Wurzel-Rechner

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

Der Radikand, die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird. Er ist hier eine ganze Zahl und darf bei ungeradem Exponenten negativ sein. Die Beschränkung auf ganze Zahlen betrifft die exakte Form und nicht die Rechnung: Die Quadratwurzel aus 2,5 ist eine völlig gewöhnliche Zahl, ihre exakte Form ist aber ein Bruch mit einer Wurzel darin, und das ist eine andere Gestalt von Antwort als die, welche diese Spalte druckt

n

Der Wurzelexponent, von 2 bis 12. Der Exponent 1 ist die Identität — die erste Wurzel aus irgendetwas ist es selbst —, und der Exponent 0 ist nicht definiert, beide werden also abgewiesen statt beantwortet. Die Obergrenze 12 ist praktisch begründet: Die exakte Form arbeitet damit, die größte vollständige n-te Potenz zu finden, die den Radikanden teilt, und diese werden schnell dünn gesät, sodass die Spalte oberhalb von 12 meist eine leere Wurzel neben einer riesigen Zahl enthielte

ⁿ√x

Die Wurzel als Dezimalzahl, der Hauptwert, auf sechs Nachkommastellen ausgegeben, wenn sie nicht aufgeht. Sie ist der Wert, mit dem gerechnet wird, und sie ist diejenige, die Information verliert: 8,485281 verrät nicht, dass sie aus √72 stammt und nicht aus √71,9999, und genau das verrät die exakte Form daneben

m · ⁿ√r

Die exakte Form: Jede vollständige n-te Potenz, die den Radikanden teilt, wird aus der Wurzel herausgenommen und als Koeffizient vor eine kleinere Wurzel geschrieben. Für √72 ergibt das 6√2, weil 72 = 36 × 2 ist und 36 ein vollständiges Quadrat. Ist der Radikand selbst eine vollständige Potenz, bleibt nichts übrig, das Wurzelzeichen verschwindet ganz und die Antwort wird als ganze Zahl geschrieben — so meldet die Seite, dass die Wurzel aufgegangen ist

x^(1/n)

Dieselbe Wurzel als Potenz geschrieben, und so wird sie auch gerechnet. Die beiden Schreibweisen sind dieselbe Operation, und es lohnt sich zu wissen, dass sie es sind: Der Exponent 1/n ist der Grund, warum ein gebrochener Exponent eine Wurzel ist und nichts Ungewohntes. Der Potenz-Rechner nimmt diese Form direkt entgegen und ist die Seite der Wahl, wenn der Radikand keine ganze Zahl oder der Exponent nicht ganzzahlig ist

√

Das Wurzelzeichen ohne aufgeschriebenen Exponenten bedeutet immer die Quadratwurzel, weshalb die Seite ein blankes √ für den Exponenten 2 und ∛ für den Exponenten 3 druckt. Über 12 hinaus geht der Vorrat an Einzelzeichen aus, höhere Exponenten werden mit den Ziffern vor dem Zeichen geschrieben, und die Seite setzt ab dem Exponenten 4 ein Malzeichen zwischen Koeffizient und Exponent — 2 × 4√2 —, weil 24√2 als vierundzwanzig mal die Quadratwurzel aus zwei gelesen würde

Zu gebrauchen, wenn eine Wurzel vereinfacht und nicht nur ausgerechnet werden soll, und genau darin unterscheidet sich diese Seite von einem Werkzeug, das nur Dezimalzahlen liefert: √72 zu 6√2 zu vereinfachen, nachzusehen, ob eine Zahl eine Quadratzahl ist, eine Aufgabe durchzurechnen, deren Lösung in exakter Form erwartet wird. Zugleich ist es die Seite für die beiden Fragen, die rund um Wurzeln allgemein auftauchen — was die Kubikwurzel einer negativen Zahl ist (bei ungeradem Exponenten eine reelle Zahl) und was die vierte Wurzel aus irgendetwas ist. Zum Potenz-Rechner greift man, wenn der Exponent keine ganze Zahl ist, denn ein gebrochener Exponent ist dieselbe Operation als Potenz geschrieben und wird dort direkt angenommen. Zum Mitternachtsformel-Rechner greift man, wenn die Wurzel unter einer Formel auftaucht statt allein dazustehen, denn die Diskriminante ist eine Quadratwurzel und jene Seite liest auch ihr Vorzeichen. Und zum Quadratwurzel- oder Kubikwurzel-Rechner greift man, wenn nur einer der beiden Exponenten gebraucht wird, weil jeder von ihnen den Stoff seines eigenen Falls mitbringt.

1. Die Quadratwurzel aus 16

   1. Exponent 2, Radikand 16 — eine Quadratwurzel
   2. 16 ist 4 × 4, also ein vollständiges Quadrat, und die Wurzel geht ganz auf
   3. Die Wurzel ist 4, und zwar exakt und nicht gerundet
   4. Die exakte Form ist die blanke ganze Zahl 4, ohne jedes Wurzelzeichen

   Der Fall, für den die Seite am häufigsten geöffnet wird, und der zeigt, wie die exakte Spalte einen Erfolg meldet: keine Wurzel, keine Dezimalstelle, nur die ganze Zahl. Wer nur wissen wollte, ob 16 eine Quadratzahl ist, hat die Antwort in der zweiten Spalte, ohne die erste zu lesen.

