Potenz-Rechner

bⁿ = b × b × … × b (n Faktoren) b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

b

Die Basis, also die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird. Sie ist eine reine Zahl ohne Einheit und darf negativ, dezimal oder null sein — jeder dieser Fälle hat weiter unten seine eigene Regel. Eine negative Basis ist nur mit ganzzahligem Exponenten zulässig, denn eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht reell

n

Der Exponent, auch Hochzahl genannt: die Anzahl, wie oft die Basis im Produkt vorkommt. Er ist auf dieser Seite eine reelle Zahl und nicht nur eine ganze: ein Bruch bedeutet eine Wurzel (der Exponent 0,5 ist die Quadratwurzel, 0,3333 kommt der Kubikwurzel nahe), und ein Minuszeichen bedeutet den Kehrwert der positiven Potenz

bⁿ

Die Potenz selbst, das Hauptresultat. Sie wird in wissenschaftlicher Schreibweise ausgegeben, sobald sie den Bereich von 0,001 bis eine Million verlässt; 2 hoch 64 erscheint deshalb als Mantisse mal Zehnerpotenz und nicht als 20-stellige ganze Zahl. Nach oben ist hier nichts gedeckelt — die einzige Grenze ist das, was eine Zahl mit doppelter Genauigkeit fassen kann

b × b × … × b

Die ausgeschriebene Form: derselbe Ausdruck als wiederholte Multiplikation. Produkte mit mehr als sechs Faktoren werden mit Auslassungspunkten abgekürzt, darunter werden sie vollständig geschrieben. Deshalb zeigt 3 hoch 4 alle vier Faktoren und 2 hoch 10 nicht alle zehn

b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

Was ein negativer Exponent tut: Er nimmt den Kehrwert der positiven Potenz, also eins geteilt durch das Produkt. 2 hoch −3 ist 1 ÷ 8 und nicht −8. Das ist die häufigste Fehldeutung dieser Schreibweise überhaupt, und genau deshalb lohnt sich die ausgeschriebene Form — der Kehrwert ist in ihr sichtbar und sonst nirgends auf der Seite

b⁰ = 1

Jede Basis außer null ergibt hoch null den Wert 1, und die ausgeschriebene Form sagt das, indem sie eine nackte 1 zeigt statt eines leeren Produkts. Die Abwärtsregel erzwingt es: Bei jedem Schritt, um den der Exponent fällt, wird einmal durch die Basis geteilt, und b ÷ b ist 1. Dass 7 hoch 0 gleich 1 ist, ist also keine Konvention, für die sich die Seite entschieden hätte. Null hoch null ist der eine Fall, den diese Regel nicht klärt, und er wird abgelehnt

0,5 als Exponent

Ein gebrochener Exponent ist eine Wurzel: eine Zahl hoch 0,5 ist ihre Quadratwurzel, hoch ein Drittel ihre Kubikwurzel. Deshalb lehnt die Seite eine negative Basis mit gebrochenem Exponenten ab — die Kubikwurzel aus einer negativen Zahl ist vollkommen reell, aber über die Potenzrechnung ist sie es nicht, und der Wurzel-Rechner ist die Seite, die diesen Unterschied kennt

Nutzen Sie diese Seite immer dann, wenn eine Zahl eine feste Anzahl von Malen mit sich selbst multipliziert wird und das Ergebnis gesucht ist: Wachstum, das als einzelner Faktor statt als Kette von Multiplikationen geschrieben wird, eine Verdopplung, die eine feste Anzahl von Malen hintereinander passiert, ein Skalierungsfaktor, der wieder und wieder angewendet wird, die Wahrscheinlichkeit, dass dasselbe Ereignis mehrfach in Folge eintritt, oder die Größe einer Speichereinheit als Zweierpotenz. Sie können hier außerdem die beiden Schreibweisen gegeneinander berechnen, die regelmäßig verwechselt werden — das ausgeschriebene Produkt und die kurze Potenz —, weil beide gleichzeitig erscheinen: die ausgeschriebene Form ist die Definition, die Potenz ist der Wert, und erst nebeneinander wird ein negativer Exponent lesbar. Den Wurzel-Rechner nehmen Sie, wenn der Exponent gesucht und eine Wurzel gefragt ist, denn dort gelten für negative und gebrochene Fälle eigene Regeln. Der Rechner für exponentielles Wachstum ist die richtige Seite, wenn die Basis feststeht und aus einer Rate abgeleitet wird, wie bei jeder Zins- oder Bevölkerungsfrage. Und wenn die Potenz bekannt ist und der Exponent gesucht wird, führt die Umkehrung dieser Beziehung zum Logarithmus.

