Steigung-Rechner

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b = y₁ − m·x₁ ax + by = c ⇒ m = −a ÷ b, b = c ÷ b

x₁, y₁, x₂, y₂

Die beiden Punkte, gelesen wenn der Schalter auf zwei Punkten steht. Erster und zweiter Punkt sind austauschbar — beim Vertauschen kehren sich die Vorzeichen von Zähler und Nenner zugleich um, die Steigung kommt also gleich heraus. Nicht austauschbar ist dagegen, ein x in ein y-Feld zu schreiben: Das prüft nichts, und das Ergebnis ist eine Zahl, die völlig gewöhnlich aussieht.

a, b, c

Die drei Koeffizienten der Geradengleichung ax + by = c, gelesen wenn der Schalter auf der Gleichung steht. In der anderen Stellung werden sie ignoriert, ohne dass auf dem Bildschirm etwas darauf hinweist. Achtung: b ist hier der Koeffizient von y und nicht der y-Achsenabschnitt — der Abschnitt ist eine eigene Ausgabe, und die beiden zu verwechseln ist der häufigste Fehler bei dieser Gestalt.

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Die Steigung aus zwei Punkten: Anstieg geteilt durch waagerechte Strecke. Es ist dieselbe Zahl, wie weit die Punkte auch auseinanderliegen, und genau das macht eine Gerade gerade — zwei Punkte einen Kilometer auseinander oder zwei Punkte einen Millimeter auseinander ergeben dasselbe Verhältnis. Der einzige Fall, der das bricht, ist x₁ gleich x₂: Dann ist der Nenner null und die Gerade verläuft senkrecht.

m = −a ÷ b

Die Steigung aus der Geradengleichung, gewonnen durch Umstellen von ax + by = c in y = (−a ÷ b)x + (c ÷ b). Das Minuszeichen lässt sich leicht verlieren, und ohne es kommt eine Steigung mit dem richtigen Betrag und dem falschen Vorzeichen heraus — genau der Fehler, durch den eine fallende Gerade steigend aussieht. Ist b null, teilt das Umstellen durch null und die Gerade verläuft senkrecht; dieser Fall wird deshalb abgewiesen und nicht genähert.

b = y₁ − m·x₁

Der y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die Gerade die senkrechte Achse kreuzt. Er wird aus der Steigung und einem der Punkte gerechnet und nicht aus einem Diagramm abgelesen, und er wird für jede Eingabe gedruckt, auch für die, bei der er null ist. Eine Gerade durch den Ursprung hat den Abschnitt genau 0, und das lohnt sich anzusehen: Das ist der Fall, in dem die Gleichung gar kein konstantes Glied hat.

Winkel = Arkustangens(m)

Der Steigungswinkel, der Arkustangens der Steigung in Grad, der zwischen −90 und 90 liegt. Eine Steigung von 1 ergibt 45 Grad, eine von −1 ergibt −45, und eine waagerechte Gerade ergibt 0. Es ist nicht der Neigungswinkel der Koordinatengeometrie, der von 0 bis 180 läuft und für dieselbe fallende Gerade 135 melden würde; der Arkustangens steht hier, weil er sich unmittelbar und umkehrbar eindeutig aus der Steigung ergibt.

Man nimmt diese Seite, wenn aus einer Geraden, die in einer der beiden Standardgestalten gegeben ist, eine Steigung herauskommen soll, und ebenso, wenn man einer Geradengleichung Steigung und Achsenabschnitt ansehen will, ohne sie mit der Hand umzustellen — 2x + 3y = 6 sind in einem Schritt die Steigung −2/3 und der Achsenabschnitt 2. Sie ist die Seite zum Nachprüfen einer bereits gezeichneten Geraden: Eine Steigung, die mit dem falschen Vorzeichen zurückkommt, oder ein Achsenabschnitt, der nicht dazu passt, wo die Gerade die Achse kreuzt, heißt, dass die Gleichung irgendwo falsch gelesen wurde. Der Winkel ist nützlich, wenn die Steigung gegen eine physische Schräge zu vergleichen ist, es ist aber der Arkustangens und nicht der Neigungswinkel, die Spalte ist also mit diesem Unterschied im Kopf zu lesen. Geht es um ein Gefälle in Prozent statt um eine Gerade, ist eine andere Seite die richtige Adresse — dieselbe Arithmetik, anderes Vokabular, und dort wird in Prozent gerechnet. Hat die Gleichung ein x², gehört sie auf die Seite zur Mitternachtsformel, denn eine Kurve hat keine einzelne Steigung und jene Seite sucht stattdessen die Nullstellen. Ist die Steigung bekannt und die Gleichung gesucht, ist es die Punktsteigungsform, also genau diese Frage rückwärts gelesen.

