¿Qué cuenta exactamente como factor?

Cualquier número entero que divida a tu número exactamente, sin dejar resto. Cuentan los dos miembros de cada pareja, así que para 60 la lista va desde el 1 hasta el 60: el 1 y el propio número son siempre factores, y los interesantes están en medio. Las fracciones no cuentan aunque dividan justo: 2,5 cabe en 60 veinticuatro veces, pero 2,5 no es un número entero, así que no es un factor. Esta página lista los factores positivos de un número positivo, que es la convención habitual.

¿Por qué la búsqueda para en la raíz cuadrada?

Porque pasado ese punto, cada factor que encontraras es el compañero de uno que ya viste. Si d × e = 60 y d es mayor que la raíz cuadrada de 60, entonces e es menor que ella, así que e ya se probó antes y la pareja se imprimió entonces. Probar más allá de ese punto solo puede volver a descubrir parejas en el orden contrario. Por eso 60 cuesta siete divisores de prueba en lugar de sesenta, y por eso el coste de esta página crece con la raíz cuadrada de la entrada: un número cerca de un millón cuesta unos mil intentos, no un millón.

¿Por qué 36 tiene un número impar de factores?

Porque 36 es un cuadrado perfecto, así que su raíz cuadrada se empareja consigo misma. Todos los demás factores tienen un compañero distinto —el 1 con el 36, el 2 con el 18, el 3 con el 12, el 4 con el 9— y cada una de esas parejas suma dos al recuento. Después 6 × 6 = 36 suma uno. Así que el total es 4 × 2 + 1 = 9. En general, un número tiene un número impar de factores exactamente cuando es un cuadrado perfecto, y esa es la forma más rápida de saber por su lista de factores si lo es.

¿Es lo mismo que la descomposición en factores primos?

No, y conviene tener clara la diferencia. Esta página da todos los factores; la descomposición en factores primos rompe el número en primos multiplicados entre sí. Para 60 la descomposición es 2² × 3 × 5, y la página nunca imprime eso, aunque el 2, el 3 y el 5 aparecen todos en la lista de factores, porque los primos son factores como cualquier otro. La diferencia práctica está en el coste: esta página hace un trabajo proporcional a la raíz cuadrada del número, mientras que la descomposición en factores primos es genuinamente difícil para números grandes, que es el supuesto en el que se apoya la criptografía de clave pública.

¿Puedo introducir 0 o un número negativo?

No, y ninguna de las dos es una restricción arbitraria. Todo número entero divide al 0, así que su lista de factores no terminaría nunca. En un número negativo los factores vienen con los dos signos —el 1 y el −1, el 2 y el −2, y así— y esta página tendría que tomar partido sobre si listar ambos, cosa que no hace. La entrada es un número entero de 1 a 1000000. Los decimales también se rechazan en lugar de redondearse, porque redondear respondería en silencio a una pregunta sobre otro número.

¿Por qué los factores están repartidos en dos columnas?

Porque responden a dos preguntas distintas. La lista plana es lo que consultas cuando quieres saber si algún número divide al tuyo. Las parejas son lo que quieres cuando el número es el producto de dos cosas que estás eligiendo: un rectángulo con esa área, un conjunto de filas y columnas iguales, un grupo repartido sin que sobre nadie. Un terreno de 60 metros cuadrados puede ser 1 por 60, 2 por 30, 3 por 20, 4 por 15, 5 por 12 o 6 por 10, y esas seis formas son exactamente la columna de parejas. Las dos columnas tienen los mismos números; solo cambia la colocación.

