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CalcMax

Calculadora de ángulo mitad

Intervalo: -1.000.000 ° – 1.000.000 °

Resultado

15,00 °

Ángulo mitad θ/2

Seno de θ/2
0,2588
Coseno de θ/2
0,9659
Tangente de θ/2
0,2679

Una calculadora de ángulo mitad toma un ángulo y da su mitad, junto con el seno, el coseno y la tangente en esa mitad. Lo que conviene retener es que dividir un ángulo por la mitad no divide sus razones por la mitad. El seno de treinta grados es 0,5; su mitad sería 0,25; y el seno de quince grados es 0,2588, que no es ninguna de las dos cosas. Esta es la trampa que tienden las fórmulas del ángulo doble, abordada desde el otro lado. Las identidades del ángulo mitad explican de dónde sale 0,2588. El seno de la mitad de un ángulo es la raíz cuadrada de uno menos el coseno del ángulo entero, partido por dos. El coseno de la mitad es esa misma raíz con un más dentro en lugar de un menos. La tangente de la mitad es uno menos el coseno partido por el seno, o el seno partido por uno más el coseno, o la raíz cuadrada de uno menos el coseno partido por uno más el coseno: tres formas del mismo número, y la que conviene usar depende solo de qué lecturas tengas ya. Dos reglas gobiernan lo que sale. El ángulo se devuelve a su rango antes de partirlo y no después, así que cuarenta grados y cuatrocientos grados caen en el mismo sitio, y un ángulo negativo vuelve como un ángulo de la mitad superior de la circunferencia y no como una mitad negativa. Y la tangente no tiene valor cuando la mitad cae sobre un ángulo recto, que es lo que ocurre a ciento ochenta grados, a quinientos cuarenta y en todo ángulo que esté una vuelta completa de cualquiera de los dos; en esos la lectura entera se rechaza en lugar de darse a medias. Todo se lee en la mitad y nunca en el ángulo que escribiste, así que los cuatro números de la pantalla son todos respuestas sobre un ángulo distinto del que está en la casilla.

El ángulo mitad y sus tres razones en doce ángulos

θ (grados)θ/2 (grados)sen θ/2cos θ/2tan θ/2
00010
30150.25880.96590.2679
60300.50.8660.5774
90450.70710.70711
120600.8660.51.7321
150750.96590.25883.7321
1809010—
2101050.9659-0.2588-3.7321
2401200.866-0.5-1.7321
2701350.7071-0.7071-1
3001500.5-0.866-0.5774
3301650.2588-0.9659-0.2679

Lee juntas las dos primeras columnas y luego olvídalas: la segunda es la mitad de la primera en toda la tabla, y esa es la única columna de la página que se comporta como se espera que se comporte partir por la mitad. Las tres siguientes no. En cero la tangente de la mitad es cero; en noventa es exactamente uno; en ciento cincuenta es 3,7321 y en doscientos diez es ese mismo número con signo menos, que es lo más lejos de uno que llega la columna. El único guion está a ciento ochenta grados, donde la mitad es noventa y la tangente no tiene valor, y está solo en la celda de la tangente, porque el seno de esa mitad es uno y el coseno es cero. Las últimas seis filas son el espejo de las seis primeras leído de abajo arriba: toma la columna del seno de las seis de arriba, léela al revés y cada número se repite exactamente, porque ciento sesenta y cinco y quince son reflejos respecto del eje vertical y los reflejos comparten el seno. La columna del coseno son esos mismos números con todos los signos invertidos, que es lo que pasa en cuanto la mitad cruza al segundo cuadrante, en la fila en la que el ángulo que escribiste llega a ciento ochenta.

Fórmula

sen(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sen θ = sen θ / (1 + cos θ)

θ
El ángulo del que partes, en grados o radianes. Puede ser negativo y puede pasar de una vuelta completa, y se devuelve a su rango antes de partir nada por la mitad
θ/2
El ángulo mitad, siempre dado en el rango que va de cero a media vuelta. Todos los demás números de la página se leen aquí y no en el ángulo que escribiste
cos θ
El coseno del ángulo entero. Es la única entrada que necesitan las identidades del seno y del coseno: las dos raíces se construyen con él, y por eso una lectura en un ángulo incómodo puede salir exacta igualmente
sen θ
El seno del ángulo entero, que usan las dos formas fraccionarias de la tangente. Es el divisor, así que no puede valer cero, y los ángulos en los que vale cero son exactamente aquellos en los que la mitad tropieza con un ángulo recto

