Punktsteigungsform-Rechner

y − y₁ = m(x − x₁) Hauptform: y = mx + (y₁ − m·x₁)

m

Die Steigung: wie steil die Gerade ansteigt oder abfällt, als vorzeichenbehaftete Zahl. Sie ist der Koeffizient vor der Klammer auf der rechten Seite und nach dem Umstellen der Koeffizient von x. Eine Steigung von 0 macht die Gerade waagerecht; das ist der Fall, in dem der Rechner eine schlichte 0 schreibt statt einer Klammer, die mit nichts multipliziert wird.

x₁, y₁

Der eine bekannte Punkt. Mehr braucht es hier nicht: Die Steigung legt die Richtung fest, der Punkt die Lage, und beides zusammen bestimmt die Gerade. Die Indizes sind die der Formel und keine Nummern einer Liste — einen zweiten Punkt gibt es auf dieser Seite nicht.

y-Achsenabschnitt

Die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, also die Konstante, die nach dem Umstellen übrig bleibt. Sie fällt aus denselben drei Eingaben: Die Gerade läuft durch den gegebenen Punkt, ihre Höhe bei x gleich null ist also die Höhe dieses Punktes minus der Anstieg, den die Steigung auf dem Weg dorthin erzeugt hätte.

x, y

Die beiden Variablen, die die Gleichung verbindet. Keine von beiden bekommt einen Wert: Die Antwort ist eine Regel, die für jeden Punkt der Geraden zugleich gilt, und deshalb ist die Hauptzeile Text und keine einzelne Zahl.

Man nimmt sie, um eine Gerade aufzuschreiben, wenn ihre Steilheit und ein Punkt auf ihr bekannt sind: aus einer Rate und einem Startwert, aus der Steigung einer Tangente an einer bekannten Stelle, oder aus zwei Punkten, nachdem die Steigung zwischen ihnen ausgerechnet wurde. Der umgekehrte Weg von zwei Punkten zur Steigung gehört auf die Steigungsseite; eine fertige Gleichung zu benutzen, um einen Wert weiter vorn auf der Geraden vorherzusagen, ist die Aufgabe der Interpolationsseite.

1. Steigung 2 durch den Punkt (1, 3)

   1. Steigung und Punkt in die Vorlage einsetzen: y − y₁ = m(x − x₁)
   2. Die linke Seite wird zu y − 3, die Klammer zu (x − 1)
   3. Die Punktsteigungsform lautet y − 3 = 2(x − 1)
   4. Die Klammer ausmultiplizieren: 2(x − 1) = 2x − 2
   5. Die −3 auf die andere Seite bringen: y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
   6. Die Hauptform ist y = 2x + 1, der y-Achsenabschnitt also 1

   Der voreingestellte Fall und der, den man gegen die Eingabe liest: Die beiden Zahlen in den Klammern sind die eingegebenen Koordinaten, nur durch die Subtraktion im Vorzeichen gedreht. Genau dafür ist die Punktsteigungsform da — sie hält den gegebenen Punkt lesbar, statt ihn in eine Konstante hinein zu falten.

2. Steigung −1, wo die Klammer stehen bleiben muss

   1. Die Vorlage ergibt y − 5 = m(x − 2)
   2. Eine Steigung von −1 wird als bloßes Minuszeichen geschrieben und nicht als −1, genauso wie ein Koeffizient von 1 weggelassen wird
   3. Die Klammer bleibt stehen: −x − 2 statt −(x − 2) wäre eine andere Gerade
   4. Die Punktsteigungsform lautet y − 5 = −(x − 2)
   5. Ausmultiplizieren: −(x − 2) = −x + 2, dann y = −x + 2 + 5
   6. Die Hauptform ist y = −x + 7 und der y-Achsenabschnitt 7

   Die Zeile, die am ehesten schiefgeht. Eine Steigung von 1 und eine von −1 werden beide ohne sichtbare Zahl geschrieben, aber das Minuszeichen muss vor der Klammer stehen bleiben: Lässt man die Klammer weg, wird aus −(x − 2) die Zeichenkette −x − 2, ein Vorzeichenfehler mitten in einer ansonsten völlig unauffälligen Gleichung.

3. Eine Steigung als Bruch

   1. Eine Steigung von 0,5 bleibt der exakte Bruch 1/2 und wird nicht als Dezimalzahl geschrieben
   2. Die Vorlage ergibt y − 1 = (1/2)(x − 4)
   3. Der Bruch wird eingeklammert, weil 1/2(x − 4) als eins geteilt durch das Doppelte der Klammer gelesen würde
   4. Dieselbe Klammerung wiederholt sich in der Hauptform: y = (1/2)x − 1
   5. Der y-Achsenabschnitt ist −1

   Der Fall, der zwei Schreibregeln auf einmal entscheidet. Brüche bleiben exakt, damit die Gleichung eine Gleichung bleibt und keine Näherung, und ein Bruch als Koeffizient wird eingeklammert, damit er an der Klammer hängen bleibt und nicht an der Variablen. Beide Regeln sind dieselben, die die übrigen Seiten dieser Gruppe für dieselbe Art von Zahl verwenden.

