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CalcMax

Calculadora de común denominador

Resultado

60

Mínimo común denominador

Fracciones con el denominador común
45/60, 50/60, 42/60

El mínimo común denominador es el menor número en el que se pueden dividir exactamente todos los denominadores de un conjunto de fracciones. Para 3/4, 5/6 y 7/10 es 60: 60 son 15 cuatros, 10 seises y 6 dieces, y ningún número menor sirve para los tres. Escritas con ese denominador, las tres fracciones pasan a ser 45/60, 50/60 y 42/60: los mismos valores, un denominador compartido, que es la forma que hace falta antes de poder sumarlas, restarlas o compararlas. La abreviatura MCD no sirve aquí porque ya está tomada por el máximo común divisor, así que esta calculadora usa el nombre completo. Hay dos pasos hasta ahí, y el primero es fácil de saltarse. Toda fracción se simplifica primero a su mínima expresión, porque 6/8 y 3/4 son el mismo número con denominadores distintos, y leer el denominador sin simplificar da una respuesta que es un común denominador, pero no el mínimo: simplifica 6/8 y 10/12 a 3/4 y 5/6, y la respuesta es 12 en lugar de 24. Después se combinan los denominadores: el mínimo común denominador de un conjunto de fracciones es el mínimo común múltiplo de sus denominadores simplificados. Ese es todo el cálculo, y es la razón de que esta página y la del mínimo común múltiplo lleguen al mismo número por caminos distintos. Con tres o más fracciones los múltiplos se pliegan de dos en dos, así que 4, 6 y 10 dan 12 primero y 60 después. Leerlo de una tabla es el método al que conviene volver: lista los múltiplos de cada denominador simplificado y toma el primer número que todos compartan. Hay dos casos especiales que conviene conocer. Los números enteros se aceptan y cuentan como fracciones con denominador 1, así que nunca suben la respuesta, pero se imprimen de vuelta con el denominador común puesto, porque 2 es 4/2 en cuanto todo va sobre 2. Y un denominador que es múltiplo de otro, como el 4 entre el 2 y el 4, no aporta nada: el 2 ya entra en el 4. El resultado es exactamente la cantidad que hace falta para sumar fracciones con denominadores distintos, y el denominador de la suma es este número.

1/2, 2/3 y 3/4 reescritas sobre su mínimo común denominador

FracciónDenominadorCon el denominador común
1/226/12
2/338/12
3/449/12

Lee la columna del medio de arriba abajo y los tres números son 2, 3 y 4. El mínimo común múltiplo de esos tres es 12, que es la respuesta, y es el primer número en el que los tres se pueden dividir: 12 es el sexto múltiplo de 2, el cuarto de 3 y el tercero de 4. La columna de la derecha muestra después cada fracción reescrita sobre 12, y cada entrada merece una comprobación contra la que sustituye: 6/12 es un medio, 8/12 son dos tercios y 9/12 son tres cuartos, y todas lo siguen siendo, porque el numerador y el denominador se multiplicaron por el mismo número. Ese factor de multiplicación es la respuesta dividida entre el denominador de la propia fracción: 12 ÷ 2 = 6 para la primera fila, 12 ÷ 3 = 4 para la segunda y 12 ÷ 4 = 3 para la tercera. Fíjate en que el tercer denominador, el 4, no es el que más aporta aunque sea el número más grande: lo que cuenta son los primos, y 12 necesita dos doses que pueden venir del 2 o del 4, más el 3 que solo trae el 3. La tabla está fijada en estas tres fracciones y no sigue lo que hayas escrito: el panel de arriba responde a tu entrada, y esto muestra el método con filas lo bastante cortas como para comprobarlas a ojo.

Fórmula

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ mínimo común denominador = mcm(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10
Las fracciones con las que se trabaja, de dos a diez, cada una escrita como numerador/denominador con las dos partes enteras de 1 a 1000000 y separadas por espacios, comas o puntos y coma. Los números enteros como 2 se aceptan y se leen como 2/1. Cada fracción se simplifica a su mínima expresión antes de usar su denominador, y ese es el paso que evita que la respuesta salga demasiado grande
4, 6, 10
Los denominadores ya simplificados. Simplificar primero es lo que hace que sean 4, 6 y 10 y no algo mayor: 6/8 aportaría un 8 si no se simplificara a 3/4. Todo lo que viene después trabaja solo con estos números; los numeradores no afectan en nada a la respuesta
lcd = lcm(4, 6, 10)
El cálculo entero en una línea: el mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores simplificados. 4 es 2², 6 es 2 × 3 y 10 es 2 × 5, así que los primos necesarios son 2², 3 y 5, lo que da 4 × 3 × 5 = 60. Con más de dos fracciones esto se pliega de dos en dos: 4 y 6 dan 12, y luego 12 y 10 dan 60
60
La respuesta. Todos los denominadores simplificados lo dividen exactamente y ningún número menor lo hace, que es lo que lo convierte en el mínimo y no en uno compartido cualquiera
n × (60 ÷ d)
Cómo se reescribe cada fracción: multiplica el numerador por la respuesta dividida entre el denominador de esa fracción. Para 3/4 eso es 3 × 15 = 45, así que 3/4 pasa a ser 45/60. El valor de la fracción no cambia: el numerador y el denominador se multiplican por el mismo número, que es lo que significan las fracciones equivalentes
45/60, 50/60, 42/60
Las fracciones reescritas, todas sobre el denominador común. Un número entero de la entrada aparece aquí con el denominador puesto en lugar de vuelto a simplificar: 2 regresa como 4/2 cuando la respuesta es 2, porque una fila impresa como un entero pelado en esta columna se leería como una fila que se saltó el paso