2. Die Quadratwurzel aus 72

   1. 72 ist kein vollständiges Quadrat, die Wurzel ist also irrational
   2. Das größte Quadrat, das 72 teilt, ist 36, denn 72 = 36 × 2
   3. Die 36 aus der Wurzel zu holen ergibt 6 davor: √72 = 6√2
   4. Der Dezimalwert ist auf sechs Nachkommastellen 8,485281, und 6√2 ist der exakte Wert

   Das Beispiel, das die ganze Seite rechtfertigt. 8,485281 ist eine Näherung, und die Anzeige sagt das, indem sie die exakte Form daneben druckt; eine Seite, die nur die Dezimalzahl zeigt, hat den Leser mit einer Zahl zurückgelassen, die nicht die Quadratwurzel aus 72 ist. Die zurückgebliebene 2 unter der Wurzel ist zugleich die schnellste Lesart der Lage — es steckt noch etwas darin, also ist nichts aufgegangen.

3. Die Kubikwurzel aus 54

   1. Exponent 3, Radikand 54 — eine Kubikwurzel
   2. 54 ist kein vollständiger Kubus, aber 27 teilt die 54: 54 = 27 × 2
   3. Die 27 herausgezogen ergibt 3 vor der Wurzel: ∛54 = 3∛2
   4. Der Dezimalwert ist 3,779763

   Dieselbe Vereinfachung mit einem anderen Exponenten, und der Fall, der zeigt, dass die Seite ein Werkzeug ist und nicht zwei. Der von Hand zu gehende Schritt ist das Finden des größten vollständigen Kubus unterhalb von 54 — 27 und nicht 8 —, und die Referenztabelle auf dieser Seite ist genau die Liste, die dieses Nachschlagen schnell macht: drei hoch drei ist 27, vier hoch drei ist 64, und 64 ist zu groß.

4. Die vierte Wurzel aus 32

   1. 32 ist 16 × 2, und 16 ist eine vierte Potenz, denn 16 = 2⁴
   2. Die 16 aus der Wurzel zu holen lässt 2 davor: ⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. Das Malzeichen steht da, weil der Exponent 4 kein einteiliges Wurzelzeichen hat
   4. Der Dezimalwert ist 2,378414

   Hier muss die Schreibweise aufpassen. Als 24√2 geschrieben würden die meisten Menschen vierundzwanzig mal die Quadratwurzel aus zwei lesen, deshalb setzt die Seite ab dem Exponenten 4 ein Malzeichen — Koeffizient und Exponent sind beide Zahlen, und irgendetwas muss sie trennen. Weder √ noch ∛ haben dieses Problem, weshalb das Zeichen erst ab dem Exponenten 4 auftaucht.

5. Die Kubikwurzel aus −54

   1. Der Radikand ist negativ und der Exponent ungerade, die Wurzel ist also eine reelle Zahl
   2. Der Betrag wird genau wie vorher vereinfacht: ∛54 = 3∛2
   3. Das Vorzeichen wird herausgezogen, und die exakte Form druckt es ganz vorn: −3∛2
   4. Der Dezimalwert ist −3,779763

   Der negative Fall, und die eine Stelle, an der die exakte Form eine eigene Regel hat: Das Minuszeichen gehört vor den ganzen Ausdruck und nicht unter die Wurzel. Es ist zugleich der Einstiegspunkt, an den der Potenz-Rechner seine Nutzer schickt — jene Seite weist eine negative Basis mit gebrochenem Exponenten ab, weil die Rechnung dahinter über einen Logarithmus führt, und diese Seite behandelt dieselbe Frage, indem sie eine Wurzel zieht.

Der Radikand muss eine ganze Zahl sein. Die Quadratwurzel aus 2,5 ist eine reelle Zahl, und diese Seite nimmt sie nicht an, weil die exakte Form jener Wurzel ein Bruch mit einer Wurzel darüber ist — eine Gestalt, für die die exakte Spalte keinen Platz hat —, und nur die Dezimalzahl zu drucken würde verbergen, dass die exakte Antwort fallengelassen wurde. Jeder gebrochene oder dezimale Radikand gehört stattdessen in den Potenz-Rechner, eingegeben als gebrochene Potenz. Negative Radikanden werden nur bei ungeraden Exponenten angenommen: Die Kubikwurzel aus −8 ist −2, die Quadratwurzel aus −4 aber keine reelle Zahl, und die Seite weist sie ab, statt einen komplexen Wert zu drucken. Der Wurzelexponent ist eine ganze Zahl zwischen 2 und 12; der Exponent 1 ist die Identität und der Exponent 0 nicht definiert, beide werden also nicht angenommen, und gebrochene Exponenten gehören als gebrochene Potenzen in den Potenz-Rechner. Wurzeln, die nicht aufgehen, werden auf sechs Nachkommastellen ausgegeben, was eine Anzeigegrenze und keine Genauigkeitsgrenze ist — gerechnet wird in voller Gleitkommagenauigkeit. Die exakte Form wird so weit vereinfacht, wie sich vollständige Potenzen herausziehen lassen, und das ist die übliche Form einer vereinfachten Wurzel; einen Nenner rational gemacht wird hier nicht: Eine Wurzel unter einem Bruch bleibt dem Leser überlassen. Der Radikand ist auf eine Milliarde begrenzt, und diese Grenze betrifft den Aufwand, nicht die Mathematik — die Vereinfachung arbeitet mit Probeteilung, und ein größerer Radikand würde die Seite beim Tippen langsam machen statt falsch.

