Exponentielles-Wachstum-Rechner

N = N₀ × (1 + r)^t Wachstumsfaktor = 1 + r Gesamtänderung = ((1 + r)^t − 1) × 100%

N₀

Die Anfangsmenge, also das, was vor dem Wachstum da war. Sie muss positiv sein, weil die Prozentspalten durch sie teilen und eine Anfangsmenge von null die Gesamtänderung zu einer Division von null durch null machen würde statt zu einer großen Zahl. Sie trägt keine Einheit: Dieselbe Rechnung deckt Menschen, Geld, Bakterien und Indexpunkte ab

r

Die Wachstumsrate je Periode, in Prozent. Sie wird als 5 für fünf Prozent eingegeben und nicht als 0,05, und sie darf negativ sein — eine Rate von −20 Prozent bedeutet, dass die Menge je Periode ein Fünftel ihrer selbst verliert, und das ist eine Abnahme und keine getrennte Rechnung. Sie kann nicht unter −100 Prozent fallen: Bei genau −100 erreicht die Menge null, und darunter wird der Faktor je Periode negativ und das Vorzeichen springt in jeder Periode um, was keine Beschreibung einer Menge mehr ist

t

Die Anzahl der Perioden. Was als eine Periode zählt, entscheiden Sie — Jahre, Monate, Tage, Generationen —, solange die Rate für dieselbe Einheit angegeben ist. Sie darf gebrochen sein: Eine halbe Periode ist eine ganz gewöhnliche Eingabe und multipliziert mit der Quadratwurzel des Faktors der ganzen Periode statt mit der Hälfte davon. Negative Werte werden abgelehnt, denn rückwärts auf eine Menge vor dem Start zu rechnen ist eine andere Frage als die, die dieses Panel beantwortet

(1 + r)^t

Der Gesamtfaktor, mit dem die Menge bis zum Ende multipliziert wurde. Das ist der Teil, der das Wachstum zu einem exponentiellen macht und nicht zu einem additiven: Jede Periode multipliziert das Ganze, das schon da ist, der Zuwachs in der zehnten Periode ist also nicht der Zuwachs der ersten, sondern viel größer. Es ist zugleich genau die Operation des Potenz-Rechners — die Basis ist eins plus die Rate, und der Exponent ist die Anzahl der Perioden

1 + r

Der Wachstumsfaktor je Periode, der mittlere Wert. Bei einer Rate von 5 Prozent ist er 1,05, die Menge wird also in jeder Periode mit etwas mehr als eins multipliziert. Er steht getrennt da, weil er die Zahl ist, zu der man greift, wenn sich die Frage ändert: ein Faktor von 1,05 über vier Perioden, dieselbe Rate verdoppelt auf 10 Prozent oder eine andere Anfangsmenge — alles ist nur noch eine Multiplikation entfernt, sobald er sichtbar ist

((1 + r)^t − 1) × 100%

Die Gesamtänderung über die ganze Strecke, als Prozentsatz dessen, womit sie begonnen hat. Eine Rate von 5 Prozent über zehn Perioden ergibt 62,889 Prozent statt 50, weil die fünf Prozent jeder Periode von einer größeren Menge genommen werden als in der Periode davor. Das Abziehen der eins ist das, was einen Faktor in eine Änderung verwandelt: Ein Faktor von 1,6289 ist eine Änderung von 62,89 Prozent, und ein Faktor unter eins ergibt eine negative Änderung — so wird die Abnahme berichtet

r = −100%

Die untere Grenze und die einzige Rate, die die Menge auf genau null bringt. Sie wird angenommen, weil sie der Grenzfall einer schrumpfenden Menge ist: Bei −100 Prozent ist der Wachstumsfaktor null, und jede Periode nach der ersten multipliziert null mit null. Darunter ist der Faktor negativ, die Menge wechselt in jeder Periode das Vorzeichen, und das Modell beschreibt nichts Gegenständliches mehr — deshalb wird diese Eingabe abgelehnt statt gerechnet