Calculadora de factores

Resultado

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Factores

Parejas de factores: 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20, 4 * 15, 5 * 12, 6 * 10

Un factor de un número entero es otro número entero que lo divide exactamente, sin dejar resto. Los factores de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 —doce en total— y siempre vienen en parejas que multiplicadas devuelven 60: el 1 con el 60, el 2 con el 30, el 3 con el 20, el 4 con el 15, el 5 con el 12 y el 6 con el 10. Esta calculadora imprime las dos lecturas, la lista plana de factores y las parejas de factores, porque responden a preguntas distintas. La lista es lo que quieres cuando compruebas si un número divide a otro; las parejas son lo que quieres cuando buscas un rectángulo con esa área, o dos números cuyo producto esté fijado. El método es la división por tentativa, y la parte útil es saber cuándo parar. Para encontrar todos los factores de 60 no hace falta probar más allá del 8, porque 8 × 8 es 64: pasado el cuadrado perfecto del número 8, cada factor que encontraras es la mitad mayor de una pareja cuya mitad menor ya viste. Por eso 60 cuesta siete pruebas en lugar de cincuenta y nueve, y por eso un número de siete cifras sigue siendo rápido en esta página aunque el techo aquí sea un millón. Ese mismo corte es lo que hace que las parejas salgan ordenadas: cada vez que se encuentra un factor pequeño, su compañero se produce en el mismo momento, así que las parejas quedan ordenadas por su mitad menor sin ningún paso de ordenación. Hay dos casos especiales que conviene conocer antes de leer el resultado. Un número primo tiene exactamente dos factores —el 1 y él mismo—, así que su lista de factores es corta y su lista de parejas tiene una sola entrada. Un cuadrado perfecto tiene un número impar de factores, porque la pareja central es el mismo número dos veces: 36 tiene nueve factores y sus parejas acaban en 6 * 6, que la página imprime una sola vez. Ninguno de los dos es un error y ninguno es un caso especial en el código; los dos salen del mismo bucle. Lo que esta página no hace es descomponer el número en primos. Te da todos los factores y todas las parejas, y te mostrará sin problema que 60 tiene doce factores sin decir nunca 60 = 2² × 3 × 5: la lista de factores contiene las piezas, pero no es una factorización. Esa distinción importa cuando el número es grande, porque el trabajo de esta página crece con la raíz cuadrada de la entrada, mientras que la descomposición en factores primos es genuinamente difícil, y son dos preguntas diferentes.

Tres números con sus factores y sus parejas de factores uno al lado del otro

Número	Factores	Parejas de factores
12	1, 2, 3, 4, 6, 12	1 * 12, 2 * 6, 3 * 4
36	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36	1 * 36, 2 * 18, 3 * 12, 4 * 9, 6 * 6
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60	1 * 60, 2 * 30, 3 * 20, 4 * 15, 5 * 12, 6 * 10

Lee una fila en horizontal y la columna del medio es la tercera columna desplegada. 12 tiene seis factores y tres parejas; 36 tiene nueve factores y cinco parejas; 60 tiene doce factores y seis parejas. Los recuentos son lo que hay que comparar. Seis es par, nueve es impar, doce es par, y 36 es el único cuadrado perfecto de la tabla, que es exactamente la razón de que sea el distinto. Todo factor que no sea la raíz cuadrada tiene un compañero con el que emparejarse, así que esos aportan un recuento par, y la raíz cuadrada solo se tiene a sí misma. Lo otro que merece la pena ver es que más factores no se sigue de un número más grande: 36 es tres veces 12 y tiene la mitad más de factores, mientras que 60 es cinco veces 12 y los duplica. Cuántos factores tiene un número sale de cómo se combinan sus piezas primas, no de su tamaño, que es la misma razón por la que 720720, muy por debajo de un millón, tiene más factores que cualquier número cercano.

Fórmula

60 ÷ 1 = 60 ⇒ 1 * 60; 60 ÷ 2 = 30 ⇒ 2 * 30; 60 ÷ 3 = 20 ⇒ 3 * 20; 60 ÷ 4 = 15 ⇒ 4 * 15; 60 ÷ 5 = 12 ⇒ 5 * 12; 60 ÷ 6 = 10 ⇒ 6 * 10; 60 ÷ 7 no es exacta, 8 × 8 > 60, paramos

