Calculadora de factores primos

360 = 2^3 * 3^2 * 5; Omega(360) = 3 + 2 + 1 = 6; d(360) = (3+1) * (2+1) * (1+1) = 24

n

El número que se descompone: un entero de 1 a 1000000. El rango es el que usa el módulo de teoría de números en todas sus páginas, así que coincide exactamente con el de la página de factores y quien salte de una a otra encuentra los mismos bordes. Los decimales se rechazan en lugar de redondearse, y el 0 y los negativos se rechazan porque la descomposición en factores primos es una afirmación sobre números enteros positivos

p

Un factor primo: un primo que divide a n exactamente. La página los encuentra por divisiones sucesivas en orden creciente, así que siempre sale antes el primo más pequeño y la descomposición impresa va del primo menor al mayor. Para 360 los primos son 2, 3 y 5, y ningún otro primo lo divide

e

El exponente de un primo: cuántas veces aparece ese primo en el producto. 360 es 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, así que el 2 aparece tres veces y el 3 aparece dos. Un primo que aparece una sola vez se imprime sin exponente: el 5 de 360 se escribe como 5 a secas y no como 5^1, que es la convención habitual y mantiene legibles las descomposiciones cortas

2^3 * 3^2 * 5

La descomposición de 360 tal como se imprime, y la entrada por defecto. El acento circunflejo representa el exponente y el asterisco la multiplicación, así que el conjunto sobrevive a que lo copies en un campo de texto plano o en un buscador. Existe exactamente una expresión así para cada entero mayor que 1, y eso es lo que la hace digna de imprimirse: 360 no puede escribirse también como otro producto de primos distinto

Omega(360) = 3 + 2 + 1 = 6

El número de factores primos contando las repeticiones: tres doses, dos treses y un cinco hacen seis. Este es el recuento que sorprende, porque 360 parece hecho de tres primos y no de seis. La receta es sumar los exponentes en lugar de contar los primos distintos, y las dos respuestas difieren siempre que algún exponente pase de 1

d(360) = (3+1) * (2+1) * (1+1) = 24

El número de divisores positivos, calculado a partir de esos mismos exponentes sumando uno a cada uno y multiplicando. La lista es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 y 360: veinticuatro. Es una pregunta distinta de la anterior, porque cuenta los números que dividen a 360 y no los primos que lo construyen

La descomposición es lo que quieres cuando la pregunta va sobre la estructura multiplicativa de un número y no sobre su tamaño. Simplificar una fracción o una raíz es el caso de cada día: la raíz de 72 se simplifica a 6√2 porque 72 = 2³ × 3², y el exponente de cada primo dice cuánto de él puede salir de debajo del radical; esa es la misma descomposición que lee la página de raíces. Hallar un máximo común divisor o un mínimo común múltiplo de dos números también es esto, hecho una vez por número: los primos comunes con sus exponentes menores dan el primero, y todos los primos con sus exponentes mayores dan el segundo. Las preguntas de divisibilidad se responden igual, porque un número divide a otro exactamente cuando sus primos y sus exponentes están todos disponibles en el otro. En teoría de números la descomposición decide si un número es primo, cuántos divisores tiene, si es un cuadrado perfecto (todos los exponentes pares) y si es un cubo perfecto. Conviene conocer también los límites del método: las divisiones sucesivas son rápidas hasta un millón y no sirven de nada con un número de cien cifras, y esa distancia entre lo fácil y lo difícil es justo aquello sobre lo que se construye la criptografía de clave pública. Cuando la pregunta es qué números dividen al tuyo y no qué primos lo construyen, la página de factores los lista; cuando es si el número es primo o no, la página de números primos responde a eso directamente.

1. El caso por defecto: 360

   1. 360 es par, así que dividimos entre 2: 360 / 2 = 180, luego 180 / 2 = 90 y luego 90 / 2 = 45, tres veces en total
   2. 45 no es par; el siguiente primo es 3, y 45 / 3 = 15, luego 15 / 3 = 5, dos veces
   3. 5 es primo, así que la descomposición es 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, escrita 2^3 * 3^2 * 5
   4. Contamos los factores primos con las repeticiones: 3 + 2 + 1 = 6
   5. Contamos los divisores a partir de los exponentes: (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24

   La entrada por defecto, y la que muestra por qué se imprimen los dos recuentos. Seis y veinticuatro están uno al lado del otro, y quien espere que coincidan pensará que uno está roto. No lo está: seis es cuántas piezas primas forman el número cuando conservas todas las repeticiones, y veinticuatro es cuántos números lo dividen. La distancia entre ambos viene de los exponentes, porque cada repetición de un primo multiplica el número de divisores sin sumar casi nada al de piezas. Comprueba uno a mano y la aritmética es corta; comprueba los dos y ya no se te olvida cuál es cuál.

