¿Qué significa simplificar un radical?

Sacar de debajo de la raíz todo factor cuadrado y ponerlo delante como coeficiente. √72 se convierte en 6√2 porque 72 = 36 × 2 y 36 es un cuadrado perfecto. El valor no cambia, ya que 6√2 vale 8,485281 y √72 también, pero la forma resultante es la que puede usar un cálculo posterior.

¿Cuándo son términos semejantes dos radicales?

Cuando los números que hay bajo las raíces son iguales después de simplificar. 6√2 y 3√2 son términos semejantes y suman 9√2; √2 y √3 no lo son, y su suma no se puede escribir como un solo radical. Solo se suman los coeficientes: el radicando es la unidad que se cuenta, así que se queda donde está.

¿Por qué la respuesta se da como forma exacta y no como decimal?

Porque la mayoría de los radicales son irracionales y un decimal solo puede aproximarlos. 7√2 es el valor exacto; 9,899495 es ese mismo número redondeado a seis cifras y se equivoca en la séptima. Conservar la forma exacta es lo que permite usar la respuesta en un paso posterior sin que el redondeo se vaya acumulando.

¿Puedo escribir una raíz cúbica?

En esta página no. ∛8 + ∛2 se combina con exactamente la misma regla que las raíces cuadradas, pero la notación necesita un índice escrito dentro del signo radical y esta página imprime un √ pelado. Para un término cada vez y con cualquier índice de 2 a 12, usa la calculadora de raíces.

¿Por qué se admite un número entero junto a los radicales?

Porque un número entero es un radical cuyo radicando ha bajado hasta 1: √25 es 5, y 5 es 5√1. Tratarlo así hace que los enteros y los radicales se combinen con una sola regla, y da el orden fijo en el que se imprime la respuesta, 5 + √2, con el número entero primero.

¿Cómo compruebo la respuesta?

Eleva el coeficiente al cuadrado y multiplícalo de vuelta hacia dentro de la raíz. 7√2 se comprueba como 49 × 2 = 98, que no es la suma original, así que conviene comprobarla término a término: 6√2 es 36 × 2 = 72, 3√2 es 18 y 2√2 es 8, y 72 + 18 - 8 = 82. Esa es la suma de los radicandos tal como estaban escritos, y por eso la comprobación hay que hacerla antes de combinar los términos.

Calculadora de radicales

Resultado

7√2

Forma exacta

En decimal: 9,899495

Simplificar radicales a mano y ver por qué dos términos se pueden sumar siquiera: esta página saca de cada término de una suma el mayor factor cuadrado y después combina los términos cuyo radicando —el número que queda bajo la raíz— coincide. √72 + 3√2 - √8 se convierte en 6√2 + 3√2 - 2√2, y como los tres son ahora múltiplos de √2 se suman y dan 7√2. La forma radical más simple es el punto de parada: dentro de ninguna raíz queda nada que se pueda sacar al cuadrado y no hay dos términos que se puedan fusionar, así que √2 + √3 ya está en esa forma. Lo que se suma nunca es el radicando, sino el coeficiente que lleva delante: el radicando es la unidad que se cuenta y se queda quieto mientras se cuentan copias suyas.

√72 + 3√2 - √8, término a término

Término	Coeficiente	Radicando	Coeficiente tras simplificar	Radicando tras simplificar
√72	1	72	6	2
3√2	3	2	3	2
-√8	-1	8	-2	2

Una fila por término, en el orden en que se escribieron. Las tres primeras columnas son el término tal como llegó; las dos últimas son en lo que se convierte una vez extraído el mayor factor cuadrado. Leer la última columna de arriba abajo es todo el sentido de la tabla: los tres términos acaban en 2, que es el descubrimiento que permite sumar los coeficientes de la cuarta columna, 6 + 3 - 2 = 7. Un término cuyo radicando ya no tiene factores cuadrados, como 3√2, pasa por la tabla sin cambiar. Aquí todo son números enteros, así que la tabla es idéntica en los diez idiomas que sirve el sitio.