Acude a esta página cuando el ángulo vaya a partirse por la mitad y quieras las tres razones en esa mitad sin desarrollar las identidades a mano: un oscilador a la mitad de la frecuencia que lo excita, un ángulo entre dos superficies especulares, una cuerda vista desde la mitad del ángulo central, un paso que es media vuelta o un cuarto de vuelta. Las fórmulas que tienes más abajo son las mismas tres identidades que aplica la calculadora, así que la página sirve también para contrastar un cálculo hecho a mano. Dos páginas vecinas cubren el resto. Si lo que tienes es el ángulo y no su mitad, las fórmulas del ángulo doble van en la otra dirección, y las dos páginas coinciden allí donde ambas estén definidas. Y si quieres las tres razones en el ángulo de la casilla y no en su mitad, la página de trigonometría las lee ahí y no parte nada por la mitad.

Ejemplos resueltos

  1. Un ángulo de 30 grados, que se parte a 15

    1. La mitad de treinta grados es quince grados, así que todo se lee ahí
    2. La identidad del seno: el coseno de treinta es 0,866, así que uno menos eso es 0,134, la mitad de 0,134 es 0,067 y su raíz cuadrada es 0,2588
    3. El coseno es la misma raíz con un más dentro: uno más 0,866 es 1,866, su mitad es 0,933 y su raíz cuadrada es 0,9659
    4. La tangente es su razón, 0,2588 partido por 0,9659, que es 0,2679, y la forma fraccionaria coincide: 0,134 partido por 0,5 es 0,268

    El ángulo con el que se carga la página y el que enseña el error al que apunta. El seno de treinta grados es 0,5, así que su mitad sería 0,25, pero el seno de quince grados es 0,2588, un poco más de la mitad. Las dos lecturas están lo bastante cerca como para que la respuesta equivocada parezca razonable, y justo por eso la página imprime la correcta. Fíjate además en que el ángulo entero tiene aquí un coseno exacto, la mitad de raíz de tres, y el ángulo mitad salió irracional de todos modos: partir un ángulo por la mitad te saca de la tabla en lugar de meterte en ella.

  2. Un ángulo de 90 grados, que se parte a 45

    1. La mitad de noventa grados es cuarenta y cinco
    2. El coseno de noventa es cero, así que las dos identidades se reducen a la raíz cuadrada de un medio, que es 0,7071
    3. Las dos raíces son el mismo número aquí porque lo que llevan dentro es lo mismo: uno menos cero y uno más cero
    4. Lecturas iguales significan que la tangente es exactamente uno, sin redondeo

    La única fila en la que de un ángulo nada célebre sale un ángulo célebre. Cuarenta y cinco grados es uno de los pocos ángulos cuyas tres razones se pueden escribir exactamente: el seno y el coseno son los dos la mitad de raíz de dos, y la tangente es uno. El camino hasta él es un ángulo mitad y no una tabla memorizada, y esta fila es ese camino. Es también la fila en la que el seno y el coseno son iguales, cosa que ocurre a cuarenta y cinco y a doscientos veinticinco y en ningún otro sitio de la tabla.

  3. Un ángulo de 400 grados, que es el mismo que 40

    1. Cuatrocientos grados son cuarenta grados más una vuelta completa
    2. Una vuelta completa no cambia nada de hacia dónde apunta el ángulo, así que la lectura se toma en cuarenta
    3. La mitad de cuarenta es veinte, así que las tres razones son las de veinte grados: 0,342, 0,9397 y 0,364

    Escribe cuarenta grados en la misma casilla y los cuatro números son idénticos: ese es el asunto de esta fila. Partir por la mitad antes de normalizar daría aquí doscientos grados y allí veinte, dos respuestas distintas a la misma pregunta, y por eso el orden está fijado al revés. Lo mismo vale para setecientos cincuenta grados, que se parten a la lectura de un ángulo de quince grados.

  4. Un ángulo de menos 30 grados, que se parte a 165

    1. Menos treinta grados son trescientos treinta grados, un tercio de vuelta por debajo de una completa
    2. La mitad de trescientos treinta es ciento sesenta y cinco
    3. Ciento sesenta y cinco está en el segundo cuadrante, así que su seno es positivo y su coseno negativo
    4. La tangente es por tanto negativa, menos 0,2679

    La fila que despista. Un ángulo negativo no se parte en una mitad negativa, porque el ángulo se devuelve a su rango primero: la mitad de un ángulo negativo es un ángulo de la mitad superior de la circunferencia. El seno de aquí es el mismo 0,2588 que el de la fila de treinta grados, y no es casualidad: quince y ciento sesenta y cinco son imágenes especulares respecto del eje vertical, así que comparten seno y sus cosenos son opuestos. La tangente cambia de signo junto con el coseno.