2. El caso pequeño que enseña la distancia: 12

   1. 12 / 2 = 6 y 6 / 2 = 3, así que el 2 aparece dos veces
   2. 3 es primo, así que la descomposición es 2^2 * 3
   3. Contamos los factores primos con las repeticiones: 2 + 1 = 3, que son 2, 2 y 3
   4. Listamos los divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12, seis en total
   5. Comprobamos con la receta: (2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6, que coincide con la lista

   El ejemplo pequeño más claro de la confusión alrededor de la cual está construida esta página, porque los dos recuentos son lo bastante pequeños para verificarlos a mano en unos segundos. Doce está hecho de tres primos, 2, 2 y 3, y lo dividen seis números. Leer el resultado como «3 divisores» o como «6 factores primos» suena plausible y las dos cosas están mal. La lista de divisores muestra además el emparejamiento que hace que seis sea par: el 1 con el 12, el 2 con el 6, el 3 con el 4. Doce no es un cuadrado perfecto, así que ningún divisor se empareja consigo mismo, y esa es la razón de que el recuento sea par.

3. El caso incómodo: 1

   1. 1 no es divisible por ningún primo: dividirlo entre 2, 3, 5 o cualquier otro deja una fracción
   2. Así que no hay factores primos y su recuento es 0
   3. El único número positivo que divide al 1 es el propio 1, así que el número de divisores es 1
   4. La descomposición se imprime como el dígito 1 y no como un campo vacío

   El caso que hay que decidir en lugar de deducir, y la decisión es imprimir 1. Dejar la descomposición en blanco se leería como un fallo de cálculo, que es justo lo que un panel de resultados no debe parecer nunca. Los dos recuentos caen entonces con honestidad: ningún primo y un divisor. El 1 no es primo ni compuesto, es el elemento neutro de la multiplicación, el número que no cambia nada cuando multiplicas por él, y la página no finge lo contrario. Se acepta en lugar de rechazarse porque el rango de entrada empieza en 1, y un rango que excluyera su propio valor inferior sería más difícil de explicar que de responder.

La entrada debe ser un número entero de 1 a 1000000. El cero se rechaza: todo primo divide al cero, así que el producto tendría que ser infinito. Los negativos se rechazan por un motivo parecido, porque los primos siguen dividiéndolos, pero el signo habría que llevarlo aparte y la unicidad de la descomposición es un enunciado sobre números positivos. Los decimales se rechazan en lugar de redondearse, ya que redondear respondería en silencio a una pregunta sobre otro número. El techo de un millón viene del módulo compartido de teoría de números y es una cuestión de coste y no de corrección: dividir sucesivamente entre todos los primos hasta la raíz cuadrada es rápido en un millón y desesperado en un número de veinte cifras. Es un límite real del método, y el mismo límite que hace funcionar la criptografía de clave pública. La página informa de la descomposición y de dos recuentos, y nada más: no lista los divisores, no calcula un máximo común divisor ni un mínimo común múltiplo entre varios números y no simplifica radicales ni fracciones. El exponente 1 nunca se imprime, así que un primo que aparece una sola vez se muestra desnudo, y el signo de multiplicación es un asterisco en todo el resultado, que por tanto es ASCII plano y sin separadores de millares. Por último, la tabla de abajo muestra cuatro números fijos en lugar de seguir tu entrada.

¿Cuál es la diferencia entre los dos recuentos de esta página?

El primero cuenta los factores primos conservando las repeticiones y el segundo cuenta los divisores. Para 12 las respuestas son 3 y 6, y las dos son correctas. Doce es 2 × 2 × 3, así que está hecho de tres piezas primas, y lo dividen 1, 2, 3, 4, 6 y 12, así que tiene seis divisores. La confusión es natural porque los dos números quedan cerca en entradas pequeñas. La receta del primero es sumar los exponentes; la del segundo, sumar uno a cada exponente y multiplicar. Esa multiplicación es la razón de que el segundo recuento se dispare mucho más rápido: cada repetición extra de un primo multiplica el número de divisores mientras solo suma uno al primero.

