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CalcMax

Calculadora de MCD

Resultado

12

Máximo común divisor

Divisores comunes
1, 2, 3, 4, 6, 12

El máximo común divisor de una lista de números es el mayor número entero que divide a todos ellos sin dejar resto. Para 24, 36 y 60 es 12: ningún número mayor divide a los tres, y todos los que sí los dividen —1, 2, 3, 4, 6 y 12— son divisores comunes de la lista. Esta calculadora devuelve las dos mitades de esa respuesta, porque el mayor por sí solo es fácil de enunciar y difícil de comprobar, mientras que la lista completa de divisores comunes muestra de dónde sale. Hay tres caminos para llegar al resultado y los tres conviene conocerlos. El primero es escribir los divisores de cada número y quedarse con el mayor que tengan en común, que es lo que hace la tabla de abajo con 24, 36 y 60. El segundo es descomponer cada número en factores primos y conservar solo los primos en los que coinciden, repetidos tantas veces como coincidan: 24 es 2³ × 3, 36 es 2² × 3² y 60 es 2² × 3 × 5, así que los tres comparten 2² y un 3, y 2² × 3 es 12. La descomposición en factores primos es el método preferible cuando los números son grandes pero factorizables, porque explica por qué el resultado es el que es. El tercero es el algoritmo de Euclides, que reemplaza una y otra vez el mayor de dos números por el resto de dividirlo entre el menor: para 1071 y 462 eso da 1071 → 147 → 21, y el último resto distinto de cero es la respuesta, 21. No necesita factorizar nada, y por eso es el método que escala a números que no se pueden descomponer a ojo. Dos números cuyo único divisor común es 1 se llaman números coprimos, y su máximo común divisor es 1: 9 y 20 son coprimos, y también lo son dos enteros consecutivos cualesquiera. El divisor se usa para simplificar fracciones: dividir el numerador y el denominador de 24/36 entre 12 da 2/3, el mismo número escrito con el denominador más pequeño posible.

Los divisores y las descomposiciones en primos de 24, 36 y 60, la entrada por defecto

NúmeroDescomposición en primosDivisores
242^3 * 31, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
362^2 * 3^21, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
602^2 * 3 * 51, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Lee la columna de divisores de arriba abajo y los tres números compartidos son los que aparecen en las tres filas: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. El mayor de ellos es la respuesta. La columna de descomposición dice lo mismo de otra manera, y esa segunda manera es la que escala: los primos compartidos son 2² y 3, y 2² × 3 es 12. Fíjate en que la parte compartida es la potencia más pequeña de cada primo compartido y no la mayor: 36 tiene 3², pero 24 solo tiene 3¹, y el divisor también tiene que dividir a 24, así que se lleva un único 3. Fíjate también en que 60 aporta un primo que los otros no tienen en absoluto, el 5, y ese primo simplemente desaparece del resultado: un divisor tiene que dividir a todos los números de la lista, así que un primo que falte en cualquiera de ellos falta también en la respuesta. La tabla no sigue los números que hayas escrito: el panel de arriba responde a esos, y esto muestra los tres métodos encontrándose en un mismo ejemplo.

Fórmula

24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5 ⇒ MCD(24, 36, 60) = 2² × 3 = 12, y los divisores comunes a los tres son 1, 2, 3, 4, 6 y 12

24, 36, 60
Los números que se comparan, de dos a diez, cada uno un entero de 1 a 1000000. Se separan con espacios, comas o puntos y coma, así que 24 36 60 y 24, 36, 60 son la misma entrada. Se rechaza el punto decimal y la barra de fracción en lugar de redondearlos, y también el 0: no hay una convención única para el máximo común divisor de 0 y 0, y esta página no va a elegir una por ti
2³ × 3
La descomposición en factores primos de 24: tres factores de dos y un factor de tres. Todo entero mayor que 1 tiene exactamente una descomposición así, y eso es lo que hace funcionar el segundo método
2² × 3
La parte en la que coinciden las tres descomposiciones: dos doses y un tres, es decir 4 × 3 = 12. La regla es tomar la potencia más pequeña de cada primo compartido, no la más grande: el divisor tiene que dividir a todos los números, así que nunca puede superar lo que permite el más restrictivo de ellos
1, 2, 3, 4, 6, 12
Todos los divisores comunes, en orden creciente. El último es el máximo común divisor, y la lista entera es la comprobación: 12 divide a 24, a 36 y a 60 sin dejar resto, y el siguiente divisor por encima, 18, solo divide a 36
gcf(a, b, c) = gcf(gcf(a, b), c)
Cómo se manejan más de dos números: de dos en dos, incorporando el resultado acumulado al número siguiente. No es un método aparte, es el método de dos números aplicado repetidamente, y por eso la página da la misma respuesta para tres números que para cualquier pareja por la que empieces
coprime
El nombre de una pareja cuyo único divisor común es 1, de modo que su máximo común divisor es 1. 9 y 20 son coprimos aunque ninguno de los dos sea primo, y dos enteros consecutivos cualesquiera lo son siempre