Limitaciones

Tres cosas que esta página no hace. Primero, la tangente se rechaza a ciento ochenta grados, a quinientos cuarenta, a menos ciento ochenta y en todo ángulo que esos representen más o menos una vuelta completa, porque la mitad de cada uno es un ángulo recto y ahí la tangente no tiene valor. El rechazo se lleva la lectura entera aunque el seno y el coseno en la mitad sean números corrientes, uno y cero. Segundo, las tres razones se dan con cuatro decimales y la mayoría son irracionales; el ángulo mitad impreso es otra cosa, ya que partir por la mitad un número entero de grados da como mucho medio grado y con dos decimales basta para representarlo exactamente. Y tercero, la página no se puede recorrer al revés. La mitad de un ángulo la comparten todo lo que esté una vuelta completa de distancia y nada más, así que una lectura de veinte grados te dice que el original era cuarenta, o cuatrocientos, o cualquiera de los infinitos ángulos intermedios, y una mitad de ciento noventa y cinco grados vendría de un original fuera del rango que la casilla acepta, de modo que esa dirección aquí no tiene respuesta alguna.

Preguntas frecuentes

¿El seno de un ángulo mitad es la mitad del seno del ángulo?
No, y ese es el error alrededor del cual está construida la página. El seno de treinta grados es 0,5, así que su mitad sería 0,25, pero el seno de quince grados es 0,2588. Los dos están lo bastante cerca como para que la respuesta equivocada parezca razonable, y por eso la página imprime la correcta con los pasos. Lo que de verdad es el seno de un ángulo mitad es la raíz cuadrada de uno menos el coseno del ángulo entero, partido por dos: una raíz de un coseno, no una fracción de un seno.
¿Cuáles son las tres identidades del ángulo mitad?
El seno de un ángulo mitad es la raíz cuadrada de uno menos el coseno del ángulo entero, partido por dos. El coseno de un ángulo mitad es esa misma raíz con un más dentro en lugar de un menos. La tangente de un ángulo mitad se puede escribir de tres formas —uno menos el coseno partido por el seno, el seno partido por uno más el coseno, o la raíz cuadrada de uno menos el coseno partido por uno más el coseno— y las tres dan el mismo número. Las formas fraccionarias suelen ser las que conviene usar, porque se ahorran por completo la raíz cuadrada.
¿Por qué un ángulo negativo no se parte en un ángulo negativo?
Porque el ángulo se devuelve a su rango antes de partirlo y no después. Menos treinta grados son trescientos treinta grados, y la mitad de trescientos treinta es ciento sesenta y cinco. Partir primero daría menos quince, que es un ángulo real, pero no está en el rango que declara la salida y contradiría al resto de la página sobre cuál de los dos ángulos especulares se está hablando. La lectura es siempre la de la mitad superior de la circunferencia.
¿Por qué la página rechaza 180 grados?
Porque la mitad de ciento ochenta es noventa, y la tangente de noventa grados no tiene valor. El seno y el coseno de noventa están bien, uno y cero, pero la página da la tangente junto con ellos, y una respuesta parcial presentada como completa es peor que ninguna. El mismo rechazo cubre quinientos cuarenta grados y menos ciento ochenta, que son el mismo ángulo que ciento ochenta, y todo ángulo que esté una vuelta completa de aquellos.
¿En qué se diferencia esto de las fórmulas del ángulo doble?
Son las mismas tres relaciones leídas en direcciones opuestas. Las fórmulas del ángulo doble parten de un ángulo y dan el seno, el coseno y la tangente en su doble; la fórmula del ángulo mitad parte de un ángulo y da las tres razones en su mitad. La diferencia que importa es hacia dónde va el redondeo. Duplicar te mantiene en grados enteros, así que la lectura del doble de treinta es exactamente sesenta; partir por la mitad te saca a menudo de la tabla, así que la mitad de treinta es quince y sus lecturas son irracionales.
¿Puedo escribir el ángulo en radianes?
Sí: hay un selector de unidad junto a la casilla, y el ángulo mitad se da en grados de cualquiera de las dos formas, porque esa es la unidad que declara la salida. Un sexto de pi radianes y treinta grados son el mismo ángulo y dan los mismos cuatro números. Lo único que hay que tener en cuenta es que la unidad se aplica al ángulo que escribes y no a la mitad, que se muestra siempre en grados.

Referencias

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