Sumar fracciones con denominadores distintos empieza aquí: 3/4 y 5/6 no se pueden combinar hasta que las dos estén sobre 12, y el común denominador es la primera línea del desarrollo. Comparar fracciones es el mismo paso: no se puede saber si 5/6 es mayor que 7/10 a simple vista, pero 50/60 contra 42/60 lo resuelve al instante, y que los denominadores coincidan significa que solo hay que leer los numeradores. Restar exige lo mismo. Fuera del aula, cada vez que se registran cantidades en unidades fraccionarias distintas, el denominador compartido es lo que permite totalizarlas. La tabla de abajo es el método a mano: múltiplos de cada denominador simplificado, y el primer número que aparece en todas las columnas. Dos atajos ahorran casi todo el trabajo y los dos salen a menudo: un denominador que es múltiplo de otro se puede ignorar, y dos denominadores que no comparten ningún primo —6 y 5, por ejemplo— se multiplican directamente para dar la respuesta. Cuando una fracción no está en su mínima expresión, simplificar no es opcional, y conviene hacerlo al principio y no al final, porque es el único paso cuya omisión produce una respuesta que parece del todo razonable.

Ejemplos resueltos

  1. Tres fracciones: 3/4, 5/6 y 7/10

    1. Las tres están ya en su mínima expresión, así que los denominadores que hay que combinar son 4, 6 y 10
    2. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
    3. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
    4. Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60
    5. El primer número que está en las tres listas es 60, así que el mínimo común denominador es 60
    6. 3/4 pasa a 45/60 porque 60 ÷ 4 = 15 y 3 × 15 = 45
    7. 5/6 pasa a 50/60 porque 60 ÷ 6 = 10 y 5 × 10 = 50
    8. 7/10 pasa a 42/60 porque 60 ÷ 10 = 6 y 7 × 6 = 42

    El caso por defecto. La ruta plegada es más corta que las listas: 4 y 6 dan 12, y 12 con 10 da 60. La columna de las fracciones reescritas es la comprobación útil, porque cada una de las tres nuevas fracciones tiene que valer lo mismo que la que sustituye: 45/60 es 3/4, 50/60 es 5/6 y 42/60 es 7/10, y si alguna no lo fuera, es que el multiplicador se aplicó a una sola parte de la fracción.

  2. Por qué se simplifica antes: 6/8 y 10/12

    1. 6/8 y 10/12 no están en su mínima expresión
    2. Divide las dos partes de 6/8 entre 2: queda 3/4, con denominador 4
    3. Divide las dos partes de 10/12 entre 2: queda 5/6, con denominador 6
    4. El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, así que el mínimo común denominador es 12
    5. 3/4 pasa a 9/12 y 5/6 pasa a 10/12
    6. Leer en su lugar los denominadores sin simplificar habría dado 8 y 12, y su mínimo común múltiplo es 24

    La respuesta por la que existe esta página. 24 no es un común denominador equivocado —6/8 y 10/12 se pueden escribir de verdad sobre 24—, simplemente no es el mínimo, y un panel que mostrara 24 parecería perfectamente normal. Simplificar primero es lo que los separa, y es la razón de que el campo simplifique cada fracción antes de leer su denominador.

  3. Un número entero entre las fracciones: 1/2, 2 y 3

    1. 2 y 3 se leen como 2/1 y 3/1, con denominador 1
    2. Los denominadores que hay que combinar son 2, 1 y 1
    3. Todo entero es múltiplo de 1, así que el 1 no aporta nada a la respuesta
    4. El mínimo común múltiplo de 2, 1 y 1 es 2
    5. 1/2 se queda en 1/2, mientras que 2 pasa a 4/2 y 3 pasa a 6/2

    Los 4/2 y 6/2 son deliberados y no son un fallo al simplificar. La página se llama de fracciones con el común denominador y cada fila suya tiene que llevar ese denominador, porque una fila impresa como un 2 pelado se leería como una a la que no se le hizo nada. El valor no cambia en ninguno de los dos casos —4/2 es 2— y este es el único punto de la página donde un resultado aparece sin simplificar a propósito.

