Mittlere-Änderungsrate-Rechner

mittlere Änderungsrate = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

x₁

Die Eingabe am ersten Endpunkt des Intervalls — der frühere Wert dessen, was die Funktion entgegennimmt, im Geschwindigkeitsfall die Zeit, im geometrischen Fall die Lage. Sie ist durch nichts eingeschränkt und muss nicht kleiner als x₂ sein: Die Endpunkte dürfen in beliebiger Reihenfolge angegeben werden.

x₂

Die Eingabe am zweiten Endpunkt. Sie darf nicht gleich x₁ sein. Wäre sie es, stünde im Nenner des Quotienten eine Null, und es gäbe nichts zu mitteln: Die Funktion müsste sich ändern, ohne dass sich ihre Eingabe ändert, und das ist ein senkrechter Abschnitt und keine Rate.

y₁, y₂

Die Ausgaben der Funktion an diesen beiden Eingaben. Ob die Funktion eine Formel ist, eine Tabelle von Messwerten oder eine Kurve auf dem Bildschirm, gebraucht werden nur die beiden Werte — und die Reihenfolge zählt für die beiden Änderungsspalten, auch wenn sie sich aus dem Quotienten herauskürzt.

Δy ÷ Δx

Die mittlere Änderungsrate selbst: die gesamte Änderung der Ausgabe geteilt durch die Länge des Intervalls, über das sie stattfand. In der Delta-Schreibweise steht der griechische Buchstabe für eine Differenz, Δy ist also die Änderung von y und Δx die Änderung von x. Den Ausdruck als Angabe pro Einheit zu lesen ist der Kern: Die Antwort sagt, wie weit sich y für jede einzelne Einheit von x bewegt hat.

(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Dieselbe Größe ausgeschrieben; in der deutschen Schreibweise ist das der Differenzenquotient. Er stimmt zahlenmäßig mit der Steigung der Geraden durch die beiden Punkte überein, weshalb beide Rechner zu verschiedenen Fragen dieselbe Antwort geben: Die Steigungs-Seite fragt, wie steil eine Gerade ist, diese Seite fragt, wie schnell sich eine Funktion über ein Intervall bewegt hat. Nur die zweite Lesart überlebt in der Differentialrechnung, wo das Intervall immer schmaler genommen wird.

1. Die mittlere Änderungsrate von x² im Intervall von 1 bis 3

   1. Das Intervall ist zwei Einheiten lang: Δx = 3 − 1 = 2
   2. Die Ausgabe hat sich um acht geändert: Δy = 9 − 1 = 8
   3. Teilen: 8 ÷ 2 = 4
   4. Die Funktion hat also im Durchschnitt 4 Einheiten Ausgabe je Einheit Eingabe gewonnen

   Bei der Quadratfunktion folgt die Antwort einer Regel, die man kennen sollte: In einem Intervall von a bis b ist ihre mittlere Änderungsrate immer a + b, hier 1 + 3 = 4. Die Regel gilt, weil sich b² minus a² als (b − a)(b + a) zerlegen lässt und sich b − a mit dem Nenner herauskürzt. Deshalb ist die Referenztabelle unten auch aus genau dieser Funktion gebaut.

2. Eine Durchschnittsgeschwindigkeit über drei Sekunden

   1. Die Eingabe ist die Zeit in Sekunden, von 0 bis 3
   2. Die Ausgabe ist die Position, die sich von 10 auf 70 bewegt hat
   3. Die Position hat sich in 3 Sekunden um 60 geändert: 60 ÷ 3 = 20
   4. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 20 Längeneinheiten je Sekunde

   Der Fall, der die Größe greifbar macht: Trägt man die Position nach oben und die Zeit nach rechts auf, so ist die mittlere Änderungsrate die Durchschnittsgeschwindigkeit. Sie ist im echten Sinn ein Mittel — die tatsächliche Geschwindigkeit kann dazwischen geschwankt haben, und dieser Quotient sagt nichts über die Mitte des Intervalls, sondern nur über die beiden Endpunkte.

3. Die beiden Endpunkte vertauscht

   1. Dieselben zwei Punkte wie im ersten Beispiel, nur in der anderen Reihenfolge notiert
   2. Δx = 1 − 3 = −2 und Δy = 1 − 9 = −8
   3. Der Quotient ist −8 ÷ −2 = 4, derselbe Wert wie vorher
   4. Beide Änderungsspalten haben das Vorzeichen gewechselt, die Rate nicht

   Wer neben einer positiven Rate ein negatives Δx sieht, hat keinen Fehler gefunden. Der Quotient ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner zugleich das Vorzeichen wechseln; die mittlere Änderungsrate hängt also nicht davon ab, welcher Endpunkt zuerst genannt wird. Die beiden Änderungsspalten dagegen schon, denn sie beschreiben eine Richtung von einem Punkt zum anderen. Das Hauptresultat beantwortet, wie schnell, die Änderungsspalten beantworten, von wo nach wo.

