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CalcMax

Calculadora de fracciones

Intervalo: 1 – 100.000

Intervalo: 1 – 100.000

Resultado

5/6

Fracción irreducible

Antes de simplificar
5/6
En decimal
0,833333

Una calculadora de fracciones hace las cuatro operaciones con dos fracciones a la vez: se escriben un numerador y un denominador, se elige sumar, restar, multiplicar o dividir, se escriben la segunda fracción y las respuestas vuelven ya en su mínima expresión. Un medio más un tercio son cinco sextos, y el panel imprime eso y no los dieciséis treinta y seisavos que salen de multiplicar los denominadores entre sí. Esa última frase es la razón de que aquí valga la pena una calculadora. La suma es la operación que se hace mal, porque es la única de las cuatro que necesita que los denominadores coincidan antes de que pase nada: multiplicando se termina enseguida, pero al sumar o restar hay que convertir los medios y los tercios en algo que compartan. Hasta ahí llevan dos caminos. El seguro, que esta página muestra entero, multiplica cada numerador por el denominador del otro y usa el producto como denominador común: para un medio y un tercio eso da cinco sextos sobre seis, la forma sin reducir. El más ordenado busca el menor número que dividen los dos denominadores, que aquí es seis y que lleva la misma respuesta directamente a cinco sextos. Los dos resultados están en el panel para poder verlos juntos, y conviene tener claro que no son dos respuestas: son el mismo número antes y después de cancelar. La división tiene su propia regla, y es la otra que sorprende: dividir entre una fracción es multiplicar por esa fracción dada la vuelta, así que un medio dividido entre tres cuartos es un medio por cuatro tercios, que son cuatro sextos y luego dos tercios. La multiplicación y la resta no traen ninguna sorpresa de ese tipo, aunque la resta es donde aparece un numerador negativo: un medio menos un tercio es un sexto, un tercio menos un medio es menos un sexto, y la página deja el signo menos en el numerador y no delante de la fracción, porque ahí es donde lo dejó la aritmética. Cuatro cosas hay que saber antes de fiarse de la página. Trabaja con fracciones impropias y no con números mixtos: nueve cuartos vuelve como nueve cuartos, que es la forma que quiere el cálculo siguiente, y no como dos y un cuarto. Un denominador cero se rechaza en lugar de tratarse como una respuesta, porque esa fracción no tendría valor. Dividir entre una fracción cuyo numerador es cero también se rechaza, porque el recíproco de cero no es un número. Y un numerador lo bastante grande como para que la multiplicación cruzada se salga del rango en el que los enteros son exactos se rechaza en lugar de responderse de forma aproximada, que es el único límite que esta página impone por encima del tope de cien mil en los denominadores.

Las cuatro operaciones, y dónde ocurre el cancelado

Primera fracciónOperadorSegunda fracciónAntes de reducirMínima expresiónDecimal
1/2+1/35/65/60.833333
1/4+1/610/245/120.416667
3/4−1/35/125/120.416667
2/3×3/56/152/50.4
1/2÷3/44/62/30.666667
5/6×3/1015/601/40.25

Seis filas que cubren las cuatro operaciones, y el par de columnas que importa es la cuarta y la quinta: el mismo número antes y después de cancelar. Empieza por la segunda fila, que es la que muestra mejor el trabajo: un cuarto más un sexto pasa por 10/24, que se reduce a 5/12 porque diez y veinticuatro comparten el factor dos. Después mira la primera y la tercera, donde las dos columnas tienen la misma fracción y no hubo que cancelar nada; una página que mostrara una sola columna escondería los dos hechos a la vez. La tercera fila tiene además su propio interés, porque es una resta con denominadores distintos que ya estaba en su mínima expresión: la multiplicación cruzada dio 5/12 directamente. Las filas de multiplicación y división muestran las reglas que llevan consigo: multiplicar en cruz da 6/15 y luego 2/5, y dividir multiplica por el recíproco, así que un medio sobre tres cuartos da 4/6 y luego 2/3; y la última fila, 5/6 por 3/10, es la que más cancela de toda la tabla, de 15/60 a 1/4. El decimal de cada fila es la fracción reducida con seis cifras, lo que convierte la última columna en una comprobación de las dos anteriores: la segunda y la tercera fila terminan las dos en 0,416667 pese a llegar desde operaciones distintas y desde fracciones intermedias distintas.

