Saltar al contenido principal
CalcMax

Calculadora de MCM

Resultado

180

Mínimo común múltiplo

Los cuatro primeros múltiplos comunes
180, 360, 540, 720

El mínimo común múltiplo de una lista de números es el menor número entero que todos ellos dividen exactamente. Para 12, 18 y 30 es 180: 180 son 15 docenas, 10 dieciochos y 6 treintas, y ningún número menor sirve para los tres a la vez. La calculadora imprime además los primeros múltiplos comunes, porque el menor por sí solo es difícil de comprobar: 180 podría ser múltiplo de cada número y aun así no ser el menor, y ver 180, 360, 540, 720 en orden es lo que muestra que no se saltó ninguno por debajo de 180. Hay tres rutas hasta ahí. Listar los múltiplos de cada número y tomar el primero que compartan es la que usa la tabla de abajo; es la más clara de seguir y la más lenta de hacer. La descomposición en factores primos es más rápida: escribe cada número como producto de primos y conserva todos los primos que aparezcan en cualquiera de ellos, en su potencia más alta. 12 es 2² × 3, 18 es 2 × 3² y 30 es 2 × 3 × 5, así que los primos necesarios son 2², 3² y 5, y 4 × 9 × 5 es 180. Fíjate en la diferencia con el máximo común divisor, que conserva la potencia más baja de los primos que comparten: esta página conserva la potencia más alta de cada primo que aparezca, aunque sea en un solo número. La tercera ruta es sacar primero el máximo común divisor y multiplicar: para dos números, el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor es igual al producto de los números, así que 4 × 6 es 24 y el divisor de 4 y 6 es 2, lo que deja 12. Ese atajo es exacto para dos números y es una fuente habitual de errores con más de dos, donde no se cumple; la página pliega los números de dos en dos, y por eso da la respuesta correcta con diez de ellos. Los números coprimos son el caso más fácil: 7, 11 y 13 no comparten ningún primo, así que nada se cancela y la respuesta es su producto, 1001. El múltiplo es lo que necesitas para sumar o comparar fracciones: 1/12 y 1/18 solo se pueden sumar cuando las dos se escriben sobre 36, que es su mínimo común múltiplo, y ese mismo número es el que calcula la página de denominador común para un conjunto de fracciones.

Múltiplos de 4, 6 y 8 uno al lado del otro: la respuesta es el primer número que aparece en las tres columnas

n4 × n6 × n8 × n
1468
281216
3121824
4162432
5203040
6243648
7284256
8324864

Lee las filas en horizontal y la respuesta es la primera fila en la que coinciden las tres casillas de la derecha: 4 × 6, 6 × 4 y 8 × 3 valen todos 24, así que el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 es 24. Leerlo así es el método en sí, y por eso la tabla es una escalera y no un resultado. Fíjate en que las columnas no llegan a su primera coincidencia en el mismo número de fila —24 es el sexto múltiplo de 4, el cuarto de 6 y el tercero de 8—, así que la tabla hay que construirla hasta que un número aparezca en todas las columnas, y no con un número fijo de filas. Fíjate también en que ninguna fila anterior los tiene a los tres de acuerdo: 12 aparece bajo el 4 y el 6, y 16 bajo el 4 y el 8, y las dos son callejones sin salida. Esa es la conclusión que merece la pena llevarse, porque un múltiplo común es fácil de producir y el menor es la pregunta de verdad. La tabla está fijada en 4, 6 y 8 y no sigue los números que hayas escrito, y se detiene a las ocho filas porque 24 llega antes.

Fórmula

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5 ⇒ MCM(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180, y los primeros múltiplos comunes son 180, 360, 540, 720

12, 18, 30
Los números con los que se trabaja, de dos a diez, cada uno un entero de 1 a 1000000. Los espacios, las comas y los puntos y coma separan igual, así que 12 18 30 y 12, 18, 30 son la misma entrada. Se rechazan el 0, los negativos y los decimales: un múltiplo es una afirmación de conteo, y todos los números de la lista tienen que tener uno
2² × 3² × 5
Los primos necesarios, cada uno en su potencia más alta dentro de toda la lista: 2² viene de 12, 3² de 18 y 5 de 30. Tomar la potencia más alta y no la más baja es lo que separa este resultado del máximo común divisor, y es la razón de que este número sea siempre al menos tan grande como la entrada mayor
180
La respuesta, y el primer múltiplo común. Es múltiplo de todos los números de la lista y ningún número menor lo es, que es todo el contenido de la palabra mínimo
180, 360, 540, 720
Los primeros múltiplos comunes, impresos para que la respuesta se pueda comprobar: son el resultado multiplicado por 1, 2, 3 y 4, y la distancia entre ellos es la propia respuesta. Si existiera un múltiplo común menor tendría que caer por debajo de 180, y la lista muestra que la serie arranca justo ahí
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
Cómo se manejan más de dos números: de dos en dos, incorporando el resultado acumulado al número siguiente. Es el mismo plegado que usa la página del máximo común divisor, y la razón de que aquí no se emplee el atajo de multiplicar y dividir: ese atajo solo es exacto para dos números
1000000000000
El techo de la respuesta, no el de las entradas. Una lista de diez números de seis cifras puede llegar a una respuesta muy por encima de lo que una máquina sostiene con exactitud, y una respuesta inexacta aquí parecería del todo normal. Pasado ese punto la página rechaza el cálculo en lugar de imprimir algo que es casi correcto

