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CalcMax

Calculadora de fracción a decimal

Intervalo: 1 – 100.000

Resultado

0,375000

En decimal

Fracción irreducible
3/8
Dígitos que se repiten (0 = decimal exacto)
0

Una calculadora de fracción a decimal divide el numerador entre el denominador e informa de tres cosas: el cociente en forma decimal, la fracción reducida a su mínima expresión y la longitud del bloque de dígitos que se repite. Tres octavos es 0,375 y su decimal termina, así que el periodo es cero. Un tercio es 0,333333 en pantalla y su decimal no termina nunca, así que el periodo es uno: un solo dígito repitiéndose para siempre. Ese tercer número es lo que separa esta página de una división corriente. Toda fracción tiene una expresión decimal, y esa expresión cae en exactamente dos clases: o termina tras una cantidad finita de dígitos, o sigue para siempre con un bloque de dígitos que se repite. No hay una tercera posibilidad, y cuál de las dos toca lo decide por completo el denominador antes de dividir nada. Primero se reduce la fracción —esta página lo hace sola, así que dos cuartos se informa como un medio— y se mira de qué está hecho el denominador reducido. Si sus únicos factores primos son doses y cincos, el decimal termina, y el número de cifras es el mayor de los dos exponentes. Si el denominador tiene cualquier otro factor primo, el decimal se repite, y se repite para siempre. La longitud del periodo es entonces una propiedad de ese denominador y de nada más, y por eso vale la pena imprimirla: un séptimo se repite cada seis dígitos, un noventa y siete cada noventa y seis, y la fracción veintidós séptimos —una aproximación muy buena de pi— también se repite cada seis, porque debajo está el siete. Merece la pena leer las salidas en el otro orden una vez. La fracción reducida dice si el decimal va a terminar; el decimal dice cuánto vale con seis cifras; y el periodo dice cuánto de él no estás viendo. Cuando esa tercera salida es cero, las seis cifras son la respuesta entera y no se perdió nada. Cuando no lo es, las seis cifras son una vista redondeada de una expresión que no acaba: un tercio se muestra como 0,333333, que no es un tercio sino un tercio redondeado en la sexta cifra, y la diferencia es 0,000000333 y no desaparece. Se rechazan dos entradas. Un denominador cero no tiene respuesta, y un numerador que no sea entero se rechaza en lugar de convertirse, porque un número mixto hay que pasarlo antes a fracción impropia para poder dividirlo entre algo.

Uno entre cada denominador, del dos al doce

DenominadorDecimalPeriodo de repetición
20.50
30.3333331
40.250
50.20
60.1666671
70.1428576
80.1250
90.1111111
100.10
110.0909092
120.0833331

Once fracciones unitarias, y las dos columnas que importan son la primera y la última: el denominador y la longitud de su periodo, con el decimal en medio como el dato que si no habría que buscar en otro sitio. Lee la columna del periodo de arriba abajo y la pauta es toda la teoría de esta página: 2, 4, 5, 8 y 10 dan cero porque esos números están hechos solo de doses y cincos; 3, 6, 9 y 12 dan 1 porque en cada uno de ellos hay un tres; el 11 da 2, su propio ciclo corto; y el 7 da 6, el más largo de la tabla. Lee el decimal junto a un periodo distinto de cero y el asunto se vuelve concreto: tercios, sextos, doceavos y novenos se muestran todos como aproximaciones —0,333333, 0,166667, 0,083333— mientras que las filas exactas se muestran con su valor justo. La fila del siete merece un segundo vistazo, porque 0,142857 es el mismo bloque de seis cifras que aparece en veintidós séptimos, y es la razón de que esa fracción sea una aproximación tan buena de pi.

Fórmula

Decimal = Numerador ÷ Denominador Fracción reducida = el numerador y el denominador divididos entre su máximo común divisor Periodo de repetición = cuántos dígitos mide el bloque que se repite, y 0 si el decimal es exacto

Numerador
La parte de arriba de la fracción, un número entero. Puede ser negativo o cero; un numerador cero da un decimal cero, y una fracción con el numerador mayor que el denominador da un decimal mayor que uno.
Denominador
La parte de abajo de la fracción, un número entero de hasta cien mil y distinto de cero. Es el campo que decide si el decimal termina o se repite y, si se repite, cuánto mide el periodo: un hecho que depende solo del denominador.
Decimal
El numerador dividido entre el denominador, mostrado con seis cifras. Cuando el decimal termina, esas seis cifras contienen la respuesta entera con ceros detrás; cuando se repite, son la expresión redondeada en la sexta cifra y no una forma truncada ni exacta de ella.
Fracción reducida
La fracción en su mínima expresión, que es la forma en la que hay que juzgar su comportamiento repetitivo: 2/4 se informa como 1/2, y es el 2 de ese denominador el que decide que el decimal termine, no el 4 que se escribió.
Periodo de repetición
Cuántos dígitos mide el bloque que se repite, o cero si el decimal es exacto. Un tercio da 1, un séptimo da 6, un noventa y siete da 96, y el número depende solo del denominador reducido, así que toda fracción con un noventa y siete debajo tiene un periodo de noventa y seis cifras sea cual sea su numerador.