Simplificar una fracción es el uso de todos los días: 24/36 es 2/3 en cuanto divides las dos partes entre 12, y ese mismo paso es lo primero que hace cualquier página de fracciones. Reducir una receta o un plano a su proporción entera más pequeña es la misma operación con otra ropa: una mezcla escrita 24 : 36 : 60 es la misma que 2 : 3 : 5, y la segunda versión es la que cabe en una etiqueta. En los ejercicios de clase se pide el divisor directamente, y la lista impresa de divisores comunes es el desarrollo: muestra que la respuesta se encontró comparando divisores y no adivinando. Hay dos sitios más donde aparece. Cubrir un rectángulo con las baldosas cuadradas más grandes posibles es una pregunta de máximo común divisor disfrazada, y la respuesta es el tamaño de la baldosa. Y en teoría de números, que dos números sean coprimos es la condición que hace funcionar varios resultados, incluido el que sostiene el cifrado RSA: un módulo solo es seguro cuando es coprimo con el exponente que se usa con él. Cuando los números son incómodos, 1071 y 462 por ejemplo, factorizarlos a mano deja de ser práctico y el algoritmo de Euclides toma el relevo; los ejemplos de la página muestran las dos rutas llegando al mismo 21.

Ejemplos resueltos

  1. El máximo común divisor de 24, 36 y 60

    1. Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
    2. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
    3. Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
    4. Nos quedamos con los que aparecen en las tres listas: 1, 2, 3, 4, 6, 12
    5. El mayor de ellos es 12, así que el máximo común divisor es 12

    El caso por defecto, y el que recorre entera la tabla de abajo. Haciéndolo por descomposición en primos: 24 es 2³ × 3, 36 es 2² × 3², 60 es 2² × 3 × 5, los tres comparten 2² y un 3, y 2² × 3 es 12. La lista de divisores comunes es la parte que conviene conservar: es el único resultado que muestra que el divisor es el mayor y no uno cualquiera, porque 8 y 9 dividen a dos de los tres números, pero no a los tres.

  2. Números incómodos: 1071 y 462

    1. 1071 ÷ 462 = 2 y resto 147
    2. 462 ÷ 147 = 3 y resto 21
    3. 147 ÷ 21 = 7 y resto 0 — el resto llegó a cero, así que paramos
    4. El último resto distinto de cero es 21, así que el máximo común divisor es 21
    5. Comprobación factorizando los dos: 1071 = 3 × 7 × 51 y 462 = 2 × 3 × 7 × 11, así que la parte compartida es 3 × 7

    Esta pareja es la razón de que el algoritmo de Euclides esté en la página: ninguno de los dos números se factoriza a simple vista, y listar divisores a mano sería lento y propenso a errores. Cuatro divisiones lo resuelven. El 21 es también el mayor número que divide a los dos, y la lista compartida es corta —1, 3, 7, 21—, que suele ser la señal de que dos números tienen poco en común.

  3. Números coprimos: 9 y 20

    1. Divisores de 9: 1, 3, 9
    2. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
    3. El único divisor que comparten las dos listas es 1
    4. Por lo tanto, el máximo común divisor es 1

    Un resultado de 1 es una respuesta de verdad, no un fallo: los dos números son coprimos. Ocurre siempre que los números no comparten ningún primo, y es frecuente: dos enteros consecutivos son siempre coprimos, y también lo es un primo emparejado con cualquier número que no sea múltiplo suyo. En esta página, una pareja coprima vuelve con la lista de divisores comunes más corta posible, un único 1.

  4. Un número emparejado consigo mismo: 36 y 36

    1. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
    2. Las dos entradas de la lista son el mismo número, así que las dos listas de divisores son idénticas
    3. El mayor divisor compartido es el propio 36

    El extremo superior de lo que puede valer la respuesta: el máximo común divisor de una lista nunca puede superar al número más pequeño de esa lista, y llega justo a ese techo cuando el más pequeño divide a todos los demás. Repetir un número en la entrada no cambia nada: el divisor de 36 y 36 es 36, igual que el de una lista con un solo número.