Nehmen Sie die Seite immer dann, wenn eine Größe wiederholt mit demselben Faktor multipliziert wird und Sie wissen wollen, wo sie landet oder was die ganze Strecke ergeben hat: Zinseszins auf einem Guthaben, eine Bevölkerung mit fester Wachstumsrate, ein Preisindex über Jahrzehnte, eine Bakterienkultur mit regelmäßiger Verdopplung, ein Markt, der jedes Jahr um einen festen Prozentsatz schrumpft. Die Spalte mit der Gesamtänderung ist die, die man im Text zitiert — »eine Zunahme von 62,9 Prozent über zehn Perioden« sagt den meisten Lesern mehr als die Endmenge, und sie ist genau die Zahl, die die Wachstumsrate allein nicht liefert. Es ist außerdem die Seite, die eine Rate in einen Faktor verwandelt, und das ist der Schritt, den jede Frage zum Zinseszins braucht, bevor sie sich überhaupt rechnen lässt. Greifen Sie zur Seite zur Halbwertszeit, wenn die Größe durch Halbieren abnimmt und die Rate als Zeit statt als Prozentwert angegeben ist — jene Seite nimmt die Halbwertszeit direkt entgegen und gibt die Anzahl der Schritte mit aus. Greifen Sie zum Potenz-Rechner, wenn die Basis eine Zahl ist, die Sie schon haben, und nicht eine aus einer Rate abgeleitete, denn das ist dieselbe Operation ohne den Prozentwert davor. Greifen Sie zum Zinseszins-Rechner, wenn die Multiplikation nach einem Zeitplan geschieht und es um Einzahlungen oder eine Zinsperiode geht, denn das sind geldtypische Dimensionen, die diese Seite nicht mitbringt.

1. 100 wächst mit 5 Prozent über 10 Perioden

   1. Der Wachstumsfaktor: 1 + 0,05 = 1,05
   2. Der Gesamtfaktor: 1,05¹⁰ = 1,628894627…
   3. Die Endmenge: 100 × 1,628894627… = 162,889463
   4. Die Gesamtänderung: (1,628894627… − 1) × 100 = 62,889463 Prozent

   Der Standardfall und der Beleg dafür, warum es die Spalte mit der Gesamtänderung überhaupt gibt. Zehn Perioden mit fünf Prozent klingt nach fünfzig, und das Panel sagt 62,89 — der Überschuss kommt daher, dass die fünf Prozent jeder Periode von einer größeren Menge genommen werden als in der Periode davor. Wer allein die Endmenge zitiert, hat den Kontostand genannt, aber nicht die Geschichte; der Prozentsatz ist der Teil, der weitererzählt wird.

2. 100 schrumpft mit 20 Prozent über 3 Perioden

   1. Der Wachstumsfaktor: 1 + (−0,20) = 0,8
   2. Der Gesamtfaktor: 0,8³ = 0,512
   3. Die Endmenge: 100 × 0,512 = 51,2
   4. Die Gesamtänderung: (0,512 − 1) × 100 = −48,8 Prozent

   Dieselbe Seite rechnet die Abnahme, und genau das ist der Grund, eine negative Rate anzunehmen statt ein zweites Werkzeug zu bauen. Drei Perioden mit zwanzig Prozent sind ein Verlust von 48,8 Prozent und nicht von 60, und zwar aus demselben Grund, aus dem der Wachstumsfall über das Ziel hinausschießt: Jede Periode nimmt ihr Fünftel von dem, was übrig ist. Ein Wachstumsfaktor unter eins ist zugleich das deutlichste Zeichen dafür, dass die Vorzeichenvereinbarung greift.

3. 100 verdoppelt sich in jeder Periode, fünf Perioden lang

   1. Eine Rate von 100 Prozent bedeutet, dass die Menge um ebenso viel wächst, wie sie schon ist, der Faktor ist also 2
   2. Der Gesamtfaktor: 2⁵ = 32
   3. Die Endmenge: 100 × 32 = 3.200
   4. Die Gesamtänderung: (32 − 1) × 100 = 3.100 Prozent

   Die Verdopplung, also der Fall, in dem die Rechnung leicht genug für den Kopf ist und die Prozentspalte es nicht ist. Die Menge wurde mit 32 multipliziert, und die Seite berichtet das als eine Zunahme von 3.100 Prozent — eine Zahl, die neben »32-mal so viel« absurd klingt und genau dieselbe Aussage ist. Hier sieht man am klarsten, warum die letzte Spalte die eins abzieht, bevor sie das Ergebnis eine Änderung nennt.

