Wissenschaftlicher Taschenrechner

Rechenreihenfolge, lockerste Bindung zuerst: + - dann * / dann unäres - und √ dann ^ (rechtsassoziativ) Trigonometrie wird im gewählten Winkelmodus gelesen, und asin, acos und atan geben ihre Antwort in demselben Modus zurück

^

Der Potenzoperator und die festeste Bindung überhaupt: 2^3 * 4 quadriert zuerst die 2, es ist also 8 * 4 = 32. Er ist außerdem der eine Operator, der nach rechts gruppiert, weshalb 2^3^2 die 2^(3^2) bedeutet und nicht (2^3)^2 — 512 statt 64.

√

Die Quadratwurzel, geschrieben als √16 oder als sqrt(16) — beide Schreibweisen werden angenommen und beide kommen als sqrt(16) gedruckt zurück. Die Kubikwurzel cbrt ist diejenige, die ein negatives Vorzeichen annimmt: cbrt(-27) ist -3, während sqrt(-4) keine reelle Antwort hat.

sin cos tan

Die drei trigonometrischen Funktionen. Ihr Argument ist ein Winkel und wird im eingestellten Winkelmodus gelesen — dieselben Zeichen sin(30) bedeuten 0,5 in Grad und -0,988032 im Bogenmaß. asin, acos und atan laufen in die andere Richtung und geben ihre Antwort in demselben Modus zurück.

Grad / Bogenmaß

Der Winkelmodus. Er ändert nichts außer den trigonometrischen Funktionen: Jeder andere Operator und jeder Ausdruck ohne Trigonometrie liefert in beiden Einstellungen dieselbe Zahl. Er ist der mit Abstand häufigste Grund dafür, dass eine Rechnung, die richtig aussieht, falsch herauskommt.

( )

Die Klammern, die die Rechenreihenfolge oben außer Kraft setzen. Sie zu setzen ist zugleich der einzige Weg, die Gruppierung zu sehen: Die zweite Ausgabe schreibt den ganzen Ausdruck neu und setzt eine Klammer um jede einzelne Operation, sodass sich (2 + (3 * 4)) und ((2 + 3) * 4) auf einen Blick vergleichen lassen.

Nehmen Sie diese Seite für die Arithmetik, die zwischen den übrigen Rechnern dieser Website anfällt: eine Rechnung mit Potenzen und Wurzeln, einen trigonometrischen Wert in einem bestimmten Winkelmodus oder einen zusammengesetzten Ausdruck, den Sie sonst in Schritte zerlegen und dabei hoffen müssten, die Rechenreihenfolge richtig gehalten zu haben. Die geklammerte Fassung ist für den Moment da, in dem ein Ergebnis überrascht — neun von zehn Malen war nicht die Arithmetik falsch, sondern die Gruppierung.

1. sin(30) + 2^3 * sqrt(16), in Grad

   1. Die Rechenreihenfolge lesen: Der ganze Ausdruck ist eine Summe, und ihre rechte Seite ist ein Produkt
   2. sin(30) ist mit dem Winkelmodus Grad gleich 0,5
   3. 2^3 = 8 — die Potenz geht vor die Multiplikation, in der sie steht
   4. sqrt(16) = 4
   5. 8 * 4 = 32
   6. 0,5 + 32 = 32,5

   Die geklammerte Fassung ist das, was zuerst anzusehen ist: (sin(30) + ((2 ^ 3) * sqrt(16))). Sie sagt, dass die Addition zuletzt kommt und dass die Multiplikation beide Teile rechts von sich besitzt. Stellen Sie den Winkelmodus auf Bogenmaß um, ändert sich nichts außer dem ersten Schritt — sin(30) wird zu -0,988032 und die Antwort zu 31,011968.

2. (2 + 3) * 4, wo die Klammern der ganze Punkt sind

   1. Die Klammern kommen zuerst: 2 + 3 = 5
   2. Dann die Multiplikation: 5 * 4 = 20
   3. Ohne die Klammern wäre die Lesart (2 + (3 * 4)) = 14

   Zwei Zeichen ändern die Antwort um sechs. Dieses Paar lohnt sich, nebeneinander einzugeben: Die geklammerte Ausgabe für (2 + 3) * 4 lautet ((2 + 3) * 4) und für 2 + 3 * 4 lautet sie (2 + (3 * 4)) — die beiden Lesarten unterscheiden sich an genau einer Stelle, und diese Stelle ist die, aus der die Antwort stammt.

3. sin(pi/2), im Bogenmaß

   1. pi ist die Konstante 3,141592653589793, pi/2 ist also 1,5707963267948966
   2. Der Winkelmodus ist Bogenmaß, diese Zahl ist der Winkel also so, wie sie dasteht
   3. Der Sinus eines Viertelkreises ist 1

   Derselbe Viertelkreis liest sich in Grad als 90. Der Winkelmodus ist keine Anzeigevorliebe — er entscheidet, welche Zahl die Funktion bekommt, und sin(90) im Bogenmaß wäre 0,893997, denn 90 Radiant sind etwa vierzehn Viertelkreise und ein bisschen.

