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CalcMax

Calculadora de ángulo doble

Intervalo: -1.000.000 ° – 1.000.000 °

Resultado

60,00 °

Ángulo doble 2θ

Seno de 2θ
0,8660
Coseno de 2θ
0,5000
Tangente de 2θ
1,7321

Una calculadora de ángulo doble toma un ángulo, lo duplica y da el seno, el coseno y la tangente del resultado. La salida no es el doble de nada, y ese es justamente el asunto de la página. Duplicar un ángulo no duplica su seno: el seno de sesenta grados es 0,866 mientras que el doble del seno de treinta grados es 1, y esos dos números no tienen nada que ver entre sí. Lo que ocurre de verdad cuando un ángulo se duplica lo describen las identidades del ángulo doble, y no son multiplicaciones en absoluto. El seno de un ángulo doble es el doble del producto del seno por el coseno del original: dos razones multiplicadas entre sí, no una razón multiplicada por dos. El coseno de un ángulo doble es el cuadrado del coseno menos el cuadrado del seno, y por eso también se puede escribir como uno menos el doble del seno al cuadrado, o como el doble del coseno al cuadrado menos uno. La tangente de un ángulo doble es el doble de la tangente original partido por uno menos su cuadrado. Leídas de izquierda a derecha te dicen dónde cae un ángulo duplicado; leídas al revés son las fórmulas del ángulo mitad, y de ahí que merezca la pena conocer un ángulo como veintidós y medio: su doble es cuarenta y cinco, un ángulo cuyas razones son exactas. De las identidades salen dos límites, y ninguno lo pone la página. Todo está definido allí donde lo esté la tangente original, salvo en los ángulos que al duplicarse caen sobre un ángulo recto o sobre las tres cuartas partes de una vuelta: a cuarenta y cinco y a ciento treinta y cinco grados la tangente del doble no tiene valor, y esta página rechaza esos dos ángulos de plano en lugar de dar dos números y un guion. Y lo que se duplica es el ángulo, nunca la lectura, así que un ángulo mayor que una vuelta se duplica y luego se devuelve a su rango: setecientos cincuenta grados se duplican a mil quinientos y se leen como los mismos números que sesenta. La tabla de abajo cubre doce ángulos y muestra las cuatro columnas, incluidas las dos filas en las que la columna de la tangente lleva un guion.

El ángulo duplicado y sus tres razones en doce ángulos

θ (grados)2θ (grados)sen 2θcos 2θtan 2θ
00010
15300.50.8660.5774
22.5450.70710.70711
30600.8660.51.7321
459010—
601200.866-0.5-1.7321
751500.5-0.866-0.5774
901800-10
120240-0.866-0.51.7321
135270-10—
150300-0.8660.5-1.7321
165330-0.50.866-0.5774

Lee primero la segunda columna: es la única que se comporta como suele comportarse duplicar, subiendo dos por cada uno que sube la primera. Las tres columnas siguientes no. Compara la fila de treinta grados con la de quince: el seno pasa de un medio a 0,866 y el coseno hace lo contrario, y ninguna de las dos lecturas es el doble de la otra, sino que se intercambian los papeles, porque duplicar un ángulo mueve el punto un cuarto de vuelta más sobre la circunferencia en lugar de escalar nada. Los dos guiones están a cuarenta y cinco y a ciento treinta y cinco grados, los dos ángulos cuyo doble es un ángulo recto o las tres cuartas partes de una vuelta, y están solo en la columna de la tangente: el seno y el coseno de esas filas son números corrientes. Fíjate también en las filas de cero y de noventa: en las dos el seno del ángulo doble es cero, y el coseno salta entre uno y menos uno.