Fórmula

Primera fracción a/b, Segunda fracción c/d, y el Operador elige cuál de las cuatro reglas se aplica Sumar o restar: a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) Multiplicar: a/b × c/d = (a·c) / (b·d) Dividir: a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) Antes de reducir es la fracción tal como sale de la regla, sin cancelar todavía Mínima expresión es ese mismo valor con las dos partes divididas entre su máximo común divisor Decimal es la mínima expresión escrita con seis cifras decimales

Primera fracción
Un numerador y un denominador, los dos números enteros. El numerador puede ser negativo o cero; el denominador no puede ser cero ni pasar de cien mil.
Operador
Una de las cuatro operaciones, elegida de una lista porque solo existen cuatro: sumar, restar, multiplicar o dividir la primera fracción entre la segunda. La división es la que se hace dando la vuelta a la segunda fracción, y por eso es también la única en la que se rechaza un numerador cero en el segundo operando.
Segunda fracción
El otro operando, con las mismas reglas: cualquier numerador entero y un denominador distinto de cero de hasta cien mil. Su numerador pasa a ser el denominador del recíproco cuando la operación es una división.
Antes de reducir
La fracción recién salida de la regla, sin cancelar nada todavía: cinco sextos sobre seis para un medio más un tercio. Su denominador es el producto de los dos denominadores, que es de donde viene el nombre de multiplicación cruzada y también la razón de que pueda ser mayor que el menor denominador común.
Mínima expresión
El mismo valor con el máximo común divisor quitado de las dos partes: cinco sextos sobre seis se cancelan a cinco sextos. Esta es la respuesta, y el paso entre los dos resultados fraccionarios es la reducción de fracciones entera.
Decimal
La respuesta escrita con seis cifras decimales: cinco sextos es 0,833333. Un valor que no se divide de forma exacta se redondea en lugar de truncarse, y las seis cifras son una decisión de presentación y no una afirmación sobre la precisión de la fracción.

Cuatro operaciones, cuatro ocasiones, y una costumbre que conviene tener. Se suma cuando hay cantidades que vienen en partes distintas de un todo —un tercio de taza más un cuarto de taza, y la página dice que son siete doceavos—. Se resta igual pero con el signo cambiado, y es la operación en la que importa el orden de las dos fracciones: un medio menos un tercio es un sexto, mientras que un tercio menos un medio es menos un sexto, así que la fracción que se escribe primero es de la que se resta. La multiplicación es la más sencilla de las cuatro y la que más se complica sin necesidad: se multiplica en cruz, arriba por arriba y abajo por abajo, y no hay ningún denominador común que buscar; un medio de dos tercios es un tercio. La división es multiplicar por el recíproco, y es la que hace que la gente eche mano de una calculadora: tres cuartos divididos entre un medio son tres cuartos por dos, que son seis cuartos, que son uno y medio. Por debajo de las cuatro hay una costumbre: contrastar el resultado con un decimal aproximado. Cinco sextos sobre seis es algo más de ocho décimas, y cinco sextos también, así que la reducción no cambió el valor, que es lo único que la reducción tiene permitido no cambiar. Si los dos decimales no coinciden, el error está en la aritmética y no en el cancelado, y releer la cifra de la mínima expresión no lo va a encontrar. Lo que no hay que hacer con esta página es escribir un número mixto en un campo, ni esperar que un resultado mayor que uno se presente como número mixto: para eso están la conversión y la página de números mixtos.

Ejemplos resueltos

  1. Un medio más un tercio

    1. Denominador común por multiplicación cruzada: 2 × 3 = 6
    2. Primer numerador: 1 × 3 = 3
    3. Segundo numerador: 1 × 2 = 2
    4. Sumamos los numeradores sobre el denominador común: (3 + 2) / 6 = 5/6
    5. No se cancela nada —5 y 6 no comparten ningún factor—, así que la forma sin reducir y la respuesta son la misma, y el decimal es 0,833333

    El caso por defecto, y uno en el que los dos resultados fraccionarios coinciden. Eso pasa siempre que la forma cruzada ya está en su mínima expresión, que en una suma de dos fracciones unitarias significa que los denominadores no compartían ningún factor. Merece la pena verlo una vez antes de los casos en los que difieren, para que una página que muestra la misma fracción dos veces no parezca un error.