Fórmula

c√r → (c × m)√(r ÷ m²), donde m² es el mayor cuadrado que divide a r términos semejantes: k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r

√r: El radical: la raíz cuadrada de un número entero r. Todos los términos de esta página son múltiplos de uno de estos, y dos términos son semejantes exactamente cuando su r coincide; lo que se suma es el coeficiente de delante.
c: El coeficiente: el número entero que multiplica al radical, y 1 cuando no hay nada escrito. Cuenta cuántas copias de √r se están sumando, así que 3√2 más 2√2 son cinco copias, y 3√2 menos 3√2 no deja ninguna.
r: El radicando: el número que hay bajo la raíz. Simplificar un solo radical consiste en encontrar el mayor cuadrado m² que divide a r y sacar m fuera, lo que deja detrás un radicando más pequeño. El radicando más pequeño al que puede llegar un término es 1, y √1 es simplemente 1.
m²: El mayor cuadrado que divide al radicando: 36 para 72, 25 para 50, 4 para 8. Tomar el mayor es lo que hace que la respuesta sea la forma radical más simple y no solo una forma más pequeña: 72 dividido entre 4 da 18, y 18 todavía tiene un factor cuadrado dentro.
like terms: Los términos que son semejantes porque sus radicandos coinciden después de simplificar. Sumar radicales es siempre sumar términos semejantes: el radicando es la unidad que se cuenta y no cambia cuando se suman dos de ellos. Por eso combinar 6√2 y 3√2 da 9√2 y no 9√4.

Úsala cuando haya que escribir una expresión con radicales, es decir una suma de radicales, en su forma radical más simple: corregir un ejercicio, ordenar una respuesta antes de meterla en una fórmula, o averiguar si dos radicales que parecen distintos son en realidad el mismo número por debajo. La comprobación que va con ella es elevar el coeficiente al cuadrado y multiplicarlo de vuelta hacia dentro: 6√2 es 36 × 2 = 72, así que 6√2 y √72 son de verdad el mismo número.

Ejemplos resueltos

√72 + 3√2 - √8
1. √72: como 72 = 36 × 2, el mayor factor cuadrado, que es 36, sale como 6 y deja 6√2
2. 3√2: el radicando 2 no tiene ningún factor cuadrado, así que este término ya está en su forma más simple
3. √8: como 8 = 4 × 2, el 4 sale como 2 y deja -2√2
4. Los tres términos son ahora 6√2 + 3√2 - 2√2, todos múltiplos de √2, así que el radicando se queda y los coeficientes se suman
5. 6 + 3 - 2 = 7, así que la suma es 7√2
6. 7√2 es 9,899495 con seis cifras
El caso por defecto, y la razón de que esta página exista en lugar de ser tres simplificaciones sueltas: los tres radicales empiezan pareciendo no tener relación (72, 2 y 8) y resultan ser el mismo radical contado 6, 3 y 2 veces. El radicando no cambia mientras se suman, solo lo hace la cuenta que lleva delante.
√50 + 5 - √18
1. √50: como 50 = 25 × 2, el 25 sale como 5 y deja 5√2
2. √18: como 18 = 9 × 2, el 9 sale como 3 y deja -3√2
3. El 5 ya es un número entero: no hay nada bajo una raíz que simplificar
4. Los términos con radical son 5√2 - 3√2 = 2√2
5. El número entero se queda donde está, así que la respuesta es 5 + 2√2
6. 5 + 2√2 es 7,828427 con seis cifras
Un número entero y un radical no son términos semejantes, así que se escriben uno al lado del otro en lugar de fundirse en una sola cifra. Aun así se imprimen en un orden fijo, el entero primero, y eso es lo que hace que aquí la respuesta sea 5 + 2√2 y que 2√2 + 5 sea la respuesta a esa misma suma escrita al revés.
√2 + √3, donde no se combina nada
1. √2: el radicando 2 no tiene más factor cuadrado que el 1, así que no sale nada
2. √3: el 3 tampoco tiene factor cuadrado, así que no sale nada
3. Los dos radicandos son 2 y 3, distintos, así que los términos no son semejantes
4. La suma se escribe tal cual, √2 + √3
5. √2 + √3 es 3,146264 con seis cifras
Aquí no se hace nada, y esa es la respuesta: dos radicales cuyos radicandos difieren no se pueden sumar en un solo radical, porque no existe ningún número cuyo cuadrado sea 5 que pueda hacer de √2 + √3. El decimal se da igualmente, porque el valor está perfectamente definido, solo que no tiene una forma exacta más corta.