1. 2 hoch 10

   1. Die Basis ist 2 und der Exponent 10, es werden also zehn Faktoren 2 multipliziert
   2. Paarweise: 2 × 2 = 4, dann 4 × 4 = 16 und 16 × 16 = 256, das sind acht Faktoren
   3. Zwei Faktoren bleiben übrig: 256 × 2 × 2 = 1024
   4. Das Produkt hat mehr als sechs Faktoren, deshalb wird die ausgeschriebene Form zu 2 × 2 × … × 2 abgekürzt

   Die letzte Zeile der Referenztabelle und die eine Zahl aus dieser Gruppe, die man sich merken kann: Ein Kilobyte hat 1024 Byte, weil 2 hoch 10 genau 1024 ergibt. Die Abkürzung in der zweiten Schreibweise ist kein Platzmangel — zehn Faktoren mit Auslassungspunkten tragen genau dieselbe Information wie zehn ausgeschriebene Faktoren, und die Anzahl steht ohnehin schon im Exponenten, den Sie eingetippt haben.

2. 2 hoch −3

   1. Der Exponent ist negativ, das Ergebnis ist also der Kehrwert der positiven Potenz
   2. Zuerst die positive Potenz: 2 × 2 × 2 = 8
   3. Der Kehrwert von 8 ist 1 ÷ 8 = 0,125
   4. Die ausgeschriebene Form zeigt den Kehrwert selbst, die Division ist also sichtbar: 1 ÷ (2 × 2 × 2)

   Der Fall, für den sich die ausgeschriebene Form bezahlt macht. Wer das Minuszeichen als negatives Ergebnis liest, erwartet −8 und bekommt 0,125; die Schreibweise 1 ÷ (2 × 2 × 2) macht den Kehrwert zu etwas Sichtbarem statt zu etwas Gemerktem. Sie ist zugleich die Schreibweise, die sagt, dass das Ergebnis kleiner als 1 ausfallen muss — eins durch eine Zahl über eins kann nichts anderes ergeben.

3. 1,05 hoch 4

   1. Vier Faktoren 1,05 werden multipliziert, das sind vier Jahre mit 5 Prozent Wachstum
   2. Zwei Faktoren: 1,05 × 1,05 = 1,1025
   3. Vier Faktoren: 1,1025 × 1,1025 = 1,21550625
   4. Die Potenz wird auf sechs Nachkommastellen ausgegeben, sie lautet also 1,215506

   Die Form, in der diese Seite außerhalb des Unterrichts am häufigsten benutzt wird: eine Basis knapp über 1, ein Exponent, der Perioden zählt. Vier Faktoren ergeben 1,2155, und das ist dasselbe wie die Aussage, dass die Größe über die vier Perioden um 21,55 Prozent gewachsen ist. Den Prozentsatz selbst rechnet der Rechner für exponentielles Wachstum aus, der die Basis aus der Rate ableitet und die Zahl direkt ausgibt, statt Sie eins abziehen zu lassen.

4. 7 hoch 0

   1. Ein Exponent von null heißt, das Produkt ist leer — es wird kein einziger Faktor 7 multipliziert
   2. Ein leeres Produkt ist 1, denn 1 ist das neutrale Element der Multiplikation: Damit multipliziert ändert sich nichts
   3. Die Abwärtsregel stimmt zu: 7¹ ÷ 7 = 1, und 7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹, also muss 7⁰ gleich 1 sein, damit das Muster aufgeht
   4. Die ausgeschriebene Form zeigt die nackte 1 und keine leere Multiplikation

   Der Eintrag, der am häufigsten für 0 gehalten wird. Es wird nichts multipliziert, also kann auch nichts herauskommen — aber 1 ist der einzige Wert, bei dem alle benachbarten Potenzen richtig bleiben, und deswegen ist die Definition das leere Produkt und nicht die Anschauung. Aus demselben Grund beginnt die Referenztabelle bei 2⁰.

5. −2 hoch 3

   1. Die Basis ist negativ und der Exponent ganzzahlig — das ist die erlaubte Kombination
   2. −2 × −2 = 4, denn das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv
   3. 4 × −2 = −8
   4. Die Anzahl der negativen Faktoren ist ungerade, das Vorzeichen des Ergebnisses ist also negativ

   Eine negative Basis wird nicht abgelehnt — abgelehnt wird nur eine negative Basis mit gebrochenem Exponenten, weil dort das Ergebnis aufhört, eine reelle Zahl zu sein. Das Vorzeichen des Ergebnisses folgt der Parität des Exponenten, und die ausgeschriebene Form macht sie zählbar: drei Faktoren −2 paaren sich einmal und lassen einen negativen Faktor übrig. Ändern Sie den Exponenten auf 4, lautet das Ergebnis +16.

