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Calculadora de resta de fracciones

Intervalo: 1 – 100.000

Intervalo: 1 – 100.000

Resultado

7/12

Diferencia (en forma irreducible)

Denominador común
12
Primera fracción, convertida
9/12
Segunda fracción, convertida
2/12

Esta calculadora de resta de fracciones toma dos fracciones y enseña el paso que obligan los denominadores distintos: ninguna de las dos se puede restar hasta que las dos estén reescritas sobre un denominador común. 3/4 menos 1/6 es 7/12, y las lecturas que permiten comprobarlo son el par que hay debajo: 9/12 y 2/12, las mismas dos fracciones reescritas sobre doceavos. El denominador en el que se encuentran es 12, el mínimo común múltiplo de 4 y 6, y no su producto 24: 4 y 6 comparten el factor 2, así que multiplicar 4 por 6 cuenta dos veces todo lo que hay en ese factor compartido. Encontrar el denominador común es la mitad del trabajo y no el final, porque la diferencia todavía hay que reducirla: 5/6 menos 1/3 se convierte en 5/6 menos 2/6, que es 3/6, y 3/6 es 1/2. La respuesta se imprime en su mínima expresión mientras que las dos lecturas convertidas se imprimen tal como se convirtieron, de modo que el tamaño de la reescritura queda a la vista en lugar de desaparecer. Dos fracciones iguales se restan hasta nada, y esa nada se imprime como un 0 a secas y no como 0/2. Los numeradores pueden ser negativos y la diferencia puede ser negativa aunque las dos fracciones sean positivas, porque restar es la operación que puede llevar un positivo más allá del cero.

Ocho restas de fracciones, con el denominador común

Primera fracciónSegunda fracciónDenominador comúnDiferencia
3/41/6127/12
1/71/11774/77
5/61/361/2
3/41/241/4
1/21/220
5/83/48-1/8
1/35/66-1/2
-3/81/48-5/8

Cada fila son los mismos cuatro pasos —hallar el mínimo común múltiplo, convertir, restar, reducir— sobre un par distinto, y las columnas son las dos entradas, el denominador en el que se encuentran y la respuesta en su mínima expresión. Las lecturas intermedias no están en esta tabla a propósito: están en los ejemplos de arriba, donde hay sitio para enseñar los multiplicadores. Lee primero la tercera columna. La primera fila es el par por defecto, 3/4 y 1/6, donde los denominadores comparten un factor y el denominador común es 12 y no 24. La segunda fila es el otro extremo, 1/7 y 1/11, donde no se comparte nada y el denominador común sí es el producto. La tercera fila es la que demuestra que el denominador común no es el final del trabajo: 5/6 menos 1/3 se convierte en 5/6 menos 2/6, y la diferencia es 1/2 y no 3/6. La cuarta fila tiene un denominador que divide al otro, así que solo se convierte una fracción. La quinta son dos fracciones iguales, y la diferencia se imprime como un 0 a secas, sin denominador. Las filas sexta y séptima son resultados negativos a partir de entradas positivas, uno desde cada lado. La octava tiene un numerador negativo en la primera fracción, y el signo menos atraviesa la conversión hasta la respuesta. Lee la tercera columna de arriba abajo: es 12, 77, 6, 4, 2, 8, 6 y 8, en todos los casos el número más pequeño que dividen los dos denominadores, y nunca el producto directo salvo cuando los dos denominadores son coprimos.

Fórmula

a/b − c/d = (a × (L ÷ b) − c × (L ÷ d)) ÷ L donde L = mcm(b, d), el mínimo común múltiplo de los dos denominadores Después se reduce la diferencia