4. 100 wächst mit 5 Prozent über eine halbe Periode

   1. Der Wachstumsfaktor ist weiterhin 1,05, denn er ist pro Periode definiert
   2. Der Gesamtfaktor: 1,05^0,5 = 1,024695076…, also die Quadratwurzel aus 1,05
   3. Die Endmenge: 100 × 1,024695076… = 102,469508
   4. Die Gesamtänderung: 2,469508 Prozent

   Die gebrochene Periode und der Fall, der die beiden Werte am klarsten trennt. Der Wachstumsfaktor bleibt bei 1,05, weil er eine Größe je Periode ist und eine halbe Periode daran nichts ändert; der Gesamtfaktor ist seine Quadratwurzel, eine halbe Periode mit fünf Prozent Wachstum sind also 2,47 Prozent und nicht 2,5. Die Rate zu halbieren wäre falsch, und diese Zeile ist der Beleg dafür.

5. 2,5 wächst mit 12 Prozent über vier Perioden

   1. Der Wachstumsfaktor: 1 + 0,12 = 1,12
   2. Der Gesamtfaktor: 1,12⁴ = 1,57351936
   3. Die Endmenge: 2,5 × 1,57351936 = 3,933798
   4. Die Gesamtänderung: 57,351936 Prozent

   Eine Anfangsmenge, die keine runde Zahl ist, woran sich nichts ändert: Die beiden Faktorspalten hängen überhaupt nicht davon ab, wo die Menge gestartet ist, und 2,5 wächst um genau dieselben 57,35 Prozent wie 250. Die beiden Spalten, die die Frage »um wie viel« beantworten, sind die, die man beim Vergleich zweier Szenarien liest, denn sie sind die einzigen beiden, die sich nicht mit der Anfangsmenge bewegen.

Rate und Anzahl der Perioden müssen auf derselben Grundlage angegeben sein, und die Seite kann das nicht prüfen: fünf Prozent pro Jahr über zehn Monate ergibt eine falsche Antwort, die völlig normal aussieht. Die Periode ist, was Sie dafür erklären — ein Jahr, ein Monat, ein Tag, eine Generation —, und die Seite fragt nie danach. Das Wachstum wird als Multiplikation mit demselben Faktor je Periode modelliert, und das ist es, was Zinseszins bedeutet, und trifft nicht auf alles zu, was wächst: eine Bevölkerung, die an eine Grenze stößt, ein gesättigter Markt oder eine Rate, die sich selbst ändert, fallen alle aus diesem Modell heraus. Die Rate kann nicht unter −100 Prozent fallen, weil dort die Menge null erreicht und dahinter das Vorzeichen in jeder Periode umspringt; die Obergrenze von 1000 Prozent und die Grenze von 1000 Perioden gibt es, damit ein Überlauf selten bleibt, und nicht, um eine mathematische Schranke auszudrücken. Die Anfangsmenge muss positiv sein, was bedeutet, dass eine Menge, die von negativ nach positiv wechselt, hier nicht dargestellt werden kann. Die Verzinsung geschieht einmal je Periode und nicht stetig: Eine Rate von 5 Prozent pro Jahr, halbjährlich mit je 2,5 Prozent verzinst, ergibt ein anderes Ergebnis, und diese Rechnung gehört auf die Seite zum Zinseszins, die eine Zinsperiode mitbringt. Nichts hier modelliert Einzahlungen, Auszahlungen oder Beiträge — die Menge wird sich selbst überlassen, um zu wachsen. Schließlich werden die Ausgaben auf sechs Nachkommastellen gerundet, was für die Prozentspalte wichtig wird, wenn die Zahlen groß werden.

