo aparte ni ningún menú que pregunte a qué término te refieres. Para ? : 4 = 12 : 16 la respuesta es 3, y el panel tiene el mismo aspecto que cuando el hueco está al final.
- ¿Qué pasa si lleno los cuatro términos?
- La página se niega, incluso cuando los cuatro números forman una proporción correcta. Sin hueco no hay término que despejar, e imprimir uno de ellos sería que la página eligiera por ti. Si quieres comprobar una proporción que crees que se cumple, deja un término en blanco y mira si el valor resuelto coincide con el número que tenías en mente.
- ¿Los términos pueden ser negativos o cero?
- Los negativos sí: −3 : 4 = −12 : 16 es una proporción verdadera. El cero se rechaza en cualquiera de las cuatro casillas. En A × D = B × C un término nulo o bien deja la ecuación sin solución o bien la hace cierta para cualquier valor, y una razón como 3 : 0 no es una razón. El término resuelto nunca es cero.
- ¿Qué muestra la línea del producto cruzado?
- El producto de la pareja que llenaste: 48 para 3 : 4 = 12 : ?, que sale de 4 × 12. Multiplicar en cruz afirma que los dos productos son iguales, así que este es el número que está a los dos lados del signo igual y el que merece la pena comprobar a mano. La pareja que se imprime depende de la casilla vacía, así que siempre es una pareja que puedes multiplicar con lo que escribiste.
- ¿Qué significa el factor de escala?
- Cuántas veces la segunda razón amplía a la primera: 4 para 3 : 4 = 12 : 16, ya que 12 es 3 × 4 y 16 es 4 × 4. No es el valor de la razón, porque las dos razones son iguales por definición: eso es justo lo que afirma una proporción. Es la comprobación más rápida de que la respuesta es del tamaño correcto.
- ¿Qué diferencia hay con la calculadora de razones?
- Aquí se despeja un término que falta en un enunciado de proporcionalidad y el resultado se imprime en decimal; allí se simplifica un solo par de números a su mínima expresión y se dan sus dos escrituras equivalentes. Comparten la idea de razón, pero una resuelve una ecuación y la otra reduce un par.
Referencias
- Proportional — the relation between two quantities whose ratio is constant, which is what a proportion states and what this page solves for its missing term — Wolfram MathWorld (United States)
- Linear Equation — an equation in which each term is a constant or a constant multiple of a single variable, which is the form cross-multiplication reduces a proportion to before the missing term is divided out — Wolfram MathWorld (United States)
- Ratio — the quotient of two numbers, which is what each side of a proportion is and what the scale factor line measures the change in — Wolfram MathWorld (United States)
- Greatest Common Divisor — the divisor behind reducing a ratio or a fraction to its simplest form, which this page does not do because it returns decimals rather than a reduced result — Wolfram MathWorld (United States)
- Proporcionalidad y regla de tres: cómo se despeja el término que falta en una proporción cuando se conocen los otros tres, con el valor de partida como referencia de la comparación — Matemáticas IES (España)