Fórmula

sen 2θ = 2 sen θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sen²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ
El ángulo del que partes, en grados o radianes. Puede ser negativo y puede pasar de una vuelta completa, y lo que la página duplica es este ángulo y nunca el número que produce
2θ
El ángulo duplicado. Se da primero, en grados, porque todo lo demás de la página se lee en ese ángulo y no en el que escribiste
sen θ, cos θ
El seno y el coseno del ángulo original. La identidad los multiplica entre sí en lugar de duplicar cualquiera de los dos, y por eso la respuesta no es el doble de nada

Acude a esta página cuando el ángulo vaya a duplicarse y quieras saber dónde cae sin desarrollar las identidades a mano: un giro aplicado dos veces, una fase que avanza el doble del paso, una longitud de onda o un periodo leídos al doble de la frecuencia. Las fórmulas del ángulo doble que tienes más abajo son las mismas tres identidades que aplica la calculadora, así que la página sirve también para contrastar un cálculo hecho a mano. Si lo que tienes es la lectura del ángulo doble y quieres recuperar el original, esa es la dirección del ángulo mitad y no es una operación que esta página haga. Y si quieres las tres razones en el ángulo que escribiste y no en su doble, la página de trigonometría hace exactamente eso y las dos coinciden allí donde ambas estén definidas.

Ejemplos resueltos

  1. Un ángulo de 30 grados, que se duplica a 60

    1. El doble de treinta grados es sesenta grados, así que todo se lee ahí
    2. El sen 60 es √3/2, unos 0,866, y el cos 60 es un medio
    3. La tangente es su razón, √3, unos 1,7321

    El ángulo con el que se carga la página y el que enseña por qué existe. El seno de treinta grados es 0,5, así que su doble sería 1, pero el seno de sesenta grados es 0,866 y por más que dupliques la primera lectura no llegas a la segunda. La identidad explica de dónde sale 0,866: dos por 0,5 por 0,866, el producto del seno y el coseno de treinta. El ángulo duplicado es mayor que el original en un factor de dos; la razón no.

  2. Un ángulo de 22,5 grados, que se duplica a 45

    1. El doble de veintidós y medio es cuarenta y cinco grados
    2. A cuarenta y cinco grados el punto está sobre la recta y = x, así que el seno y el coseno son iguales
    3. Lecturas iguales significan que la tangente es exactamente uno, sin redondeo

    Veintidós y medio es la mitad de cuarenta y cinco, lo que convierte esta fila en la fórmula del ángulo mitad leída en la dirección en la que suele hacer falta. Cuarenta y cinco es uno de los pocos ángulos cuyas tres razones son exactas, y queda fuera del alcance de las tablas habituales, así que el camino hasta él es un valor duplicado y no uno memorizado. Las dos razones salen 0,7071 porque en ese ángulo las dos coordenadas son iguales, y la tangente es uno exacto y no 0,9999.

  3. Un ángulo de 90 grados, que se duplica a 180

    1. El doble de noventa es ciento ochenta grados, media vuelta
    2. El punto está sobre el semieje horizontal negativo, así que el coseno es menos uno y el seno es cero
    3. La tangente es cero partido por menos uno, que es cero

    La única fila en la que el ángulo duplicado toca un extremo: el coseno está en su valor más pequeño posible, menos uno. En esta página nada falla a noventa grados, aunque noventa sea el ángulo que rechaza la página de trigonometría: la tangente aquí no se lee ahí, se lee a ciento ochenta, donde se porta perfectamente y vale cero. Mover la lectura a otro ángulo basta para sacarla de un punto sin valor.

  4. Un ángulo mayor que una vuelta, 750 grados

    1. Setecientos cincuenta grados son treinta grados más dos vueltas completas
    2. Al duplicarlo salen mil quinientos grados, que son sesenta grados más cuatro vueltas completas
    3. Cuatro vueltas completas no cambian nada, así que la lectura es la misma que a sesenta

    Las cuatro columnas son idénticas a las de la fila de treinta grados, y es lo correcto: setecientos cincuenta y treinta son el mismo ángulo, así que tienen el mismo doble y las mismas tres razones ahí. Aquí no se trata ningún ángulo grande como un caso especial: el ángulo duplicado se devuelve a su rango antes de leerse y las vueltas completas se descartan. Cinco grados por debajo de un millón se comportan igual por el mismo motivo.