Warum ist die Gesamtänderung größer als Rate mal Anzahl der Perioden?

Weil der Prozentsatz jeder Periode von einer größeren Menge genommen wird als in der Periode davor. Zehn Perioden mit fünf Prozent sind nicht fünfzig, sondern 62,89, denn die fünf Prozent der zweiten Periode wirken auf eine Menge, die schon gewachsen ist. Dieses Aufeinanderstapeln ist der ganze Unterschied zwischen exponentiellem und additivem Wachstum, und die Spalte mit der Gesamtänderung ist die Stelle, an der es sichtbar wird: Die Endmenge allein zeigt es nicht.

Kann ich eine negative Wachstumsrate eingeben?

Ja — eine negative Rate ist eine Abnahme, und dieselbe Seite rechnet sie. Eine Rate von −20 Prozent bedeutet, dass die Menge je Periode ein Fünftel ihrer selbst verliert, aus 100 werden nach drei Perioden also 51,2. Sie kann nicht unter −100 Prozent fallen: Bei genau −100 erreicht die Menge null und bleibt dort, darunter wird der Faktor je Periode negativ und die Menge wechselt in jeder Periode das Vorzeichen, was keine Menge mehr beschreibt.

Was zählt als eine Periode?

Was Sie festlegen, solange die Rate auf derselben Grundlage angegeben wird. Fünf Prozent pro Jahr mit einer Periodenzahl von zehn bedeutet zehn Jahre; dieselbe Rate pro Monat mit der Zahl zehn bedeutet zehn Monate, und die beiden Antworten gehören zu zwei verschiedenen Fragen. Die Seite kann dieses Paar nicht prüfen, eine pro Jahr angegebene Rate mit einer Periodenzahl in Monaten ergibt also eine falsche Antwort, die vollkommen normal aussieht.

Worin unterscheiden sich Wachstumsfaktor und Gesamtänderung?

Der Wachstumsfaktor ist das, womit eine Periode multipliziert; die Gesamtänderung ist das, was die ganze Strecke ergeben hat. Eine Rate von 5 Prozent ergibt einen Wachstumsfaktor von 1,05 — eine Größe je Periode, die dieselbe bleibt, ob Sie sie eine Periode oder hundert laufen lassen —, während zehn Perioden eine Gesamtänderung von 62,89 Prozent ergeben, also den aufgestapelten Faktor. Bei der Frage »um wie viel schneller ist diese Variante« ist der Wachstumsfaktor der Wert, den man vergleicht.

Darf die Anzahl der Perioden ein Bruch sein?

Ja, und eine halbe Periode ist eine häufige Eingabe. Eine halbe Periode mit fünf Prozent Wachstum sind nicht 2,5 Prozent, sondern die Quadratwurzel aus 1,05, also 2,47 Prozent. Das macht gebrochene Perioden sinnvoll statt zu einer Rundungsbequemlichkeit: Die Menge wächst über die Periode hinweg gleichmäßig, statt am Ende in einem Sprung, und das Wurzelziehen ist der Ausdruck dieser Stetigkeit.

Worin unterscheidet sich das vom Zinseszins-Rechner?

Dieselbe Formel, ein anderes Thema. Diese Seite nimmt eine Rate und eine Anzahl von Perioden und arbeitet mit jeder beliebigen Menge; der Zinseszins-Rechner fügt hinzu, was Geld hat und eine Bevölkerung nicht — eine Zinsperiode, regelmäßige Einzahlungen und ein Kapital, das getilgt werden kann. Geht es in der Frage um Einzahlungen in ein Guthaben oder Auszahlungen daraus, oder um monatlich statt jährlich verzinstes Geld, dann bringt jene Seite die zusätzlichen Dimensionen mit und diese nicht.

• Exponential Growth — the law this page evaluates, with the growth rate and the number of periods as its two parameters — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same formula applied to money, including the compounding-frequency distinction that separates that calculation from this one — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentielles Wachstum — die deutsche Darstellung desselben Gesetzes, samt der Abgrenzung zur exponentiellen Abnahme — Mathebibel (Deutschland)