Die Steigung und beide Koordinaten sind auf einen Betrag von einer Million begrenzt. Eingaben als Bruch werden als Bruch gedruckt, wenn der Nenner aufgeht und höchstens 1.000 beträgt, und sonst mit sechs Nachkommastellen — 0,5 kommt also als 1/2 heraus, während eine Dezimalzahl mit langer Periode auf eine Rundung zurückfällt. Steigung und Koordinaten werden nur als Dezimalzahl angenommen; die Seite nimmt keinen als Text eingetippten Bruch entgegen, 1/3 muss also als die Dezimalzahl eingegeben werden, auf die er gerundet wird. Eine senkrechte Gerade lässt sich in dieser Form überhaupt nicht schreiben: Ihre Steigung ist nicht definiert, und kein Wert von m erzeugt sie, eine senkrechte Gerade durch den gegebenen Punkt ist also schlicht keine der Geraden, die diese Seite beschreiben kann. Was die Seite nicht tut, ist die Steigung aus zwei Punkten für Sie zu ermitteln oder Ihnen zu sagen, wo die Gerade die x-Achse schneidet.

Was ist die Punktsteigungsform?

Eine Art, eine Geradengleichung zu schreiben, die einen bekannten Punkt der Geraden sichtbar lässt: y minus der Höhe des Punktes ist gleich der Steigung mal x minus der Lage des Punktes. Jeder Punkt und jede Steigung lassen sich so schreiben, und wer die Gleichung liest, sieht zurück, welcher Punkt und welche Steigung sie erzeugt haben.

Wozu ist sie gut, wenn die Hauptform doch einfacher ist?

Weil sie unmittelbar aus dem gebaut ist, was bekannt ist. Die Hauptform ist bequemer zum Zeichnen, aber man bekommt sie erst durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen, und jeder Rechenfehler versteckt sich danach in einer Konstante. Die Punktsteigungsform lässt die gegebenen Zahlen dort stehen, wo sie eingegeben wurden, sie ist also mit einem Blick nachprüfbar.

Was sagt mir der y-Achsenabschnitt?

Wo die Gerade auf die y-Achse trifft, also ihre Höhe bei x gleich null. Er folgt aus denselben drei Eingaben: vom bekannten Punkt aus den Anstieg zurücknehmen, den die Steigung auf dem Weg von der Achse dorthin erzeugt hätte. Liegt der bekannte Punkt schon auf der Achse, ist der Abschnitt einfach seine Höhe.

Warum wird eine Steigung von 1 ohne Zahl geschrieben?

Aus demselben Grund, aus dem ein Koeffizient von 1 überall sonst weggelassen wird: 1(x − 2) fügt ein Zeichen hinzu, das keine Information trägt. Eine Steigung von −1 behält ihr Minuszeichen, lässt die Ziffer aber ebenfalls weg, und genau dort muss die Klammer stehen bleiben — das Minus gehört vor sie, und die Klammer zu entfernen ändert die Gerade.

Warum werden Steigungen als Bruch eingeklammert?

Damit der Bruch an der Klammer hängen bleibt und nicht am x. Ohne Klammern liest sich 1/2(x − 4) als eins geteilt durch das Doppelte der Klammer, und das ist ein anderer Ausdruck. Mit Klammern steht (1/2)(x − 4) da, und die Reihenfolge der Multiplikation ist eindeutig.

Lässt sich eine senkrechte Gerade so schreiben?

Nein. Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung — ihr Anstieg ist real, während ihre waagerechte Strecke null ist —, es gibt also keinen Wert von m, der sie erzeugt, und die Punktsteigungsform kann sie nicht beschreiben. Eine solche Gerade schreibt man stattdessen als x gleich einer Konstanten, und diese Gestalt liegt außerhalb dessen, was diese Seite behandelt.

• Point-Slope Form — the arrangement this page starts from, and the reason a slope and a single point are enough — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear Equation — the general form the two outputs are both special cases of, and the standard form the answer can be rearranged into — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — the number that fixes the line's direction, and the quantity that has no value at all for a vertical line — Wolfram MathWorld (United States)
• Punktsteigungsform — die deutsche Darstellung der Geradengleichung aus einem Punkt und der Steigung, mit Beispielen — Frustfrei-Lernen.de