  4. Cerca del techo: 1/1000 y 2/999983

    1. 1000 es 2³ × 5³ y 999983 es primo, así que los dos denominadores no comparten nada
    2. Sin nada en común, el mínimo común múltiplo es el producto: 1000 × 999983 = 999983000
    3. 1/1000 pasa a 999983/999983000 porque 999983000 ÷ 1000 = 999983
    4. 2/999983 pasa a 2000/999983000 porque 999983000 ÷ 999983 = 1000 y 2 × 1000 = 2000

    Dos denominadores que no comparten ningún primo es el caso en el que la respuesta llega a lo más grande que puede ser para una pareja dada, y este ejemplo se sienta justo por debajo del techo donde la página se detiene. Los numeradores se mantienen exactos aquí —999983 es un valor de seis cifras y todavía cae dentro del rango que una máquina sostiene con precisión—, pero una fracción con un numerador mayor empujaría el producto más allá, y por eso la página rechaza el cálculo a partir de cierto denominador en lugar de imprimir una reescritura redondeada.

Limitaciones

Cada fracción se escribe como numerador/denominador con las dos partes enteras de 1 a 1000000, y deben ser entre dos y diez. Los decimales se rechazan en lugar de convertirse: 0,75 no es una fracción escrita como fracción, y convertirla en 3/4 sería adivinar qué quería escribir la persona. El signo negativo solo se acepta delante del numerador: 3/-4 se rechaza, porque el signo de una fracción pertenece a un sitio y esta página no va a elegir por ti. Un denominador igual a cero se rechaza, porque nada se puede dividir en cero partes. Hay un solo techo y no está en la entrada sino en la respuesta: el mínimo común denominador tiene que quedarse en 1000000000 o por debajo, y pasado ese punto la página rechaza el cálculo en lugar de imprimir las fracciones reescritas. El motivo es que cada numerador reescrito es el numerador original multiplicado por la respuesta dividida entre su propio denominador, así que un denominador común grande por un numerador grande deja de ser exacto, y una reescritura inexacta se parecería a cualquier otra fila. El mínimo son dos fracciones, porque una sola no tiene con qué compartir denominador. Una fracción repetida en la lista no cambia nada, y un denominador que es múltiplo de otro es simplemente redundante. La tabla de abajo está fijada en 1/2, 2/3 y 3/4 y no sigue lo que escribas; el panel de arriba responde a tus fracciones y la tabla muestra el método y las tres filas reescritas. El resultado es exacto, nunca redondeado.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre un común denominador y el mínimo común denominador?
Cualquier número en el que todos los denominadores se puedan dividir es un común denominador; el mínimo es el más pequeño de ellos. Para 4, 6 y 10 tanto 60 como 120 son comunes denominadores, y 60 es el mínimo. Solo merece la pena calcular a mano el mínimo, porque uno mayor significa números mayores en cada fracción reescrita, y los números grandes son donde ocurren los errores de cálculo. La página devuelve siempre el mínimo.
¿Por qué se simplifican las fracciones antes de leer el denominador?
Porque dos fracciones que valen lo mismo pueden tener denominadores distintos. 6/8 y 3/4 son iguales, pero construir un común denominador a partir del 8 da 24, cuando la respuesta correcta es 12. La respuesta equivocada no es evidentemente equivocada —24 es un común denominador genuino de esas fracciones—, así que la página simplifica cada fracción a su mínima expresión antes de nada, y el ejemplo de arriba fija ese caso.
¿Qué relación tiene el mínimo común denominador con el mínimo común múltiplo?
Son el mismo cálculo sobre entradas distintas. Toma los denominadores de las fracciones ya simplificadas y calcula su mínimo común múltiplo: eso es el mínimo común denominador. Por eso las dos páginas de este sitio coinciden: 4, 6 y 10 tienen como mínimo común múltiplo 60, y un conjunto de fracciones con esos denominadores tiene 60 como mínimo común denominador. Nada de los numeradores entra en la respuesta.
¿Por qué un número entero vuelve con un denominador puesto?
Porque un número entero en la entrada se lee como una fracción sobre 1, y la columna de resultados de esta página es la de fracciones con el denominador común: cada fila suya tiene que llevar ese denominador. 2 pasa a 4/2 cuando la respuesta es 2, que es el mismo valor escrito sobre el denominador compartido y no un fallo al simplificar. Es el único caso de la página en el que un resultado aparece sin simplificar a propósito.
¿Cuál es la respuesta más pequeña posible?
El mayor de los denominadores simplificados, cuando todos los demás se pueden dividir en él. Para 1/2, 1/4 y 3/4 la respuesta es 4, porque 2 entra en 4 y 4 es él mismo. No puede ser menor que el denominador más grande, porque la respuesta tiene que ser múltiplo de todos ellos, y un múltiplo de un número nunca es menor que ese número.
¿Pueden los numeradores cambiar la respuesta?
No. El mínimo común denominador se calcula solo a partir de los denominadores, y 1/4 y 3/4 tienen el mismo. Los numeradores sí aparecen en las fracciones reescritas, donde cada uno se multiplica por la respuesta dividida entre su propio denominador, así que cambian lo que dicen las filas, pero nunca en cuántas partes se corta cada entero.

Referencias

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