Diese Seite erhebt eine Zahl in eine Potenz und tut nichts weiter. Sie addiert keine Potenzen, multipliziert sie nicht und fasst zwei von ihnen nicht zusammen — die Potenzgesetze stehen im Formelblock und werden von Hand angewendet, und das ist Absicht, denn die Seite hat keine zweite Basis, auf die sie anzuwenden wären. Sie logarithmiert auch nicht: Aus einer Potenz und einer Basis den Exponenten zu bestimmen ist die umgekehrte Frage und gehört auf die Logarithmus-Seite. Eine negative Basis wird nur mit ganzzahligem Exponenten angenommen, und diese Ablehnung ist kein Rechenhindernis — die Kubikwurzel aus −8 ist wirklich −2 —, sondern eine Weiterleitung: Die Rechnung, die dorthin führt, ist eine Wurzel und keine Potenz, und der Wurzel-Rechner ist die Seite mit dieser Regel. Das Ergebnis wird in doppelter Genauigkeit gerechnet und ist nur dort exakt, wo doppelte Genauigkeit es ist: Ganze Zahlen werden bis 2 hoch 53 exakt gespeichert, darüber kommt eine ganze Zahl zurück, von der benachbarte ganze Zahlen nicht mehr zu unterscheiden sind. Der Exponent ist auf ±64 begrenzt, die Basis auf eine Million; beides sind Anzeigegrenzen und keine mathematischen Grenzen — die eigentliche Obergrenze ist der Punkt, an dem das Ergebnis keine darstellbare Zahl mehr ist, und dort meldet die Seite einen Fehler, statt unendlich auszugeben. Die ausgeschriebene Form wird ab sechs Faktoren abgekürzt; sie ist deshalb eine lesbare Fassung der Multiplikation und keine vollständige Abschrift.

Was bedeutet ein negativer Exponent?

Er bedeutet den Kehrwert der positiven Potenz und nicht eine negative Zahl. 2 mit dem Exponenten −3 ist 1 ÷ (2 × 2 × 2), also 0,125 — das Ergebnis liegt unter 1 und nicht unter null. Die ausgeschriebene Form auf dieser Seite zeigt die Division und nicht nur das Resultat, weil das Minuszeichen der eine Teil dieser Schreibweise ist, der regelmäßig rückwärts gelesen wird.

Warum ist jede Basis hoch null gleich 1?

Weil ein Exponent von null ein leeres Produkt bedeutet, und das leere Produkt ist das neutrale Element der Multiplikation, also 1. Die Abwärtsregel sagt dasselbe: Bei jedem Schritt, um den der Exponent fällt, wird der Wert durch die Basis geteilt, und von 7¹ = 7 einen Schritt nach unten ergibt 7 ÷ 7 = 1. Es ist nie 0 — multipliziert wurde nichts, also kann auch nichts herauskommen.

Was ist 0 hoch 0?

Der Ausdruck hat keinen definierten Wert, und die Seite sagt das, statt einen auszugeben. Zwei Regeln treffen aufeinander: Jede Basis außer null hoch null ist 1, und null hoch jede positive Zahl ist 0. JavaScript liefert für diesen Ausdruck 1, aber das ist eine Entscheidung der Sprache für die Widerspruchsfreiheit ihrer eigenen Operationen und kein mathematisches Ergebnis — deshalb lehnt die Seite ihn ab, statt still zuzustimmen.

Darf ich einen gebrochenen Exponenten wie 0,5 eingeben?

Ja, mit positiver Basis: Der Exponent 0,5 ist die Quadratwurzel, 2 hoch 0,5 ist also 1,414214. Eine negative Basis mit gebrochenem Exponenten wird abgelehnt, weil dieses Ergebnis keine reelle Zahl ist: Hinter einer gebrochenen Potenz steht rechnerisch ein Logarithmus, und den Logarithmus einer negativen Zahl gibt es in den reellen Zahlen nicht. Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind dagegen reell, und der Wurzel-Rechner ist die Seite, die diesen Unterschied kennt.

Warum endet die ausgeschriebene Form nach sechs Faktoren?

Weil die Auslassungspunkte ab dort genau so viel Information tragen wie das vollständige Produkt. 2 hoch 64 ausgeschrieben sind über hundert Zeichen desselben Faktors, und die Anzahl steht bereits in dem Exponenten, den Sie eingegeben haben — die Abkürzung zu 2 × 2 × … × 2 verliert also nichts. Unter sechs Faktoren wird die Multiplikation vollständig geschrieben, deshalb zeigt 3 hoch 4 alle vier davon.

Wann wechselt das Ergebnis in die wissenschaftliche Schreibweise?

Wenn es den Bereich von 0,001 bis eine Million verlässt. Innerhalb dieses Fensters wird die Zahl als gewöhnliche Dezimalzahl ausgegeben, weil man 9.375 auf einen Blick erfasst und 9,375 × 10³ erst übersetzen müsste. Außerhalb werden Mantisse und Zehnerpotenz gemeinsam gezeigt, 2 hoch 64 liest sich also als 1,844674 × 10¹⁹ und nicht als zwanzigstellige ganze Zahl ohne erkennbare Größenordnung.

• Power — the definition of a power as repeated multiplication, together with the rules for negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation itself, including the reciprocal rule for negative exponents and the treatment of the indeterminate case 0⁰ — Wolfram MathWorld (United States)
• Potenz — Bedeutung und Verwendung des Begriffs in der deutschen Fachsprache: das Produkt aus gleichen Faktoren, geschrieben als Basis mit Exponent — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Exponent — die Hochzahl, die angibt, wie oft die Basis als Faktor auftritt; im Deutschen auch als Hochzahl bezeichnet — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Potenzgesetze — die Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis, gleichem Exponenten und für Potenzen von Potenzen — Mathebibel