Sumar o comparar fracciones es donde el múltiplo se gana su sitio. 1/12 y 1/18 no se pueden sumar tal como están; las dos se reescriben sobre 36, y 36 es su mínimo común múltiplo: cualquier múltiplo común serviría, pero el mínimo mantiene los números pequeños, y por eso es el que se enseña primero. El denominador de una suma es exactamente esta cantidad, y la página de denominador común de este sitio es el mismo cálculo aplicado a un conjunto de fracciones. La programación de ciclos es la versión cotidiana fuera de la aritmética: dos sucesos que se repiten cada 12 y cada 18 días vuelven a coincidir a los 36 días, tres luces que parpadean vuelven a coincidir en el múltiplo de los tres, y la pregunta de cuándo coinciden la próxima vez es siempre el múltiplo. Los dientes de dos engranajes funcionan igual, con el patrón de engrane repitiéndose tras un número entero de vueltas que los dos completan. En los ejercicios de clase se pide el múltiplo directamente y la tabla de abajo es el desarrollo esperado: va listando múltiplos de cada número hasta que uno aparece en todas las columnas. Dos números que no comparten ningún primo son el caso fácil —su múltiplo es simplemente el producto—, y darse cuenta de eso ahorra hacer cualquier cuenta.

Ejemplos resueltos

  1. El mínimo común múltiplo de 12, 18 y 30

    1. Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … 180
    2. Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180
    3. Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180
    4. El primer número que aparece en las tres listas es 180
    5. Por descomposición en primos: 2² de 12, 3² de 18 y 5 de 30, así que 4 × 9 × 5 = 180

    El caso por defecto. Fíjate en que 36 es múltiplo de 12 y de 18, pero no de 30, y 60 lo es de 12 y de 30, pero no de 18: la respuesta tiene que satisfacer a todos los números de la lista, no a la mayoría. Las dos rutas coinciden, y la de la descomposición es la que conviene cuando las listas se harían muy largas.

  2. Dos números: 4 y 6

    1. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24
    2. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24
    3. El primer número compartido es 12
    4. Comprobación con la regla del producto: 4 × 6 = 24, y el máximo común divisor de 4 y 6 es 2, así que 24 ÷ 2 = 12

    El caso de dos números es el único en el que se cumple la regla del producto, y merece la pena hacer esta comprobación a mano una vez, porque muestra por qué la regla deja de funcionar con más de dos: para 4, 6 y 9 el producto es 216 mientras que la respuesta es 36, y dividir solo por el divisor de 4 y 6 no corrige el tercer número. La página pliega de dos en dos y nunca cae en ese error.

  3. Números coprimos: 7, 11 y 13

    1. 7, 11 y 13 son primos, así que dos cualesquiera de ellos no comparten ningún factor
    2. Nada se cancela en el producto, así que el mínimo común múltiplo es 7 × 11 × 13
    3. 7 × 11 = 77, y 77 × 13 = 1001
    4. Los primeros múltiplos comunes avanzan de 1001 en 1001

    Cuando no se comparte ningún primo, la respuesta es directamente el producto, y este es el único caso en el que la respuesta es tan grande. 1001 es un número conocido por un motivo que no tiene nada que ver: se descompone como 7 × 11 × 13, y esa es exactamente la razón de que funcione el truco de reconocer un patrón de tres cifras repetido. La página lo trata igual que todo lo demás.

  4. Una lista en la que un número divide a los otros: 6, 8 y 12

    1. 12 es múltiplo de 6, así que 6 no aporta nada que 12 no exija ya
    2. Múltiplos de 8: 8, 16, 24
    3. Múltiplos de 12: 12, 24
    4. El primer número compartido es 24, y la respuesta no es múltiplo de la entrada mayor

    La respuesta no tiene por qué ser uno de los números que escribiste, que es justo lo contrario de lo que pasa con el máximo común divisor, donde la respuesta siempre divide a la entrada más pequeña. Aquí la respuesta, 24, es mayor que todos los números de la lista, porque un múltiplo común tiene que ser uno al que todos ellos dividan. Quitar el 6 no cambia nada: 12 ya arrastra todos los primos que 6 exige, así que el plegado deja la respuesta igual.