  2. Un cuarto más un sexto, en las dos formas

    1. Denominador común por multiplicación cruzada: 4 × 6 = 24
    2. Primer numerador: 1 × 6 = 6; segundo numerador: 1 × 4 = 4
    3. Los sumamos sobre el denominador común: (6 + 4) / 24 = 10/24
    4. Máximo común divisor de 10 y 24: 2
    5. Dividimos las dos partes entre 2: la respuesta es 5/12, y como decimal 0,416667

    El ejemplo que explica los dos resultados. Veinticuatro no es el menor número que dividen cuatro y seis —doce lo es—, así que la fracción sin reducir es mayor de lo necesario y el paso de cancelado hace trabajo de verdad. Pasar por el producto en lugar del mínimo común múltiplo no es pereza: es una regla que funciona con cualquier par de denominadores sin pensar en sus factores, y la reducción posterior la devuelve a la forma ordenada. Diez veinticuatroavos y cinco doceavos son el mismo número, cosa que confirman los decimales iguales del final.

  3. Dos tercios por tres cuartos

    1. Multiplicamos en cruz: 2 × 3 = 6 sobre 3 × 4 = 12
    2. No hace falta ningún denominador común: ese paso es solo de la suma y de la resta
    3. Cancelamos el seis: 6 ÷ 6 = 1 y 12 ÷ 6 = 2
    4. La respuesta es 1/2, que es 0,5

    La multiplicación, donde los denominadores simplemente se multiplican y no hay que igualar nada antes. El cancelado de aquí merece un momento: dos tercios por tres cuartos es un medio, más pequeño que cualquiera de los dos operandos porque los dos son menores que uno. Ese resultado sorprende a quien espera que multiplicar agrande las cosas, y contrastarlo con 0,5 lo confirma en un paso.

  4. Un medio dividido entre tres cuartos

    1. Le damos la vuelta a la segunda fracción: 3/4 se convierte en 4/3
    2. Multiplicamos en su lugar: (1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
    3. Cancelamos el dos: 4 ÷ 2 = 2 y 6 ÷ 2 = 3
    4. La respuesta es 2/3, que es 0,666667

    La división, que es multiplicar por el recíproco: la regla que hace que el numerador de la segunda fracción acabe en el denominador de la respuesta. Fíjate en la dirección: un medio dividido entre tres cuartos son dos tercios, más grande que el medio del que se partía, porque el divisor es menor que uno. Dividir entre un número por debajo de uno siempre agranda el resultado, y esa es la comprobación rápida más útil que hay aquí.

  5. Un tercio menos un tercio, y nueve cuartos entre nueve cuartos

    1. Denominador común: 3 × 3 = 9
    2. Primer numerador 1 × 3 = 3, segundo numerador 1 × 3 = 3
    3. Restamos: (3 − 3) / 9 = 0/9
    4. Reducimos: cero entre cualquier cosa es cero, y la respuesta se imprime como 0 y no como 0/9

    Cero, que es una respuesta legítima y no un resultado vacío: las dos fracciones eran iguales, y dos números iguales restados no dejan nada. El resultado sin reducir conserva la forma del trabajo que lo produjo, con el nueve en el denominador, mientras que la respuesta se queda en una sola cifra. El mismo desplome ocurre en el otro extremo: nueve cuartos divididos entre nueve cuartos dan el número entero 1, con 36/36 como forma sin reducir, así que una fracción cuyo numerador y denominador son iguales se imprime como entero y no como una fracción sobre sí misma.

Limitaciones

El resultado sin reducir es una multiplicación cruzada y no el menor denominador común. Sumar un cuarto y un sexto pasa por veinticuatro en lugar de por doce, así que la fracción intermedia es mayor que la ordenada y parece equivocada a quien espere el mínimo común múltiplo. Las dos fracciones son el mismo número y la respuesta es correcta —los dos resultados solo se diferencian en cuánto se ha cancelado—, pero si lo que se buscaba era el menor denominador compartido, la cifra que hay que leer es la reducida. Los resultados son fracciones impropias y nunca números mixtos: nueve cuartos se queda en nueve cuartos en lugar de pasar a dos y un cuarto, y un resultado entero se imprime como entero, así que un medio dividido entre un medio es 1 y no 1/1. La cifra decimal está redondeada a seis posiciones, lo que la convierte en una comprobación de la respuesta y no en una manera de enunciarla: un tercio es 0,333333 y un tercio más dos tercios aparece como 0,999999 en lugar de 1, mientras que los resultados fraccionarios del mismo cálculo dan exactamente 1. Los denominadores están topados en cien mil, que es un límite deliberado a cuánto cancelado hace la página de una vez. Tres entradas se rechazan en lugar de responderse: un denominador cero, porque la fracción no tiene valor; una división cuyo segundo numerador es cero, porque el recíproco de cero no es un número; y un numerador lo bastante grande como para que la multiplicación cruzada se salga del rango en el que la aritmética entera es exacta, que la página informa como error en vez de imprimir una fracción aproximada. Los numeradores no enteros también se rechazan, así que un valor como uno y medio en un campo de numerador hay que convertirlo a mano en fracción impropia antes de que lo acepte.