Limitaciones

Solo raíces cuadradas. Las raíces cúbicas y de índice mayor se combinan con exactamente la misma regla —se comparan los radicandos y se suman los coeficientes— pero escribirlas necesita un símbolo que lleve el índice dentro y la notación de esta página no tiene sitio para él; de las raíces de índice mayor se ocupa la calculadora de raíces, con un término cada vez. Solo se aceptan números enteros, tanto en el coeficiente como bajo la raíz: 2,5√2 tiene como forma exacta (5√2)/2, que necesita una fracción, y √2,5 es √10 ÷ 2 por el mismo motivo. Los radicandos negativos se rechazan porque ningún número real elevado al cuadrado da un negativo. Se admiten hasta ocho términos, y cada coeficiente y cada radicando están limitados a un millón. Los decimales de la respuesta se redondean a seis cifras, así que son aproximaciones de un valor exacto y no el valor mismo.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa simplificar un radical?: Sacar de debajo de la raíz todo factor cuadrado y ponerlo delante como coeficiente. √72 se convierte en 6√2 porque 72 = 36 × 2 y 36 es un cuadrado perfecto. El valor no cambia, ya que 6√2 vale 8,485281 y √72 también, pero la forma resultante es la que puede usar un cálculo posterior.
¿Cuándo son términos semejantes dos radicales?: Cuando los números que hay bajo las raíces son iguales después de simplificar. 6√2 y 3√2 son términos semejantes y suman 9√2; √2 y √3 no lo son, y su suma no se puede escribir como un solo radical. Solo se suman los coeficientes: el radicando es la unidad que se cuenta, así que se queda donde está.
¿Por qué la respuesta se da como forma exacta y no como decimal?: Porque la mayoría de los radicales son irracionales y un decimal solo puede aproximarlos. 7√2 es el valor exacto; 9,899495 es ese mismo número redondeado a seis cifras y se equivoca en la séptima. Conservar la forma exacta es lo que permite usar la respuesta en un paso posterior sin que el redondeo se vaya acumulando.
¿Puedo escribir una raíz cúbica?: En esta página no. ∛8 + ∛2 se combina con exactamente la misma regla que las raíces cuadradas, pero la notación necesita un índice escrito dentro del signo radical y esta página imprime un √ pelado. Para un término cada vez y con cualquier índice de 2 a 12, usa la calculadora de raíces.
¿Por qué se admite un número entero junto a los radicales?: Porque un número entero es un radical cuyo radicando ha bajado hasta 1: √25 es 5, y 5 es 5√1. Tratarlo así hace que los enteros y los radicales se combinen con una sola regla, y da el orden fijo en el que se imprime la respuesta, 5 + √2, con el número entero primero.
¿Cómo compruebo la respuesta?: Eleva el coeficiente al cuadrado y multiplícalo de vuelta hacia dentro de la raíz. 7√2 se comprueba como 49 × 2 = 98, que no es la suma original, así que conviene comprobarla término a término: 6√2 es 36 × 2 = 72, 3√2 es 18 y 2√2 es 8, y 72 + 18 - 8 = 82. Esa es la suma de los radicandos tal como estaban escritos, y por eso la comprobación hay que hacerla antes de combinar los términos.

Referencias

Quadratic Surd — the canonical form a√b with b square-free, which is exactly what the simplified radicand column is — Wolfram MathWorld (United States)
Radical — the radical sign and the operation it names, including why two radicals can only be added when their radicands agree — Wolfram MathWorld (United States)
Like terms — what makes two terms addable, which for radicals is decided by the number under the root — SplashLearn (United States)

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