Die beiden Eingaben müssen sich unterscheiden. Ist x₂ gleich x₁, hat der Quotient eine Null im Nenner, und die Seite weist die Eingabe ab, statt unendlich zurückzugeben: Ein senkrechter Abschnitt hat keine Änderungsrate pro Einheit von x, weil sich x überhaupt nicht ändert. Die Endpunkte dürfen in beliebiger Reihenfolge stehen, und die mittlere Änderungsrate ist beide Male dieselbe; die beiden Änderungsspalten tragen jedoch ein Vorzeichen und wechseln es mit der Reihenfolge. Die Seite nennt eine Rate über ein Intervall und niemals eine Rate an einer Stelle — die momentane Änderungsrate ist ein Grenzwert, den diese Seite nicht bildet, und für ihn müsste man die Funktion kennen statt zweier ihrer Werte. Jede Koordinate ist auf einen Betrag von einer Billion begrenzt; darüber verlöre die Subtraktion an Genauigkeit, und die angezeigten sechs Nachkommastellen wären irreführend. Das Ergebnis wird auf sechs Nachkommastellen gerundet, gerechnet wird mit voller Genauigkeit. Einen Winkel gibt die Seite nicht aus: Ein Winkel ist eine Eigenschaft einer Geraden, und eine Funktion über einem Intervall hat keinen — das ist einer der Unterschiede zur Steigungs-Seite, auf die sie verweist.

Was ist die mittlere Änderungsrate?

Sie ist die gesamte Änderung der Ausgabe einer Funktion über ein Intervall, geteilt durch die Länge dieses Intervalls. Bewegt sich eine Position in drei Sekunden von 10 auf 70, so ist die mittlere Änderungsrate 60 ÷ 3, also 20 Einheiten je Sekunde. Das Wort mittlere leistet hier echte Arbeit: Die Größe fasst das ganze Intervall in einer einzigen Zahl zusammen und sagt nichts darüber, wie sich die Funktion darin verhalten hat.

Worin unterscheidet sich das von der Steigung?

Die Rechnung ist dieselbe — beide teilen die Änderung der senkrechten Größe durch die Änderung der waagerechten —, die Frage ist eine andere. Die Steigung beschreibt, wie steil eine Gerade ist, also eine Eigenschaft der Geraden selbst; der Differenzenquotient und mit ihm die mittlere Änderungsrate beschreiben, wie schnell sich eine Funktion zwischen zwei Punkten bewegt hat, und das ist die Größe, die ihren Sinn behält, wenn man das Intervall gegen null schrumpfen lässt. Nur eine der beiden Vorstellungen überlebt in der Differentialrechnung.

Warum kommt dasselbe heraus, wenn ich die Punkte vertausche?

Weil sich der Quotient nicht ändert, wenn Zähler und Nenner zugleich das Vorzeichen wechseln, und das Vertauschen der Endpunkte kippt beide auf einmal. Die beiden Änderungsspalten kippen dagegen sehr wohl, denn sie halten eine Richtung vom ersten zum zweiten Punkt fest. Die Rate beantwortet also, wie schnell, und die Änderungsspalten beantworten, von wo nach wo — beides ist gleichzeitig richtig.

Kann die mittlere Änderungsrate negativ sein?

Ja, und das bedeutet, dass die Ausgabe über dieses Intervall gefallen ist, während die Eingabe gestiegen ist. Im Intervall von −3 bis −1 fällt die Quadratfunktion von 9 auf 1, ihre mittlere Änderungsrate ist dort also −4. Ein negatives Ergebnis heißt nicht, dass etwas falsch eingetippt wurde; es ist die Richtung der Änderung, und deshalb stehen die beiden Änderungsspalten neben dem Quotienten.

Was passiert, wenn die beiden Eingaben gleich sind?

Die Seite lehnt die Rechnung ab. Mit x₂ gleich x₁ ist der Nenner null, es gibt also kein Intervall zum Mitteln — die Funktion müsste sich ändern, ohne dass sich ihre Eingabe ändert. Das ist ein senkrechter Abschnitt, und der hat keine Rate pro Einheit von x. Die Seite meldet die Ablehnung, statt unendlich auszugeben, denn unendlich ist keine Rate.

Ist die mittlere Änderungsrate dasselbe wie die momentane?

Nur wenn die Funktion eine Gerade ist, wo die Rate überall gleich ist und beide zusammenfallen. Sonst beschreibt die mittlere das Intervall als Ganzes und die momentane einen einzelnen Eingabewert. Das Intervall immer schmaler zu nehmen verwandelt die mittlere in die momentane Änderungsrate, und dieser Grenzwert ist die Ableitung — ein Schritt, den diese Seite nicht geht, weil sie mit zwei Werten arbeitet und nicht mit der Formel der Funktion.

• Average Rate of Change — the definition over an interval, the secant line reading, and the passage to the instantaneous rate — Wolfram MathWorld (United States)
• Secant Line — the line through the two endpoints, whose slope is the number this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Differenzenquotient — die deutsche Fassung derselben Größe, mit Herleitung und dem Übergang zum Differentialquotienten — Mathebibel (Deutschland)