Limitaciones

Tres cosas que esta página no hace. Primero, la tangente de un ángulo doble se rechaza a cuarenta y cinco grados, a ciento treinta y cinco y en todo ángulo que al duplicarse caiga sobre un ángulo recto o sobre las tres cuartas partes de una vuelta, incluidas las versiones negativas y las que pasan de una vuelta. El rechazo se lleva el ángulo entero, aunque el seno y el coseno del ángulo doble sean números corrientes ahí. Segundo, las lecturas se dan con cuatro decimales y la mayoría son irracionales: el seno exacto de un doble de treinta grados es raíz de tres partido por dos, y 0,866 es donde eso cae después de redondear. El coseno se porta aquí peor que el seno, porque la identidad resta dos cuadrados y los dos son casi iguales cerca de cuarenta y cinco grados, de modo que la respuesta pequeña que sale es la diferencia de dos números mayores. Y tercero, la página no invierte. Dado un seno de 0,866 para un ángulo doble, ese ángulo doble podría ser sesenta o ciento veinte, y el original podría ser cualquiera de los infinitos ángulos que se duplican a uno de esos dos: recuperar un solo ángulo a partir de una razón exige una decisión que esta página no toma.

Preguntas frecuentes

¿El seno de un ángulo doble es el doble del seno del ángulo?
No, y ese es el error alrededor del cual está construida la página. El seno de treinta grados es 0,5, pero el seno de sesenta grados es 0,866 y no 1. Duplicar un ángulo no es escalar sus razones. Lo que de verdad es el seno del ángulo doble es el doble del producto del seno por el coseno del ángulo original: una multiplicación de dos lecturas distintas y no la duplicación de una sola.
¿Por qué la página rechaza 45 grados?
Porque cuarenta y cinco se duplica a noventa, y la tangente de noventa grados no tiene valor. El seno y el coseno de noventa están bien, uno y cero, pero la página da también la tangente, y una respuesta parcial presentada como completa es peor que ninguna. El mismo rechazo alcanza a ciento treinta y cinco grados, que se duplica a doscientos setenta, y a todo ángulo que esté media vuelta de cualquiera de los dos.
¿Cuáles son las tres identidades del ángulo doble?
El seno de un ángulo doble es el doble del producto del seno por el coseno del original. El coseno de un ángulo doble es el cuadrado del coseno menos el cuadrado del seno, y también se puede escribir como uno menos el doble del seno al cuadrado o como el doble del coseno al cuadrado menos uno: las tres son el mismo número, y la forma que conviene usar es aquella cuya razón original ya tengas. La tangente de un ángulo doble es el doble de la tangente original partido por uno menos el cuadrado de esa tangente.
¿Por qué merece la pena conocer 22,5 grados?
Porque su doble es cuarenta y cinco, y cuarenta y cinco es uno de los pocos ángulos con razones exactas: un medio para el seno y para el coseno, y exactamente uno para la tangente. Veintidós y medio no está en ninguna tabla corriente, pero es la mitad de uno que sí lo está, así que se alcanza leyendo al revés una fórmula del ángulo doble. Esa lectura al revés es lo que son las fórmulas del ángulo mitad.
¿El ángulo puede ser negativo o mayor que una vuelta completa?
Sí, y los dos se tratan igual: el ángulo se duplica y el resultado se devuelve a su rango, así que setecientos cincuenta grados se leen exactamente como treinta y menos treinta exactamente como trescientos treinta. Las vueltas completas se descartan porque no cambian nada de hacia dónde apunta el ángulo duplicado. Lo único que hay que tener en cuenta es que la lectura se da siempre en el rango que va de cero a una vuelta completa.
¿Puedo escribir el ángulo en radianes?
Sí: hay un selector de unidad junto a la casilla, y el ángulo doble se da en grados de cualquiera de las dos formas, porque esa es la unidad que declara la salida. Un tercio de pi radianes y sesenta grados son el mismo ángulo y dan los mismos cuatro números. Como siempre, comprueba en qué unidad está escrito el texto con el que comparas, porque la mayoría de las tablas publicadas entienden grados.

Referencias

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