n: El número que se factoriza, un entero de 1 a 1000000. El uno se admite y da un único factor, el 1, que es una respuesta real y no un caso degenerado: el 1 es factor de sí mismo y no divide exactamente a nada más que a sus múltiplos
d: Un divisor de prueba, que se ensaya en orden 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente. La página nunca prueba más allá de la raíz cuadrada de n, y ese corte es todo el truco: si d × e = n y d es mayor que la raíz cuadrada, entonces e es menor que ella, así que e ya se encontró y la pareja ya se imprimió
d * d ≤ n: La regla de parada, escrita tal cual. Para 60 el último divisor que se prueba es el 7, porque 7 × 7 = 49 está por debajo de 60 y 8 × 8 = 64 lo supera. La regla es la razón de que el número de intentos crezca con la raíz cuadrada de la entrada y no con la entrada: un millón cuesta mil intentos, no un millón
n / d: El compañero de un factor. Cuando d divide a n exactamente, el cociente es la otra mitad de la pareja, y la página lo produce en el mismo paso. Por eso las parejas de 60 salen como 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20 y así sucesivamente en orden, sin ordenar nada: las mitades menores se encuentran en orden creciente, así que las parejas también
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60: Todos los factores de 60 en una única lista plana, en orden creciente. Doce entradas, que es un número par: el emparejamiento está completo, todos los factores tienen compañero. La lista es la misma información que las parejas de abajo, recolocada: lee las parejas, recoge los números y tienes esta línea otra vez
6 * 6: La pareja central de 36, y la única forma en la que un factor aparece dos veces en una misma línea. 36 es un cuadrado perfecto, así que su número de factores es impar —1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, que son nueve— y la página imprime la pareja central una vez y no dos. Es la razón de que un cuadrado perfecto nunca tenga un número par de factores

Simplificar una fracción es el motivo más frecuente para querer una lista de factores. Para reducir 42/60 a mano buscas un número que divida a los dos, y los factores de 60 te dan los candidatos mientras que los de 42 te dicen cuáles sirven: el mayor de esos números es el máximo común divisor, y la calculadora de MCD responde a esa pregunta directamente si es lo único que necesitas. Un segundo uso es el rectángulo de área fija: un terreno de 60 metros cuadrados puede ser 1 por 60, 2 por 30, 3 por 20, 4 por 15, 5 por 12 o 6 por 10, y las parejas de factores son exactamente esa lista de formas posibles, que es la razón de que se impriman con esa forma. La misma pregunta aparece siempre que haya que colocar cosas en filas y columnas iguales: sentar a 60 invitados en mesas del mismo tamaño, o repartir una clase en grupos iguales sin que sobre nadie. Un tercer uso es comprobar una afirmación. Si alguien dice que 91 es primo, su lista de factores lo resuelve —1, 7, 13, 91— y el hecho de que haya cuatro entradas en lugar de dos es la refutación. Los criterios de divisibilidad del 2, el 3, el 5 y el 9 cubren los casos pequeños a mano, y esta página continúa justo donde esos dejan de ser fáciles. Cuando la pregunta es de verdad sobre las piezas y no sobre los factores, la respuesta vive en otro sitio: la página de descomposición en factores primos rompe el número en primos, cosa que esta no hace a propósito; las páginas de MCM y de MCD comparan dos números en lugar de describir uno; y la de simplificar fracciones usa un factor común para reducir una fracción directamente, sin enseñarte la lista.

