Quadratwurzel-Rechner

√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d

x

Der Radikand, die Zahl unter dem Wurzelzeichen. Er darf nicht negativ sein: Ein negativer Radikand hat keine reelle Quadratwurzel, und jede reelle Zahl ergibt quadriert einen nicht negativen Wert. Die Seite weist ihn deshalb ab und verweist auf die Wurzeln mit ungeradem Exponenten beim allgemeinen Wurzel-Rechner. Die Null ist in Ordnung — die Quadratwurzel aus 0 ist 0.

m²

Das größte vollständige Quadrat, das den Radikanden teilt: 4, 9, 16, 25, 36 und so weiter. Es zu finden ist die ganze Vereinfachung, und die Seite sucht von oben nach unten, damit der erste gefundene Faktor auch der größte ist. Für 72 ist dieser Faktor die 36, unter der Wurzel bleibt die 2 zurück.

m

Die Quadratwurzel aus diesem vollständigen Quadrat, die vor das Wurzelzeichen tritt: im Fall der 72 also die 6. Ist der Koeffizient eine andere ganze Zahl, wird er schlicht hingeschrieben, die exakte Form lautet dann 6√2. Ist er 1, wird der Koeffizient weggelassen statt gedruckt, weil 1√2 nicht die Schreibweise dieser Zahl ist.

r

Alles, was nach dem Herausziehen jedes Quadratfaktors unter der Wurzel übrig bleibt. Es ist quadratfrei, das heißt, kein vollständiges Quadrat teilt es mehr, und genau das macht die Form endgültig. Bleibt nichts übrig — war der Radikand von vornherein eine Quadratzahl —, verschwindet das Wurzelzeichen ganz und die exakte Form ist nur noch eine Zahl, wie bei der Quadratwurzel aus 144.

√x

Der Dezimalwert, auf sechs Nachkommastellen ausgegeben. Es ist dieselbe Zahl wie die ausgewertete exakte Form — 6√2 ist 8,485281 —, und er steht daneben und nicht an ihrer Stelle, weil die beiden verschiedene Fragen beantworten. Mit der Dezimalzahl misst man, mit der exakten Form beweist man.

1. Die Quadratwurzel aus 72 vereinfachen

   1. Das größte vollständige Quadrat suchen, das 72 teilt
   2. Die 36 teilt sie: 72 ÷ 36 = 2, also ist 72 = 36 × 2
   3. Die Quadratwurzel aus 36 ist 6, sie tritt nach vorn: √72 = 6√2
   4. Die exakte Form ausgewertet ergibt 8,485281

   Der Fall, der das zweispaltige Layout überhaupt rechtfertigt. Als Dezimalzahl ist √72 gleich 8,485281, und dazu ist nichts weiter zu sagen; als exakte Form ist sie 6√2, und das zeigt auf einen Blick, dass das Quadrieren genau 72 zurückgibt. Die Probe ist eine Zeile: 6√2 zum Quadrat ist 36 × 2, also 72.

2. Ein Radikand mit einer Nachkommastelle

   1. Ein dezimaler Radikand wird zuerst in einen Bruch zurückverwandelt: 1,5 = 3/2
   2. Die Wurzel mit √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d auf Zähler und Nenner aufteilen
   3. Das ergibt √(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2
   4. Der Dezimalwert ist 1,224745

   Die exakte Form benutzt mit Absicht ein Geteiltzeichen und keinen Schrägstrich. Als √6/2 geschrieben wäre die Zeile mehrdeutig — sie liest sich genauso gut als die Wurzel aus sechs Halben, und das ist √3. Die Seite druckt √6 ÷ 2, damit es nur eine Lesart gibt. Das ist der Fall, den der allgemeine Wurzel-Rechner bewusst nicht annimmt, weil er ganzzahlige Radikanden voraussetzt.

3. Eine Dezimalzahl, die sich als Quadratzahl erweist

   1. 2,25 als Bruch ist 9/4
   2. Beide Teile sind vollständige Quadrate: √9 = 3 und √4 = 2
   3. Unter der Wurzel bleibt nichts übrig, die exakte Form ist also der Bruch 3/2
   4. Als Dezimalzahl ist das 1,5

   Wenn die Wurzel leer läuft, hört die exakte Form auf, überhaupt eine Wurzel zu sein — sie ist ein schlichter Bruch, und das ist das Signal dafür, dass der Radikand eine Quadratzahl war. Der exakten Form 3/2 ist in jeder weiteren Rechnung der Vorzug vor 1,5 zu geben, denn mit 3 zu multiplizieren und durch 2 zu teilen hält alles exakt, wo die Dezimalzahl es nicht täte.