1. Die Gerade durch (1, 2) und (4, 8)

   1. Die Änderung von y: 8 − 2 = 6
   2. Die Änderung von x: 4 − 1 = 3
   3. Die Steigung: 6 ÷ 3 = 2
   4. Der Achsenabschnitt: 2 − 2 × 1 = 0, die Gerade läuft also durch den Ursprung
   5. Der Winkel: Arkustangens(2) = 63,4349 Grad

   Der Zwei-Punkte-Fall, in dem jede Antwort eine runde Zahl ist außer dem Winkel — und das ist der Normalfall, denn der Arkustangens einer rationalen Steigung ist fast nie eine ganze Gradzahl. Der Achsenabschnitt von genau 0 lohnt einen Moment: Er sagt, dass die Gleichung dieser Geraden y = 2x lautet, ohne irgendetwas dahinter, und wer erwartet hatte, der Achsenabschnitt sei ein sichtbares Stück über der Achse, sieht hier eine Gerade, die genau im Ursprung kreuzt.

2. Die Gerade durch (0, 3) und (4, 0)

   1. Die Änderung von y: 0 − 3 = −3
   2. Die Änderung von x: 4 − 0 = 4
   3. Die Steigung: −3 ÷ 4 = −0,75, negativ, weil die Gerade nach rechts fällt
   4. Der Achsenabschnitt: 3 − (−0,75 × 0) = 3, im Diagramm der Punkt (0, 3)
   5. Der Winkel: Arkustangens(−0,75) = −36,8699 Grad

   Die negative Steigung und der Fall, in dem es auf die Winkelkonvention ankommt. Diese Gerade fällt nach rechts, der Winkel ist also negativ — ein Geometriebuch würde für dieselbe Gerade einen Neigungswinkel von 143,13 Grad angeben, und beide Zahlen beschreiben eine Gerade. Der Achsenabschnitt ist hier der am leichtesten nachzuprüfende, weil der erste Punkt ein x von 0 hat und damit genau auf der senkrechten Achse liegt.

3. Die Gerade 2x + 3y = 6

   1. In y = mx + b umstellen: 3y = 6 − 2x, also y = 2 − (2 ÷ 3)x
   2. Die Steigung ist −a ÷ b = −2 ÷ 3 = −0,666667
   3. Der Achsenabschnitt ist c ÷ b = 6 ÷ 3 = 2
   4. Der Winkel: Arkustangens(−0,666667) = −33,6901 Grad
   5. Die Probe: bei x = 0 lautet die Gleichung 3y = 6, also y = 2, und das ist der Achsenabschnitt

   Der Gleichungsmodus und der Fall, der zeigt, warum in der Formel ein Minuszeichen steht. Lässt man es weg, kommt 0,666667 statt −0,666667 heraus — dieselbe Steilheit, steigend statt fallend, und genau solche Fehler fängt eine Probe an der ursprünglichen Gleichung ab, während ein Blick auf die Zahl sie nicht bemerkt. Den Achsenabschnitt kann man bestätigen, indem man x in der Gleichung zu null setzt, statt der Formel zu vertrauen.