Worin unterscheiden sich exakte Form und Dezimalwert?

Die Dezimalzahl ist ein gerundeter Wert, die exakte Form ist der Wert selbst. Die Quadratwurzel aus 72 ist genau 6√2; 8,485281 ist das auf sechs Nachkommastellen, und 8,485281 mit sich selbst multipliziert ergibt deshalb 71,99999… und nicht 72. Die Seite druckt beides, weil jede der beiden allein irreführt: Mit der Dezimalzahl rechnet man, und die exakte Form sagt einem, ob die Wurzel aufgegangen ist.

Wie vereinfache ich eine Quadratwurzel?

Man sucht das größte vollständige Quadrat, das die Zahl teilt, zieht dessen Wurzel nach vorn und lässt den Rest innen stehen. Für 72 ist das die 36, weil 72 = 36 × 2 ist, also √72 = 6√2. Teilt kein vollständiges Quadrat die Zahl — das ist bei 2, 3, 5, 7 und jeder anderen Zahl ohne wiederholten Primfaktor der Fall —, lässt sich die Wurzel nicht vereinfachen und die exakte Form ist einfach √2.

Kann ich die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen?

Auf dieser Seite nicht, und als reelle Zahl nirgends. Die Quadratwurzel aus −4 ist 2i, eine komplexe Zahl, und diese Seite ist ein Werkzeug für reelle Zahlen. Ungerade Wurzelexponenten sind anders: Die Kubikwurzel aus −8 ist −2, eine ganz gewöhnliche reelle Zahl, weil das Produkt dreier negativer Faktoren negativ ist. Die Seite nimmt deshalb −8 beim Exponenten 3 an und weist −4 beim Exponenten 2 ab.

Warum kann ich keine Dezimalzahl als Radikanden eingeben?

Weil die exakte Form dafür keinen Platz hat. Die Quadratwurzel aus 2,5 ist √10 ÷ 2 — ein Bruch mit einer Wurzel im Zähler —, und die exakte Spalte dieser Seite druckt einen Koeffizienten vor einer Wurzel und keinen Bruch. Statt die Dezimalzahl zu drucken und die exakte Antwort still fallen zu lassen, beschränkt die Seite den Radikanden auf ganze Zahlen und sagt das auch. Einen dezimalen Radikanden kann man im Potenz-Rechner als gebrochene Potenz berechnen lassen.

Was bedeutet der Exponent am Wurzelzeichen?

Er gibt an, wie oft die Wurzel mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Radikanden zurückzugeben: Der Exponent 3 bedeutet Kubikwurzel, ∛8 ist also 2, weil 2 × 2 × 2 = 8 ist. Kein aufgeschriebener Exponent bedeutet 2, weshalb diese Seite für Quadratwurzeln ein blankes √ und für Kubikwurzeln ∛ druckt. Der Exponent 1 gäbe die Zahl unverändert zurück, der Exponent 0 hat keine Bedeutung, die Seite beginnt deshalb bei 2.

Ist eine Kubikwurzel dasselbe wie die Potenz mit einem Drittel?

Ja, und so rechnet die Seite es. Die n-te Wurzel aus x ist x hoch 1/n, die Kubikwurzel aus 54 also 54 hoch 0,3333…, was 3,779763 ergibt. Die beiden Schreibweisen beschreiben eine Operation. Sie trennen sich bei negativen Basen: Die Potenzform läuft über einen Logarithmus und würde −54 abweisen, während das Ziehen einer ungeraden Wurzel daraus unproblematisch ist, weshalb der Potenz-Rechner solche Fälle hierher schickt.

• nth Root — the definition of an nth root, including the rule that an even root of a negative number has no real value and an odd one does — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — the index-2 case, with the simplification of radicals and the table of perfect squares this page's reference table extends — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the index-3 case, and the reason a negative radicand has a real cube root where it has no real square root — Wolfram MathWorld (United States)
• Wurzel — Bedeutung und Verwendung des Wortes in der deutschen Fachsprache, samt der Unterscheidung von Radikand und Wurzelexponent — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Wurzelgesetze — die Rechenregeln für Wurzeln, einschließlich des Herausziehens vollständiger Potenzen aus einem Radikanden — Mathebibel