Der Radikand darf nicht negativ sein: Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist keine reelle Zahl, und keine reelle Zahl ergibt quadriert eine negative. Die Null wird angenommen und ergibt null. Der Radikand ist auf zwei Nachkommastellen begrenzt, eine dritte wird abgewiesen statt gerundet — die Vereinfachung arbeitet damit, die Dezimalzahl in einen Bruch zu verwandeln und dann zu probeteilen, und jede zusätzliche Nachkommastelle verzehnfacht die Arbeit; die Seite nennt die Grenze also, statt still eine vereinfachte Form zu drucken, die zu einer etwas anderen Zahl gehört. Die exakte Form ist eine Schreibweise und keine Zahl: Sie wird in jeder Sprache gleich geschrieben, weil ein Wurzelzeichen und ein Geteiltzeichen keine Wörter tragen. Der Dezimalwert dagegen ist auf sechs Nachkommastellen gerundet, was eine Anzeigegrenze und keine Genauigkeitsgrenze ist. Der Exponent dieser Seite ist fest 2 — sie vereinfacht nur Quadratwurzeln. Kubikwurzeln, vierte Wurzeln und jeder andere Exponent, einschließlich der Wurzeln negativer Zahlen bei ungeradem Exponenten, gehören auf den allgemeinen Wurzel-Rechner, auf den diese Seite verweist.

Was tut das Vereinfachen einer Quadratwurzel eigentlich?

Es holt das größte vollständige Quadrat unter dem Wurzelzeichen hervor. Die Quadratwurzel aus 72 ist dieselbe Zahl wie 6√2 — es wurde nichts angenähert und nichts gerundet —, aber 6√2 ist die aufgeräumtere Schreibweise und die Form, die in einer späteren Rechnung exakt bleibt. Vereinfachen ändert nie den Wert, nur die Schreibweise. Eine Quadratwurzel zu ziehen liefert einen Dezimalwert, sie zu vereinfachen liefert die exakte Form, und das sind zwei verschiedene Dinge.

Woran erkenne ich, dass eine Quadratwurzel vollständig vereinfacht ist?

Daran, dass unter der Wurzel nichts mehr steht, was ein vollständiges Quadrat teilt. In 6√2 ist die 2 quadratfrei: Die 4 teilt sie nicht, die 9 nicht, und keine größere Quadratzahl ebenfalls, die Form ist also endgültig. Genau daran entscheidet auch die Seite, wann sie aufhört — sie sucht von oben nach unten nach dem größten Quadratfaktor und bleibt beim ersten stehen, den sie findet.

Warum wird die exakte Form mit einem Geteiltzeichen geschrieben?

Weil der Schrägstrich mehrdeutig wäre. √6/2 liest sich sowohl als die Quadratwurzel aus sechs, geteilt durch zwei, wie als die Quadratwurzel aus sechs Halben, und das sind verschiedene Zahlen — die zweite ist √3. √6 ÷ 2 gedruckt lässt nur eine Lesart zu. Es ist derselbe Grund, aus dem der Koeffizient weggelassen wird, wenn er 1 ist: Die Schreibweise wird so gewählt, dass sie nicht missverstanden werden kann, und nicht so, dass sie kurz ist.

Kann ich eine Dezimalzahl als Radikanden eingeben?

Ja, bis zu zwei Nachkommastellen. Ein dezimaler Radikand wird wieder in einen Bruch verwandelt und zieht dann mit √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d getrennt die Wurzel aus Zähler und Nenner. Die Quadratwurzel aus 1,5 ist √6 ÷ 2, und die Quadratwurzel aus 2,25 ist genau 3/2. Eine dritte Nachkommastelle wird abgewiesen, weil jede zusätzliche Stelle die Probeteilung verzehnfacht.

Warum kommt die Quadratwurzel einer Dezimalzahl manchmal als Bruch heraus?

Wenn der Radikand selbst das Quadrat eines Bruchs ist, bleibt unter der Wurzel nichts übrig und die exakte Form fällt zu einem schlichten Bruch zusammen — die Quadratwurzel aus 2,25 ist 3/2. Es ist dieselbe Regel wie bei einem ganzzahligen Radikanden, der eine Quadratzahl ist und dessen exakte Form zu einer ganzen Zahl zusammenfällt; läuft die Wurzel leer, bleibt nichts, worum man sie schreiben könnte.

Warum wird hier ein negativer Radikand abgewiesen?

Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist, die Quadratwurzel aus einem negativen Radikanden ist also überhaupt keine reelle Zahl. Jede Quadratwurzel auf dieser Seite hat den festen Exponenten 2, es gibt hier also keine ungerade Hälfte, in der negative Zahlen erlaubt wären. Der allgemeine Wurzel-Rechner nimmt dagegen Kubikwurzeln negativer Zahlen an, weil eine ungerade Potenz einer negativen Zahl negativ bleibt, und auf ihn verweist diese Seite. Eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl lässt sich hier nicht berechnen.

• Square Root — the definition, the principal root, and the rule for pulling square factors out of a radicand — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention that the principal square root is the non-negative one — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Number — the perfect squares the simplification searches for, from 4 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratwurzel — Bedeutung und Verwendung des Begriffs in der deutschen Fachsprache, einschließlich der Unterscheidung von Radikand und Wurzelwert — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Quadratwurzel — die Definition, das teilweise Wurzelziehen und die Umwandlung eines dezimalen Radikanden in einen Bruch — Mathebibel