4. Die Gerade x − y = 4

   1. Umstellen: −y = 4 − x, also y = x − 4
   2. Die Steigung ist −a ÷ b = −1 ÷ (−1) = 1
   3. Der Achsenabschnitt ist c ÷ b = 4 ÷ (−1) = −4
   4. Der Winkel: Arkustangens(1) = genau 45 Grad

   Ein negatives b, und hier heben sich die beiden Minuszeichen der Formeln auf, sodass die Antworten positiv herauskommen. Es ist außerdem eine der wenigen Geraden, deren Winkel eine ganze Gradzahl ist: Eine Steigung von 1 ergibt 45 Grad und eine von −1 ergibt −45, deshalb stehen diese beiden Zeilen in der Referenztabelle. Der Achsenabschnitt von −4 sagt, dass die Gerade unterhalb des Ursprungs kreuzt — wer angenommen hätte, ein negativer Koeffizient bedeute eine negative Steigung, läge hier genau verkehrt.

5. Die waagerechte Gerade durch (2, 5) und (6, 5)

   1. Die Änderung von y: 5 − 5 = 0
   2. Die Änderung von x: 6 − 2 = 4
   3. Die Steigung: 0 ÷ 4 = 0 — eine waagerechte Gerade, und ihre Steigung ist null und nicht undefiniert
   4. Der Achsenabschnitt: 5 − 0 × 2 = 5, die Höhe, auf der die Gerade liegt
   5. Der Winkel: Arkustangens(0) = 0 Grad

   Die Steigung null, also der Fall, der am häufigsten mit der senkrechten Geraden verwechselt wird, die diese Seite abweist. Eine waagerechte Gerade hat die Steigung genau null — sie steigt nicht und fällt nicht —, während eine senkrechte überhaupt keine Steigung hat; der Unterschied ist, ob die Null im Zähler oder im Nenner landet. Jede Ausgabe ist hier eine glatte Zahl, das macht diesen Fall zum leichtesten, den man gegen eine Skizze prüft.

Die beiden Gruppen von Eingabefeldern stehen beide auf dem Bildschirm, und der Schalter entscheidet, welche gelesen wird. Die nicht gelesene Gruppe wird nicht ausgegraut — das kann die Seite nicht —, Zahlen in der falschen Gruppe werden also stillschweigend ignoriert und das Ergebnis bewegt sich nicht, wenn man sie ändert. Das ist das einzige Verhalten auf dieser Seite, das man dem Bildschirm nicht ansieht, und die einzige Abhilfe ist, den Schalter anzusehen: Die Felder für zwei Punkte zählen, wenn dort zwei Punkte steht, und die Felder a, b und c zählen, wenn dort Geradengleichung steht. Senkrechte Geraden werden in beiden Modi abgewiesen und nicht als unendliche Steigung gemeldet, weil eine Unendlichkeit keine brauchbare Zahl ist und eine senkrechte Gerade tatsächlich keine Steigung hat; eine waagerechte Gerade ist ein ganz anderer Fall und kommt als Steigung von genau null zurück. Der Winkel ist der Arkustangens der Steigung und läuft von −90 bis 90 Grad, nicht der Neigungswinkel von 0 bis 180 aus der Koordinatengeometrie — dieselbe fallende Gerade ist hier −45 und dort 135, und wer die beiden verwechselt, trägt einen Vorzeichenfehler in alles hinein, was aus dem Winkel gerechnet wird. Die Steigung ist eine reine Zahl ohne Einheit, und das ist nur sinnvoll, wenn beide Achsen in derselben Größe gemessen sind: Eine Steigung von 5 zwischen einer Strecke in Metern und einer Zeit in Sekunden sind 5 Meter je Sekunde, und die Seite sagt das nicht. Die Koordinaten sind auf einen Betrag von einer Million begrenzt, was ein Anzeigebereich ist. Stufen gibt es keine: Wie steil eine Gerade ist, hat keinen verbindlichen Schwellenwert, und das Vorzeichen der Steigung sagt bereits, ob sie steigt oder fällt. Und schließlich behandelt die Seite nur Geraden — eine Kurve hat an jeder Stelle eine andere Steigung, und eine Ableitung rechnet hier nichts aus.

Warum ändert sich die Antwort manchmal nicht, wenn ich ein Feld ändere?