First numerator
La parte de arriba de la fracción a la que se le resta: 3 en 3/4. Se multiplica por las veces que su propio denominador cabe en el denominador común —por 3, en el caso por defecto, lo que convierte 3/4 en 9/12—. Puede ser negativo, y el signo viaja con él.
First denominator
La parte de abajo de la primera fracción: 4 en 3/4. Tiene que ser positivo, y es uno de los dos números cuyo mínimo común múltiplo pasa a ser el denominador común. Se queda en el panel tal como se escribió, para poder contrastar la reescritura contra él.
Second numerator
La parte de arriba de la fracción que se quita: 1 en 1/6. Su multiplicador es distinto del de la primera —2 en el caso por defecto, lo que da 2/12—, y esa asimetría es exactamente lo que enseñan las dos lecturas convertidas.
Second denominator
La parte de abajo de la segunda fracción: 6 en 1/6. Junto con el primer denominador fija el denominador común en 12. Tiene que ser positivo por el mismo motivo que el primero.
Common denominator (L)
El mínimo común múltiplo de los dos denominadores: 12 para 4 y 6, y 77 para el par coprimo 7 y 11, donde sí sale como el producto directo. Se calcula como un denominador dividido entre el máximo común divisor de los dos, multiplicado por el otro, que es el mismo número por una ruta que no desborda. Se imprime en su propia línea porque es el número del que depende todo el método, y porque un denominador común más grande de lo necesario es el desliz aritmético más habitual en esta operación.
Converted fractions
Las dos fracciones después de reescribirlas sobre el denominador común: 9/12 y 2/12 en el caso por defecto. Se imprimen tal como se convirtieron y no reducidas, porque reducirlas escondería el multiplicador que hizo el trabajo. La resta ocurre entre estos dos numeradores.
Difference
Lo que queda después de restar los dos numeradores convertidos: 9 − 2 = 7 sobre 12. Se imprime en su mínima expresión, así que puede no coincidir con lo que dio la resta de los numeradores convertidos —5/6 menos 1/3 deja 3/6, que se imprime como 1/2—, y se derrumba a un 0 a secas cuando las dos fracciones son iguales.

El primer uso es el ejercicio en sí, que se enseña en cuanto los denominadores difieren, y el panel está ordenado alrededor del procedimiento de clase: buscar el denominador común, convertir, restar, reducir. El segundo es comprobar un trabajo hecho a mano, donde las dos lecturas convertidas son la parte útil: si las tuyas no son estas, todo lo que viene después también cambia. El tercero es un par de denominadores que comparten un factor, como 4 y 6, donde el denominador común es más pequeño que el producto y el panel enseña el ahorro. El cuarto es un par de denominadores coprimos como 7 y 11, el otro extremo: no comparten nada, el denominador común es el producto, y la respuesta suele llegar ya en su mínima expresión. El quinto es un par de fracciones iguales, donde la diferencia es cero y el panel la imprime como un 0 a secas: la única lectura de esta página que no es una fracción. No suma, no multiplica y no divide, y no acepta números mixtos; esas son otras tres páginas.

Ejemplos resueltos

  1. 3/4 − 1/6, el caso por defecto

    1. Busca el denominador común: el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, no 24, porque los dos dividen a 12 y 4 × 6 ha contado dos veces su factor compartido, el 2
    2. Convierte la primera fracción: 12 ÷ 4 = 3, así que 3/4 pasa a (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12
    3. Convierte la segunda: 12 ÷ 6 = 2, así que 1/6 pasa a (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12
    4. Resta los numeradores sobre el denominador común: 9 − 2 = 7, y queda 7/12
    5. 7 y 12 no comparten nada, así que 7/12 ya está en su mínima expresión

    El caso por defecto, y el que enseña por qué el denominador común no es simplemente el producto: 4 y 6 dividen los dos a 12, y 12 es el número más pequeño que ambos dividen, así que con doceavos basta y los veinticuatroavos habrían sido el doble de trabajo. Las dos lecturas convertidas son la prueba: 9/12 y 2/12 tienen el mismo denominador, que es justo lo que hace legal la resta. Fíjate en que los números convertidos se imprimen tal como se convirtieron y no reducidos: 2/12 podría escribirse como 1/6, pero entonces desaparecería el multiplicador que lo produjo, y ese multiplicador es el paso que se está enseñando.