Limitaciones

Cada número debe ser un entero de 1 a 1000000, y deben ser entre dos y diez. Las entradas tienen ese tope, pero el tope que de verdad importa está en la respuesta: el mínimo común múltiplo debe quedarse en 1000000000000 o por debajo, y una lista de diez números grandes lo superará mucho antes de agotar el rango de entrada. Pasado ese techo la página rechaza el cálculo en lugar de imprimir una respuesta, porque un número así de grande no se puede sostener con exactitud y volvería con un aspecto de resultado corriente. El cero y los negativos se rechazan: decir que todo entero es múltiplo de 0 no aporta nada, y el mínimo común múltiplo está definido sobre números positivos. Los decimales y las fracciones se rechazan en lugar de redondearse, por el mismo motivo que en la página del divisor. Los separadores pueden ser espacios, comas o puntos y coma, y se pueden mezclar. Las entradas repetidas se aceptan y no cambian nada, y un número que divide a otro de la misma lista es simplemente redundante. La tabla de abajo está fijada en 4, 6 y 8 y no sigue lo que escribas: el panel responde a tus números y la tabla muestra cómo se lee la respuesta. El resultado es siempre exacto, nunca redondeado.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo a mano?
Escribe los múltiplos de cada número hasta que un valor aparezca en todas las listas. Para 12, 18 y 30 ese valor es 180: es el decimoquinto múltiplo de 12, el décimo de 18 y el sexto de 30. La ruta rápida es la descomposición en factores primos: conserva cada primo que aparezca en cualquier punto de la lista, en su potencia más alta, así que para esos tres números son 2², 3² y 5, lo que da 180. Las dos rutas están en los ejemplos de arriba.
¿Cuál es la diferencia entre el MCM y el MCD?
El máximo común divisor es el mayor número que divide a todas las entradas; el mínimo común múltiplo es el menor número que todas las entradas dividen. El divisor nunca supera a la entrada más pequeña, y el múltiplo nunca es menor que la entrada más grande. Visto por descomposición en primos la diferencia es una palabra: el divisor conserva la potencia más baja de los primos que se comparten, y el múltiplo conserva la potencia más alta de cada primo que aparezca.
¿Puedo simplemente multiplicar los números entre sí?
Eso da un múltiplo común, pero rara vez el mínimo, y para dos números la regla exacta es que el producto es igual al mínimo común múltiplo por el máximo común divisor. Para 4 y 6 el producto es 24 y el divisor es 2, así que la respuesta es 12. Con más de dos números esa regla no se cumple, y por eso la página pliega los números de dos en dos en lugar de multiplicarlos todos juntos.
¿Por qué la calculadora rechaza respuestas muy grandes?
Porque una máquina deja de sostener los enteros con exactitud a partir de cierto tamaño, y una respuesta así de grande volvería redondeada con un aspecto completamente corriente. Las entradas tienen un tope de 1000000 cada una, pero la respuesta puede crecer mucho más allá: una lista de diez números de seis cifras se multiplica de forma enorme. Por eso la página comprueba además la respuesta contra un techo y rechaza el cálculo en lugar de imprimir algo que es casi correcto.
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de dos números coprimos?
Su producto, porque nada se cancela: 7 y 11 son coprimos, así que su mínimo común múltiplo es 77. Coprimos significa que los dos números no comparten ningún primo, de modo que la potencia más alta de cada primo de la lista es ese mismo primo. Los enteros consecutivos son siempre coprimos, y también lo es un primo emparejado con cualquier número que no sea múltiplo suyo.
¿Dónde se usa el mínimo común múltiplo?
Sumar o comparar fracciones necesita un denominador común, y el más pequeño es esta cantidad: 1/12 y 1/18 se reescriben las dos sobre 36. Fuera de la aritmética, todo lo que se repite en dos ciclos vuelve a coincidir tras su mínimo común múltiplo: sucesos cada 12 y cada 18 días coinciden a los 36 días, y los dientes de dos engranajes engranan en un patrón que se repite tras el múltiplo de sus números de dientes.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de MCDMáximo común divisor de dos o más números, con los pasos.Calculadora de común denominadorMínimo común denominador de dos o más fracciones.Calculadora de suma de fraccionesSuma dos o más fracciones, con el común denominador.Calculadora de fraccionesSuma, resta, multiplica y divide fracciones y simplifica.Calculadora de factoresTodos los factores de un número y su descomposición.