Weil der Schalter auf der anderen Gruppe steht. Beide Feldgruppen sind immer auf dem Bildschirm, und es wird jeweils nur eine gelesen: Steht der Schalter auf zwei Punkten, werden die Felder a, b und c vollständig ignoriert, steht er auf der Gleichung, die vier Koordinatenfelder. Die nicht benutzte Gruppe wird nicht ausgegraut, der Schalter ist also der einzige Hinweis darauf, welche Zahlen zählen — man sieht zuerst dort nach, wenn ein Ergebnis festhängt.

Wie groß ist die Steigung einer senkrechten Geraden?

Sie hat keine, und diese Seite weist diese Eingabe ab, statt unendlich zu drucken. Die Steigung ist die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x, und bei einer senkrechten Geraden ist die Änderung von x null, die Rechnung verlangt also eine Division durch null. Unendlich ist keine Zahl, die man in den nächsten Schritt mitnehmen kann, und von einer unendlichen Steigung zu sprechen würde eine sehr große Zahl nahelegen statt gar keine. Die waagerechte Gerade ist der umgekehrte Fall: Ihre Steigung ist genau null.

Wie bekomme ich die Steigung aus einer Gleichung?

Man stellt ax + by = c in y = mx + b um. Das ergibt die Steigung −a ÷ b und den Achsenabschnitt c ÷ b, und genau das rechnet die Seite, wenn der Schalter auf der Gleichung steht. Das Vorzeichen ist wichtiger, als es aussieht: Für 2x + 3y = 6 ist die Steigung −2/3, und ohne das Minus entsteht eine Gerade mit derselben Steilheit, die in die andere Richtung läuft.

Worin unterscheiden sich Steigungswinkel und Neigungswinkel?

Der Steigungswinkel ist der Arkustangens der Steigung und liegt zwischen −90 und 90 Grad; der Neigungswinkel der Koordinatengeometrie liegt zwischen 0 und 180. Bei einer Geraden, die nach rechts fällt, unterscheiden sie sich um 180 Grad: Diese Seite meldet −45 für eine Steigung von −1, während der Neigungswinkel derselben Geraden 135 beträgt. Die Seite verwendet den Arkustangens, weil er unmittelbar und umkehrbar eindeutig aus der Steigung folgt, ohne Zusatzregel für negative Steigungen.

Hat die Steigung eine Einheit?

Für sich genommen nicht. Eine Steigung ist das Verhältnis zweier Änderungen, also eine reine Zahl, und sie wird erst dann zu »so viel je Einheit«, wenn beide Achsen in derselben Größe gemessen sind — Meter je Achse ergeben eine dimensionslose Zahl, Meter gegen Sekunden ergeben Meter je Sekunde. Die Seite fragt das nicht ab, sie kann es also weder umrechnen noch beschriften; sind die Achsen in verschiedenen Einheiten, ist die Steigung eine Rate, und die Einheit ist das Einzige, was die Seite nicht liefern kann.

Kann ich damit die Gleichung einer Geraden finden?

Nein — diese Seite geht den umgekehrten Weg. Sie nimmt eine bereits beschriebene Gerade, entweder durch zwei Punkte oder durch eine Gleichung, und meldet deren Steigung und Achsenabschnitt. Von einer Steigung und einem Punkt zur Gleichung zu kommen ist eine andere Aufgabe, und dafür ist die Seite zur Punktsteigungsform da. Was diese Seite unterwegs liefert, ist der Achsenabschnitt, und Steigung plus Achsenabschnitt ist bereits die Hauptform der Gleichung, wenn Sie sie selbst aufschreiben wollen.

• Slope — the definition of the slope of a line as rise over run, with the two-point and equation forms this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the general equation ax + by = c and its rearrangement into slope-intercept form, including the vertical case where b is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Tangent — the arctangent used for the angle column, and the range from −90 to 90 degrees that distinguishes it from the inclination angle — Wolfram MathWorld (United States)
• Steigungswinkel — wie der Winkel aus der Steigung über den Arkustangens gewonnen wird, mit Beispielen — Mathebibel