Ejemplos resueltos

Doce factores: 60
1. Prueba 1: 60 ÷ 1 = 60 exacta, así que 1 y 60 son los dos factores
2. Prueba 2: 60 ÷ 2 = 30, así que 2 y 30 son factores; prueba 3: 60 ÷ 3 = 20, lo que da 3 y 20
3. Prueba 4: 60 ÷ 4 = 15, lo que da 4 y 15; prueba 5: 60 ÷ 5 = 12, lo que da 5 y 12
4. Prueba 6: 60 ÷ 6 = 10, lo que da 6 y 10; prueba 7: 60 ÷ 7 no es un número entero
5. 8 × 8 = 64 supera a 60, así que paramos: los doce factores están completos
La entrada por defecto, y una buena porque 60 tiene muchos factores: doce, más que ningún número por debajo de él. Fíjate en lo barata que fue la búsqueda: siete divisores de prueba, no sesenta. La línea de parejas y la lista de factores son los mismos doce números; las parejas están simplemente plegadas para que cada una quede al lado del número por el que multiplica. Merece la pena ver también que la lista de parejas acaba en 6 * 10 en lugar de continuar con 10 * 6: en cuanto la mitad menor de una pareja pasa la raíz cuadrada, todas las parejas que quedan repiten una ya impresa.
Un cuadrado perfecto: 36
1. El 1 y el 36 forman pareja, luego el 2 y el 18, luego el 3 y el 12, luego el 4 y el 9
2. 6 × 6 = 36, así que el 6 es su propio compañero: el centro de la lista
3. El 7 no divide a 36; 7 × 7 = 49 ya lo supera, pero el 6 fue el último divisor por debajo de la raíz cuadrada
4. Los factores son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 —nueve—, un recuento impar
El caso que muestra por qué un recuento de factores puede ser impar. Todos los factores salvo la raíz cuadrada tienen un compañero distinto, así que se emparejan y aportan un número par; la raíz cuadrada se empareja consigo misma y aporta uno. Esa es toda la razón de que 36 tenga nueve factores mientras que 60, un número mayor, tiene doce, y 12 tenga seis. La línea de parejas imprime 6 * 6 una vez y no dos, y eso es una decisión: imprimirlo dos veces haría que las dos líneas no coincidieran en cuántos factores hay.
Un número primo: 7
1. Prueba 1: 7 ÷ 1 = 7 exacta, así que 1 y 7 son factores
2. Prueba 2: 7 ÷ 2 no es un número entero; 3 × 3 = 9 supera a 7, así que la búsqueda para ahí
3. Nada entre el 1 y el 7 lo divide
4. Dos factores y una pareja, que es la definición de número primo
El resultado no trivial más corto de la página, y el que muestra que un primo no es un fracaso al factorizar. Un primo es un número con exactamente dos factores, y esos dos son siempre el 1 y el propio número; la página informa de ese hecho en lugar de informar de que no encontró nada. La regla de parada hace trabajo real aquí: después de probar el 2 no queda nada que probar, porque 3 × 3 ya es mayor que 7. Probar el 3, el 4, el 5 y el 6 costaría cuatro divisiones y no podría encontrar nada.

Limitaciones

La entrada debe ser un número entero de 1 a 1000000. El cero se rechaza: todo número entero divide al cero, así que su lista de factores sería infinita y no hay nada sensato que imprimir. Los negativos también se rechazan, aunque ±1, ±2 y demás dividan a −60: la página informa de los factores positivos de un número positivo, y una lista de factores con signo necesitaría una convención sobre si se muestran los dos signos, que esta página no enuncia. Los decimales se rechazan en lugar de redondearse. El techo de un millón es lo que mantiene acotada la división por tentativa: la búsqueda para en la raíz cuadrada, así que el peor caso son mil intentos, y la lista de resultados puede ser larga, pero nunca inmanejable. Aun así puede serlo: 720720 tiene 240 factores, más que ningún número por debajo de un millón, y una lista de ese tamaño es correcta, pero no es precisamente amena de leer. La página informa de factores y de parejas de factores, no de factores primos, y la diferencia es fácil de pasar por alto: la lista de factores de 60 contiene el 2, el 3 y el 5, pero la página nunca dice 60 = 2² × 3 × 5, y para un número grande las dos preguntas tienen costes muy distintos. Los criterios de divisibilidad del 2, el 3, el 5 y el 9 no se señalan por separado: están simplemente absorbidos por la división por tentativa, así que un número terminado en 0 muestra el 2, el 5 y el 10 como factores sin que la página mencione el motivo. Cada factor se imprime como un entero en una lista separada por comas, y las parejas usan un asterisco para la multiplicación; no se usan separadores de millares, así que un factor de un millón se imprime como 1000000. Por último, la tabla de abajo muestra tres números fijos en lugar de seguir tu entrada; el panel de arriba es el que responde a lo que hayas escrito.