Limitaciones

Todos los números deben ser enteros de 1 a 1000000, y deben ser entre dos y diez. El cero se rechaza, y eso es una decisión y no un descuido: el máximo común divisor de 0 y 5 es 5 bajo una convención habitual y no está definido bajo otras, y el de 0 y 0 es 0 en unos libros y directamente no existe en el resto. Imprimir una de esas respuestas sería incorrecto para quien siga otra convención, así que la página pide números positivos. Los negativos se rechazan por un motivo parecido: el divisor de −24 y 36 es 12 en la mayoría de los tratamientos, pero las reglas de signo son una convención aparte que esta página no enuncia. Los decimales y las fracciones se rechazan en lugar de redondearse: un máximo común divisor habla de enteros que dividen a enteros, y 2,5 ÷ 1,25 no tiene resto, lo que dejaría la respuesta sin sentido. Los separadores pueden ser espacios, comas o puntos y coma, mezclados o no; cualquier otra cosa se toma como parte de un número y vuelve la entrada ilegible. Conviene saber además que el campo solo acepta dígitos: si escribes el millón con puntos, como 1.000.000, la entrada se rechaza —hay que escribirlo 1000000. La tabla de abajo está fijada en 24, 36 y 60 y no sigue lo que hayas escrito: el panel responde a tus números, la tabla muestra el método. Las repeticiones están permitidas y no cambian nada. El resultado es exacto, nunca redondeado: todos los valores de esta página son enteros muy por debajo del límite que una máquina representa con exactitud.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el máximo común divisor a mano?
Escribe los divisores de cada número y quédate con el mayor que todos compartan. Para 24, 36 y 60 esas listas acaban en 12, así que el máximo común divisor es 12. La ruta rápida para números grandes es el algoritmo de Euclides: divide el mayor entre el menor, sustituye el mayor por el resto y repite hasta que el resto sea cero; para 1071 y 462 son cuatro divisiones y la respuesta es 21. Las dos rutas dan el mismo número, y las dos aparecen en los ejemplos de arriba.
¿Qué significa que el máximo común divisor sea 1?
Que los números son coprimos, lo cual es una respuesta normal y no una señal de que algo haya salido mal. 9 y 20 no comparten ningún primo, así que 1 es el único número que divide a los dos. Pasa a menudo: dos enteros consecutivos cualesquiera son coprimos, y también lo es un primo emparejado con cualquier número que no sea múltiplo suyo. En ese caso la lista de divisores comunes vuelve con un único 1.
¿Por qué la calculadora rechaza el 0 y los números negativos?
Porque la respuesta dependería de una convención que esta página no enuncia. El máximo común divisor de 0 y 5 es 5 en muchos libros y no está definido en otros, y el de 0 y 0 es 0 en unos tratamientos y directamente no existe en el resto. Los negativos traen además un juego aparte de reglas de signo. En lugar de elegir una convención e imprimirla en silencio, la página pide enteros desde 1 hacia arriba, donde todas las fuentes coinciden.
¿Cómo funciona el método de la descomposición en factores primos?
Descompón cada número en primos y conserva después los primos que aparecen en todos los números, tomando de cada uno la potencia más pequeña. Para 24, 36 y 60 eso es 2² y 3, así que la respuesta es 12. El motivo de que sea la potencia más pequeña es que el divisor tiene que dividir a todos los números de la lista: 36 tiene 3², pero 24 solo tiene un 3, así que un segundo 3 rompería la división de 24. La descomposición es más lenta que el algoritmo de Euclides con números incómodos, pero explica de dónde sale la respuesta.
¿Puede la respuesta ser mayor que el número más pequeño de la lista?
No. Un divisor común de una lista tiene que dividir al número más pequeño de ella, así que nunca puede superarlo, y el divisor alcanza exactamente ese techo cuando el número más pequeño divide a todos los demás. El divisor de 36 y 36 es 36, y el de 12, 24 y 36 es 12. Tampoco puede ser nunca menor que 1, porque 1 divide a todos los enteros.
¿Para qué sirve el máximo común divisor?
Simplificar fracciones es el uso más habitual: dividir las dos partes de 24/36 entre 12 da 2/3, el mismo valor con el denominador más pequeño posible. Reducir una proporción es el mismo paso: 24 : 36 : 60 es la misma mezcla que 2 : 3 : 5. Y que dos números sean coprimos, que es lo mismo que su divisor sea 1, es la condición que necesitan varios resultados de teoría de números, incluido el que sostiene el cifrado RSA.

Referencias

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