Tres usos, en orden creciente de cuánto ayuda la tercera salida. Convertir una fracción a decimal para medir o para una hoja de cálculo es el más llano: tres octavos es 0,375, un medio es 0,5, y las fracciones de denominadores pequeños conviene sabérselas de memoria. Comprobar si una fracción se convierte de forma exacta es el segundo, y es la pregunta que importa cuando el resultado tiene que caber en un número fijo de cifras decimales: un denominador hecho solo de doses y cincos convierte limpio, y uno que lleve un siete o un tres no lo hará nunca, por muchas cifras que se permitan. Y estimar cuánta precisión se está dejando por el camino es el tercero: una fracción con un periodo de uno o dos dígitos queda bien representada con seis cifras decimales, y una con un periodo de noventa y seis no: un noventa y siete se muestra como 0,010309, y las seis cifras siguientes de la expresión real son dígitos completamente distintos, cosa que conviene saber antes de meter ese número en un cálculo. Dos casos quedan fuera de lo que hace la página. Volver de un decimal periódico a su fracción exacta es la dirección contraria y un problema aparte, y un decimal impreso con seis cifras ya ha tirado la estructura repetitiva que haría falta para resolverlo. Y los números mixtos no se aceptan como entrada: dos y un cuarto se escriben como 9/4, porque la división necesita un solo numerador y un solo denominador. Si lo que se tiene es un decimal y se busca la fracción, la página que va en ese sentido es la de decimal a fracción.

Ejemplos resueltos

  1. Tres octavos: un decimal que termina

    1. Dividimos el numerador entre el denominador: 3 ÷ 8 = 0,375
    2. La división sale exacta, así que el periodo es 0
    3. La fracción ya está en su mínima expresión, así que se informa como 3/8

    El caso por defecto y el tipo fácil: ocho está hecho solo de doses, así que el decimal termina y las seis cifras de la pantalla contienen la respuesta entera con ceros detrás. La salida de periodo cero es lo que lo dice: un cero aquí significa que no se redondeó nada y no se tiró nada, y es lo primero que hay que mirar cuando la exactitud de un decimal importa.

  2. Un tercio: un decimal que no termina

    1. Dividimos: 1 ÷ 3 = 0,333333…
    2. El tres no está hecho de doses y cincos, así que la expresión no acaba
    3. El bloque que se repite es el único dígito 3, así que el periodo es 1
    4. La pantalla muestra las seis primeras cifras, 0,333333

    El caso para el que existe la salida del periodo, y aquel en el que el decimal es menos de fiar. 0,333333 no es un tercio: es un tercio redondeado en la sexta cifra, y multiplicarlo por tres da 0,999999 en lugar de 1. El periodo de 1 avisa de que la pantalla es una vista de una expresión infinita y no la respuesta entera; un periodo de cero en esta misma página diría lo contrario. Sumar un tercio y dos tercios es la demostración clásica: los decimales dan 0,999999 mientras que las fracciones dan exactamente 1.

  3. Veintidós séptimos: un periodo largo y una fracción impropia

    1. Dividimos: 22 ÷ 7 = 3,142857142857…
    2. El siete aporta un factor primo distinto de dos o de cinco, así que el decimal se repite
    3. El bloque que se repite es 142857, de seis dígitos
    4. La pantalla muestra 3,142857, y la fracción ya está en su mínima expresión

    Una fracción mayor que uno, así que el decimal tiene parte entera, y un denominador de siete, cuyo periodo es de seis dígitos: el más largo que produce un denominador de una sola cifra. Veintidós séptimos es la aproximación clásica de pi, correcta hasta la segunda cifra decimal, y el bloque 142857 es famoso por sí mismo como periodo de un séptimo. Aquí la salida del periodo sí hace trabajo: dice que las seis cifras mostradas son el bloque completo y no un fragmento redondeado de uno más largo.

  4. Dos cuartos se informan como un medio

    1. Reducimos primero: 2 y 4 comparten el factor 2, así que la fracción es 1/2
    2. Dividimos la forma reducida: 1 ÷ 2 = 0,5
    3. El dos está hecho solo de doses, así que el periodo es 0

    La página reduce antes de dividir, y esto es lo que eso significa: la fracción que sale es 1/2 y no el 2/4 que se escribió. El valor es idéntico por los dos caminos, y la forma reducida es de la que hay que leer el comportamiento repetitivo: el denominador que decide si el decimal termina es el reducido. Verlo una vez explica por qué una fracción escrita de una manera inesperada vuelve de otra.

  5. Un noventa y siete: un periodo más largo que la pantalla

    1. Dividimos: 1 ÷ 97 = 0,010309278350515…
    2. Noventa y siete es primo y no es ni dos ni cinco, así que el decimal se repite
    3. El periodo mide 96 dígitos
    4. La pantalla muestra las seis primeras cifras, 0,010309

    El caso extremo, y la razón de que valga la pena imprimir el periodo aunque sea grande. Noventa y seis dígitos son muchos más que los seis de la pantalla, así que lo que se ve es una dieciseisava parte de la primera repetición: un número que habría que llevar a muchísimas cifras antes de que su pauta apareciera. Un periodo de 96 junto a un decimal de seis cifras es un aviso: no significa que el decimal esté mal, significa que el decimal es una foto. Compáralo con el caso del tercio, donde el periodo de 1 convierte esas mismas seis cifras en una representación mucho mejor del número.