Preguntas frecuentes

¿Por qué los dos resultados fraccionarios son distintos?
Porque uno es la respuesta y el otro es el trabajo. La fracción sin reducir sale directamente de la regla —los denominadores multiplicados entre sí y cada numerador multiplicado por el denominador del otro— y la fracción reducida es ese mismo valor con el máximo común divisor cancelado en las dos partes. Un cuarto más un sexto es 10/24 antes de cancelar y 5/12 después; los decimales coinciden, que es la prueba de que solo ha cambiado la escritura.
¿Por qué el denominador sin reducir es 24 si con 12 bastaba?
Porque la página encuentra un denominador común multiplicando los dos denominadores, y no buscando el menor número que dividen los dos. Veinticuatro es cuatro por seis, y es un denominador común válido aunque doce sea más pequeño. El intercambio es deliberado: multiplicar funciona siempre y no exige analizar los denominadores, y el paso de cancelado posterior devuelve la respuesta a su mínima expresión de todas formas. Si quieres el menor denominador compartido, lee el resultado reducido.
¿Cómo se dividen dos fracciones?
Multiplicando por el recíproco: se le da la vuelta a la segunda fracción y se multiplica en cruz. Un medio dividido entre tres cuartos es un medio por cuatro tercios, que son cuatro sextos, que se reduce a dos tercios. La regla existe porque dividir entre un número es multiplicar por su inverso, y es la razón de que el numerador de la segunda fracción acabe en el denominador de la respuesta: 0,666667 frente a 0,5 confirma que el resultado creció, como tiene que pasar al dividir entre algo menor que uno.
¿La respuesta puede ser un número mixto?
No: los resultados son fracciones impropias, así que nueve cuartos vuelve como 9/4 y no como dos y un cuarto. La fracción impropia es la forma que sigue sirviendo: sumar o multiplicar un número mixto obliga a convertirlo antes en fracción impropia, de modo que imprimirlo solo sería tener que convertirlo otra vez en el paso siguiente. Pasar 9/4 a dos y un cuarto es una división, y leer el resultado decimal hace ese mismo trabajo para una comprobación rápida.
¿Qué pasa si un denominador es cero?
La página informa de un error, y no hay respuesta que dar: una fracción con denominador cero no tiene valor, porque el denominador es el número de partes en que se divide el todo y dividir entre cero es indefinido. Dividir entre una fracción cuyo numerador es cero se rechaza por la misma razón —el recíproco de cero no es un número—, mientras que un numerador cero en la primera fracción no da problema y devuelve cero en cualquier multiplicación o división.
¿Cómo compruebo que la respuesta es correcta?
Convierte los dos operandos a decimales de cabeza y haz la operación con esos números aproximados. Un medio más un tercio tendría que caer entre 0,8 y 0,9, y cinco sextos es 0,833333. Multiplicar dos fracciones menores que uno tiene que dar algo más pequeño que cualquiera de las dos, y dividir entre algo menor que uno tiene que dar algo más grande. Cuando la estimación y la fracción no coinciden, el problema está en la aritmética y no en el cancelado, porque cancelar solo puede cambiar la manera de escribir un número.
¿Puedo escribir un número mixto en los campos?
No, y tampoco hace falta. Los cuatro campos son de números enteros, así que dos y un cuarto se rechaza; se escribe antes como 9/4 y la página se encarga del resto. Como los resultados también vuelven en forma impropia, todo el panel se queda en la misma notación de principio a fin, sin conversiones intermedias que se puedan perder por el camino.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de decimal a fracciónConvierte un decimal en su fracción exacta, simplificada.Calculadora de fracción a decimalConvierte una fracción en decimal, exacto o periódico.Calculadora de simplificar fraccionesReduce una fracción a su forma irreducible, con el MCD.Calculadora de suma de fraccionesSuma dos o más fracciones, con el común denominador.