¿Hay una sola descomposición en factores primos para cada número?

Sí, y es un teorema, no una convención. Todo entero mayor que 1 puede escribirse como producto de primos, y hay exactamente una forma de hacerlo si se ignora el orden. Trescientos sesenta es siempre 2³ × 3² × 5 y no es también algún otro producto de primos. El resultado se llama teorema fundamental de la aritmética, y sin él imprimir una descomposición sería una curiosidad y no una respuesta. Es también la razón de que la página pueda imprimir el primo más pequeño primero con la seguridad de que esa es la forma canónica: el orden se elige por legibilidad y no se pierde nada por fijarlo.

¿Qué hace la página con el 1?

Imprime 1 como descomposición, con cero factores primos y un divisor. El 1 no es primo ni compuesto: no tiene descomposición en factores primos en el sentido habitual, y el teorema anterior se enuncia para números mayores que 1 precisamente por eso. Pero un panel de resultados vacío se leería como un fallo de cálculo, así que la página imprime el dígito e informa de los dos recuentos con honestidad. El número de divisores del 1 es de verdad 1, porque el único número positivo que divide al 1 es él mismo, y el de factores primos es de verdad 0. Se acepta en lugar de rechazarse porque el rango de entrada empieza en 1, y rechazar el extremo inferior del propio rango cuesta más de explicar que de responder.

¿Por qué se para en un millón?

Porque el método son las divisiones sucesivas y su coste crece con la raíz cuadrada del número. Encontrar los primos de un número cercano a un millón supone probar divisores hasta mil, lo que es instantáneo. Encontrar los primos de un número de veinte cifras supone probar hasta diez mil millones, lo que no lo es. Esa distancia no es un detalle de implementación, es una propiedad real del problema, y es el supuesto sobre el que se construye la criptografía de clave pública, donde la dificultad de descomponer números grandes es lo que mantiene privado un mensaje. Dentro del millón todas las respuestas vuelven al instante, y el techo se declara en el enunciado de la entrada en lugar de esconderse en un tiempo de espera.

¿Cuándo querría una descomposición en lugar de una lista de factores?

Cuando la pregunta va sobre la estructura y no sobre la pertenencia. Simplificar la raíz de 72 necesita 72 = 2³ × 3², porque los exponentes dicen cuánto de cada primo puede salir de debajo del radical, lo que da 6√2. Hallar un máximo común divisor entre dos números necesita las dos descomposiciones, porque la respuesta son los primos comunes con sus exponentes menores. Comprobar si un número es un cuadrado perfecto es un vistazo a los exponentes: todos pares quiere decir que sí. Listar los divisores es otra pregunta, y según el número puede ser una respuesta mucho más larga: 720720 tiene 240, que es mucho que imprimir y poco que mirar. La página de factores de este sitio los lista cuando es eso lo que necesitas.

¿Por qué no se imprime ningún exponente cuando un primo aparece una sola vez?

Porque escribir 5^1 para un cinco suelto es ruido. La convención en matemáticas es imprimir el exponente solo cuando es mayor que uno, así que 360 es 2^3 * 3^2 * 5 con el último término desnudo. No se pierde nada al quitarlo: la ausencia de exponente significa que el exponente es uno, sin ambigüedad, y una descomposición hecha enteramente de primos sueltos, que es la de un número libre de cuadrados, se lee como un producto plano sin ningún acento circunflejo. La misma convención es la razón de que 97, que es primo, se imprima como 97 y no como 97^1.

• Descomposición factorial: escribir un número como multiplicación de otros — Smartick (España)
• Prime Factorization — writing a whole number as a product of primes, and the algorithms that find the primes — Wolfram MathWorld (United States)
• Fundamental Theorem of Arithmetic — the statement that every whole number above 1 has exactly one prime factorization, which is what makes printing it worth doing — Wolfram MathWorld (United States)
• Divisor Function — the count of positive divisors, the formula that builds it from the exponents, and how it behaves on powers of a single prime — Wolfram MathWorld (United States)