Limitaciones

El decimal se muestra con seis cifras, así que solo es exacto cuando el periodo es cero. Cuando el periodo es mayor que cero, el número no tiene forma decimal finita y las seis cifras son la expresión redondeada en la sexta posición: un tercio aparece como 0,333333, que no es un tercio, y un tercio más dos tercios se muestra como 0,999999 en lugar de 1. Un periodo mayor que seis significa que la pantalla está enseñando solo una parte de una única repetición. La página reduce antes de dividir, así que una fracción escrita en una forma que no es la mínima vuelve reducida: 2/4 se informa como 1/2 y 100/8 como 25/2, y el periodo, al ser una propiedad del denominador reducido, se calcula sobre esa forma ya reducida. Los resultados enteros se imprimen como enteros y no como fracciones sobre uno, así que 5/1 vuelve como 5 y un numerador cero como 0. Los números mixtos no se aceptan: dos y un cuarto hay que escribirlo como 9/4, porque la división trabaja con un solo numerador y un solo denominador, y un valor no entero en cualquiera de los dos campos se rechaza en lugar de convertirse. Los denominadores están topados en cien mil, lo que también acota el periodo: el ciclo más largo que puede producir un denominador permitido mide algo menos de cien mil dígitos. Y el periodo se informa como un número de dígitos y no como los dígitos mismos: la página dice que la expresión de un noventa y siete se repite cada noventa y seis posiciones sin enseñar cuáles son esas noventa y seis cifras.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se convierte una fracción a decimal?
Dividiendo el numerador entre el denominador: tres octavos es 3 ÷ 8 = 0,375, y un medio es 1 ÷ 2 = 0,5. La división es todo el método; lo único que conviene hacer antes es reducir la fracción a su mínima expresión, porque el denominador reducido es el que decide si el decimal termina o sigue para siempre.
¿Cómo sé si el decimal va a terminar?
Mirando los factores primos del denominador reducido. Si está hecho solo de doses y cincos, el decimal termina: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 y 100 dan todos decimales exactos. Si contiene cualquier otro primo —un tres, un siete, un once— el decimal se repite indefinidamente y no se puede escribir de forma exacta con ninguna cantidad finita de cifras. La salida del periodo dice en cuál de los dos casos estás: cero significa que el decimal es exacto, y cualquier otro valor es la longitud del bloque que se repite.
¿Por qué 1/3 se muestra como 0,333333?
Porque la pantalla lleva seis cifras decimales y un tercio no tiene forma decimal finita, así que la sexta cifra es donde se redondea la expresión. 0,333333 no es exactamente un tercio: multiplícalo por tres y da 0,999999 en lugar de 1, que es la manera aritmética de ver la diferencia. El periodo de 1 es la página diciéndolo: el decimal sigue, y lo que se muestra es una vista de él y no la respuesta.
¿Por qué 2/4 se muestra como 1/2?
Porque la página reduce la fracción antes de dividir, y la forma reducida es la que importa para todo lo demás que informa. El valor es el mismo por los dos caminos —0,5—, pero el periodo es una propiedad del denominador reducido, así que la reducción tiene que ocurrir antes: es el 2 de 1/2 el que dice que el decimal termina, no el 4 que se escribió. Las fracciones escritas en una forma más alta de lo necesario vuelven siempre reducidas.
¿Qué significa un periodo de 96?
Que la expresión decimal de esa fracción se repite cada noventa y seis dígitos: para un noventa y siete, el bloque de noventa y seis cifras sigue indefinidamente. No es una medida de lo acertado del decimal mostrado: las seis cifras que se ven siguen siendo correctas hasta donde llegan, simplemente son una parte pequeña de una sola repetición. Lo que sí dice es que seis cifras decimales no representan bien ese número, porque los dígitos que siguen no continúan la pauta visible sino otra mucho más larga.
¿La respuesta puede ser mayor que uno, o negativa?
Las dos cosas son normales. Un numerador mayor que el denominador da un decimal por encima de uno —veintidós séptimos es 3,142857— y la fracción se queda impropia en lugar de convertirse en número mixto. Un numerador negativo da un decimal negativo, y el signo se queda en el numerador de la fracción: menos tres cuartos es −0,75 y se imprime como −3/4. El periodo no se ve afectado por ninguna de las dos cosas, porque depende solo del denominador.
¿Puedo escribir un número mixto o un decimal en los campos?
Ninguna de las dos cosas. Los dos campos son de números enteros, así que dos y un cuarto y 0,75 se rechazan; el número mixto se escribe antes como 9/4 y el decimal se convierte antes en fracción. La razón es que aquí la división trabaja con un único numerador y un único denominador enteros, y aceptar cualquiera de las dos formas obligaría a una conversión previa que la página no hace.

Referencias

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