  2. 5/6 − 1/3, cuando hay que reducir al final

    1. Busca el denominador común: 3 divide a 6, así que el mínimo común múltiplo es 6
    2. La primera fracción no necesita conversión: 6 ÷ 6 = 1, así que se queda en 5/6
    3. Convierte la segunda: 6 ÷ 3 = 2, así que 1/3 pasa a 2/6
    4. Resta: 5 − 2 = 3 sobre 6, y queda 3/6
    5. Reduce: el máximo común divisor de 3 y 6 es 3, así que 3/6 = 1/2

    El caso que demuestra que el denominador común no termina el trabajo. La diferencia de los numeradores convertidos es 3/6, y 3/6 no es la respuesta: la respuesta es 1/2, porque 3 y 6 todavía comparten un factor. Un método que se detiene en el denominador común imprime 3/6 aquí y se equivoca de una manera que la página no puede ver, y por eso este caso está en los ejemplos y en la tabla en lugar de dejarse al azar. Fíjate también en que una de las dos lecturas convertidas no cambia: cuando un denominador divide al otro, solo hay que reescribir una fracción, y la lectura que vuelve igual que entró es el registro honesto de eso.

  3. 1/7 − 1/11, denominadores coprimos

    1. Busca el denominador común: 7 y 11 no comparten ningún factor, así que el mínimo común múltiplo es su producto, 77
    2. Convierte la primera fracción: 77 ÷ 7 = 11, así que 1/7 pasa a 11/77
    3. Convierte la segunda: 77 ÷ 11 = 7, así que 1/11 pasa a 7/77
    4. Resta: 11 − 7 = 4 sobre 77, y queda 4/77
    5. 4, 7 y 11 no comparten ningún factor, así que 4/77 ya está en su mínima expresión

    El otro extremo del denominador común: dos denominadores sin nada en común, así que el mínimo común múltiplo es de verdad el producto y hay que reescribir las dos fracciones. Es el caso en el que quien se salta el mínimo común múltiplo y multiplica siempre los denominadores obtiene la misma respuesta, y la razón de enseñarlo igualmente es que el ejemplo anterior, el de 4 y 6, es justo el que hace mal. Fíjate en que la respuesta es 4/77 y no «algo que hubo que reducir»: que los denominadores sean coprimos no garantiza que el resultado esté reducido, solo lo hace probable, y la reducción se hace sobre el resultado de todas formas.

  4. 5/8 − 3/4, una diferencia negativa

    1. Busca el denominador común: 4 divide a 8, así que el mínimo común múltiplo es 8
    2. La primera fracción se queda: 8 ÷ 8 = 1, y da 5/8
    3. Convierte la segunda: 8 ÷ 4 = 2, así que 3/4 pasa a 6/8
    4. Resta: 5 − 6 = −1 sobre 8, y queda −1/8

    Las dos fracciones son positivas y la respuesta no: restar una fracción mayor a una menor lleva el resultado más allá del cero, y el panel lo dice con un signo menos en lugar de rechazar la entrada. El denominador común es 8 y las dos lecturas convertidas son 5/8 y 6/8, que es lo que hace evidente el desenlace antes incluso de restar: el segundo numerador es el más grande. El signo vive en el numerador y en ningún otro sitio: la respuesta es −1/8, no 1/−8, y el denominador sigue siendo positivo en todas las líneas del panel.

  5. 1/2 − 1/2, la diferencia nula

    1. Los denominadores son iguales, así que el mínimo común múltiplo es ese denominador, 2
    2. Ninguna de las dos fracciones necesita conversión: las dos ya están escritas sobre 2
    3. Resta: 1 − 1 = 0 sobre 2, y queda 0/2
    4. Reduce: el máximo común divisor de 0 y 2 es 2, así que 0/2 pasa a 0/1, que se escribe como un 0 a secas

    El caso en el que la respuesta no es una fracción en absoluto. Dos fracciones iguales tienen diferencia cero, y el cero se reduce a 0/1, que la notación de fracciones escribe sin denominador: por eso la lectura principal es un 0 a secas mientras la línea del denominador común sigue diciendo 2 y las dos lecturas convertidas siguen diciendo 1/2. Eso es justamente lo interesante: las dos entradas eran fracciones reales y el método se ejecutó de verdad, y solo el resultado se derrumbó. Es también el único punto en el que el panel se ve distinto de la misma resta hecha en la página de la suma, donde una suma solo se derrumba cuando llega a un número entero.