Ein Ausdruck, und er muss Arithmetik sein. Variablen gibt es nicht, x + 1 lässt sich also nicht eingeben, und symbolisch vereinfacht wird nichts: Das Ausmultiplizieren zweier Klammern ist Sache eines anderen Rechners, und das Auflösen nach einer Variablen ebenfalls. Antworten sind ausschließlich dezimal — sechs Nachkommastellen beim Ergebnis, sehr große und sehr kleine Beträge als Mantisse mal Zehnerpotenz —, weil die Antwort eines wissenschaftlichen Taschenrechners hier eine Zahl ist und keine exakte Form; √72 kommt als 8,485281 zurück und nicht als 6√2, wofür der Quadratwurzel-Rechner zuständig ist. Angenommen werden die Funktionen sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, ln, log, log2, exp und abs, dazu die Konstanten pi und e. Das Malzeichen lässt sich nicht weglassen: 2pi, 2(3+4) und 2e3 werden alle zurückgewiesen statt erraten, und auf einen Funktionsnamen muss eine Klammer folgen, sin 30 wird also nicht angenommen. Ausdrücke sind auf 80 Zeichen, 48 Operationen und eine Zahl von einer Million begrenzt. Ergebnisse müssen endlich sein: Eine Division durch null, der Logarithmus von null oder einer negativen Zahl, die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl und der Tangens von 90 Grad werden als fehlgeschlagene Rechnung gemeldet und nicht als unendlich, und sie werden am Eingabefeld nicht markiert — es sind Werte, die es nicht gibt, und keine Schreibweisen, die falsch sind.

In welcher Reihenfolge wertet er den Ausdruck aus?

Zuerst die Potenzen, dann unäres Minus und Wurzeln, dann Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion, wobei die Klammern alles davon außer Kraft setzen. Innerhalb einer Stufe gruppieren die Operatoren von links, außer den Potenzen, die von rechts gruppieren. Es gilt also Punkt vor Strich, und 6 / 3 * 2 ist 4 statt 1, während 2^3^2 die 512 ergibt und nicht die 64.

Grad oder Bogenmaß — was soll ich einstellen?

Das, worin die Aufgabe geschrieben ist, und die Antwort ändert sich vollständig, wenn Sie falsch wählen: sin(30) ist 0,5 in Grad und -0,988032 im Bogenmaß. Enthält ein Ausdruck keine Trigonometrie, macht der Modus überhaupt keinen Unterschied — die Referenztabelle auf dieser Seite zeigt beide Spalten, damit genau zu sehen ist, welche Schritte er berührt.

Warum wird 2pi abgewiesen, wo die Multiplikation doch offensichtlich ist?

Weil sie nur für einen Menschen offensichtlich ist. 2e3 ist das Gegenbeispiel: Es ließe sich als Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise lesen oder als 2 mal die Konstante e mal 3, und die beiden Lesarten unterscheiden sich um den Faktor tausend. Statt sich für eine zu entscheiden und für die Hälfte der Eintippenden still falsch zu liegen, verlangt diese Seite das Zeichen: Schreiben Sie 2 * pi.

Warum scheitert eine negative Quadratwurzel, statt eine Antwort zu geben?

Weil keine reelle Zahl quadriert eine negative ergibt. sqrt(-4) hat auf der Zahlengeraden keinen Wert, die Rechnung wird deshalb als gescheitert gemeldet, mit der Begründung in der Browser-Konsole für alle, die es genau wissen wollen. cbrt nimmt negative Zahlen dagegen an, denn eine ungerade Wurzel einer negativen Zahl ist eine völlig brauchbare negative Zahl: cbrt(-27) ist -3.

Was bringt die vollständig geklammerte Ausgabe?

Sie ist der Ausdruck, so wie der Rechner ihn gelesen hat, mit einer Klammer um jede einzelne Operation. (sin(30) + ((2 ^ 3) * sqrt(16))) zu lesen sagt drei Dinge auf einmal, die die ursprüngliche Zeile nur andeutet: Die Addition kommt zuletzt, die Potenz gehört zur Multiplikation, und die Quadratwurzel ist ein eigener Faktor. Wenn eine Antwort falsch aussieht, steckt der Fehler meistens in genau dieser Zeile.

Wie exakt ist die Antwort?

Sie ist dezimal und auf sechs Nachkommastellen gerundet, sin(30) kommt also als 0,5 zurück und 1/3 als 0,333333. Sehr große und sehr kleine Ergebnisse wechseln zu einer Mantisse mit Zehnerpotenz, 2^100 wird deshalb als 1,267651 × 10^30 gezeigt und nicht als einunddreißigstellige Zahl. Wer die exakte Form einer Wurzel braucht, ist beim Wurzelterm-Rechner und beim Quadratwurzel-Rechner richtig.

• Order of operations — the precedence and associativity rules this page's bracketed reading makes visible — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric functions — the six functions this page accepts, and the angle their argument stands for — Wolfram MathWorld (United States)
• Radian — the other unit an angle can be written in, which is what the angle mode switches between — Wolfram MathWorld (United States)
• Rechenreihenfolge (Mathematik) — die Rangfolge der Rechenarten samt der Regel Punkt vor Strich und der Sonderstellung der Potenz — Rhetos Lexikon (Deutschland)
• Winkel — Bedeutung und Verwendung des Wortes in der deutschen Fachsprache, einschließlich der Unterscheidung von Grad und Bogenmaß — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Bogenmaß — die Definition des Winkels im Bogenmaß und die Umrechnung zwischen den beiden Einheiten — Mathebibel