Preguntas frecuentes

¿Qué cuenta exactamente como factor?: Cualquier número entero que divida a tu número exactamente, sin dejar resto. Cuentan los dos miembros de cada pareja, así que para 60 la lista va desde el 1 hasta el 60: el 1 y el propio número son siempre factores, y los interesantes están en medio. Las fracciones no cuentan aunque dividan justo: 2,5 cabe en 60 veinticuatro veces, pero 2,5 no es un número entero, así que no es un factor. Esta página lista los factores positivos de un número positivo, que es la convención habitual.
¿Por qué la búsqueda para en la raíz cuadrada?: Porque pasado ese punto, cada factor que encontraras es el compañero de uno que ya viste. Si d × e = 60 y d es mayor que la raíz cuadrada de 60, entonces e es menor que ella, así que e ya se probó antes y la pareja se imprimió entonces. Probar más allá de ese punto solo puede volver a descubrir parejas en el orden contrario. Por eso 60 cuesta siete divisores de prueba en lugar de sesenta, y por eso el coste de esta página crece con la raíz cuadrada de la entrada: un número cerca de un millón cuesta unos mil intentos, no un millón.
¿Por qué 36 tiene un número impar de factores?: Porque 36 es un cuadrado perfecto, así que su raíz cuadrada se empareja consigo misma. Todos los demás factores tienen un compañero distinto —el 1 con el 36, el 2 con el 18, el 3 con el 12, el 4 con el 9— y cada una de esas parejas suma dos al recuento. Después 6 × 6 = 36 suma uno. Así que el total es 4 × 2 + 1 = 9. En general, un número tiene un número impar de factores exactamente cuando es un cuadrado perfecto, y esa es la forma más rápida de saber por su lista de factores si lo es.
¿Es lo mismo que la descomposición en factores primos?: No, y conviene tener clara la diferencia. Esta página da todos los factores; la descomposición en factores primos rompe el número en primos multiplicados entre sí. Para 60 la descomposición es 2² × 3 × 5, y la página nunca imprime eso, aunque el 2, el 3 y el 5 aparecen todos en la lista de factores, porque los primos son factores como cualquier otro. La diferencia práctica está en el coste: esta página hace un trabajo proporcional a la raíz cuadrada del número, mientras que la descomposición en factores primos es genuinamente difícil para números grandes, que es el supuesto en el que se apoya la criptografía de clave pública.
¿Puedo introducir 0 o un número negativo?: No, y ninguna de las dos es una restricción arbitraria. Todo número entero divide al 0, así que su lista de factores no terminaría nunca. En un número negativo los factores vienen con los dos signos —el 1 y el −1, el 2 y el −2, y así— y esta página tendría que tomar partido sobre si listar ambos, cosa que no hace. La entrada es un número entero de 1 a 1000000. Los decimales también se rechazan en lugar de redondearse, porque redondear respondería en silencio a una pregunta sobre otro número.
¿Por qué los factores están repartidos en dos columnas?: Porque responden a dos preguntas distintas. La lista plana es lo que consultas cuando quieres saber si algún número divide al tuyo. Las parejas son lo que quieres cuando el número es el producto de dos cosas que estás eligiendo: un rectángulo con esa área, un conjunto de filas y columnas iguales, un grupo repartido sin que sobre nadie. Un terreno de 60 metros cuadrados puede ser 1 por 60, 2 por 30, 3 por 20, 4 por 15, 5 por 12 o 6 por 10, y esas seis formas son exactamente la columna de parejas. Las dos columnas tienen los mismos números; solo cambia la colocación.

Referencias

Criterios de divisibilidad y calculadora de divisores de un número — Matesfacil (España)
Divisor — what it means for one whole number to divide another exactly, and the convention that every number divides itself — Wolfram MathWorld (United States)
Perfect Square — numbers whose square root is a whole number, and the reason their factor count is always odd — Wolfram MathWorld (United States)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de MCDMáximo común divisor de dos o más números, con los pasos.Calculadora de MCMMínimo común múltiplo de dos o más números.Calculadora de simplificar fraccionesReduce una fracción a su forma irreducible, con el MCD.Calculadora de menor a mayorOrdena números, decimales o fracciones de menor a mayor.Calculadora de factores primosDescomposición en factores primos, con la factorización.