Limitaciones

Los dos denominadores tienen que ser positivos, porque una fracción lleva el signo en el numerador, y las lecturas convertidas dependen de eso: cada numerador se multiplica por un número entero de veces y el signo tiene que quedarse en un solo sitio. Los numeradores pueden ser negativos, y la diferencia puede ser negativa aunque las dos entradas sean positivas: 5/8 − 3/4 es −1/8, que es una respuesta correcta y no un error. Los números están limitados de tamaño. Cada denominador está topado en 100000 y cada numerador en unos 4,5 × 10¹⁰, que es el valor más grande para el que los dos numeradores convertidos todavía caen en enteros representables con exactitud. Más allá de eso la resta sería inexacta sin avisar, así que la página rechaza la entrada en vez de imprimir un número que parece correcto. Solo se aceptan números enteros en las cuatro casillas: un numerador decimal se rechaza, y la página remite a la de decimal a fracción. El cero sí vale en un numerador: se convierte en 0 sobre el denominador común como cualquier otro. La página resta dos fracciones y nada más: no suma, no multiplica ni divide, y no acepta un número mixto escrito como un entero junto a una fracción, que antes hay que pasar a fracción impropia; de eso se encarga la página del número mixto. Las lecturas intermedias de aquí son distintas a propósito de las de la calculadora de fracciones y de la del número mixto: aquellas dos multiplican los denominadores directamente y enseñan el producto antes de reducir, mientras que esta busca el mínimo común múltiplo y enseña las dos fracciones convertidas. La misma resta muestra 9/12 y 2/12 aquí y otro par intermedio allí, y las respuestas coinciden. Por último, la respuesta va siempre reducida pero las lecturas convertidas no: una fracción convertida puede imprimirse como 6/8, y esa es la lectura que registra la conversión y no una reducción que se ha olvidado.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se restan fracciones con distinto denominador?
Reescribe las dos fracciones sobre un denominador común, resta los numeradores y deja ese denominador. 3/4 menos 1/6 pasa a 9/12 menos 2/12, que es 7/12. Multiplicar los dos denominadores da siempre un denominador común utilizable, y tomar el mínimo común múltiplo da uno más pequeño.
¿Por qué el denominador común de 3/4 y 1/6 es 12 y no 24?
Porque 12 es el número más pequeño que dividen a la vez el 4 y el 6. Multiplicar 4 por 6 cuenta dos veces el factor 2 que comparten los dos denominadores, y eso duplica todos los números del desarrollo. Con veinticuatroavos se llega a la misma respuesta con el doble de cuentas: el panel enseña el más pequeño para que los multiplicadores se queden pequeños.
¿Después de hallar el denominador común hay que reducir?
Sí. El denominador común hace posible la resta, no deja el resultado reducido. 5/6 menos 1/3 es 5/6 menos 2/6, que da 3/6, y 3/6 es 1/2. La página reduce la diferencia y deja las dos lecturas convertidas tal como se convirtieron, para que se vean las dos cosas.
¿La respuesta puede ser negativa?
Sí. 5/8 menos 3/4 es 5/8 menos 6/8, que es −1/8: restar una fracción mayor a una menor lleva el resultado por debajo de cero, y eso es una respuesta real y no un error. El signo va en el numerador, así que la respuesta se escribe −1/8 y nunca como una fracción con denominador negativo.
¿Qué pasa cuando las dos fracciones son iguales?
La diferencia es cero. 1/2 menos 1/2 se convierte en 1/2 menos 1/2, los numeradores restan 0, y 0 sobre 2 se reduce a 0 sobre 1, que se escribe como un 0 a secas y sin denominador. La línea del denominador común sigue diciendo 2, porque el método se ejecutó de verdad.
¿Puedo restar números mixtos aquí?
No. Esta página toma cuatro números enteros que forman dos fracciones, así que un número mixto como 4 1/2 hay que pasarlo antes a fracción impropia —9/2—, y esa conversión es la que hace la página de número mixto a fracción impropia. Sumar, multiplicar y dividir son además otras tres páginas.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de fraccionesSuma, resta, multiplica y divide fracciones y simplifica.Calculadora de suma de fraccionesSuma dos o más fracciones, con el común denominador.Calculadora de simplificar fraccionesReduce una fracción a su forma irreducible, con el MCD.Calculadora de números mixtosOpera con números mixtos y los convierte a fracción.