Wurzelterm-Rechner

c√r → (c × m)√(r ÷ m²), wobei m² das größte Quadrat ist, das r teilt gleichartige Terme: k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r

√r

Die Wurzel selbst: die Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl r. Jeder Term auf dieser Seite ist ein Vielfaches einer solchen Wurzel, und zwei Terme sind genau dann gleichartig, wenn ihr r übereinstimmt — addiert wird der Koeffizient davor.

c

Der Koeffizient: die ganze Zahl vor der Wurzel, und 1, wenn nichts dasteht. Er zählt, wie viele Exemplare von √r addiert werden; 3√2 plus 2√2 sind also fünf davon, und 3√2 minus 3√2 lässt keines übrig.

r

Der Radikand: die Zahl unter dem Wurzelzeichen. Eine einzelne Wurzel zu vereinfachen heißt, das größte Quadrat m² zu finden, das r teilt, und m nach vorn zu holen; unter der Wurzel bleibt ein kleinerer Radikand zurück. Der kleinste Radikand, den ein Term erreichen kann, ist 1, und √1 ist einfach 1.

m²

Das größte Quadrat, das den Radikanden teilt — 36 für 72, 25 für 50, 4 für 8. Gerade das größte zu nehmen macht die Antwort zur einfachsten Form und nicht bloß zu einer kleineren: 72 geteilt durch 4 ergibt 18, und in der 18 steckt noch ein Quadratfaktor.

gleichartige Terme

Terme, deren Radikanden nach dem Vereinfachen übereinstimmen. Wurzeln zu addieren ist immer nur ein Zusammenzählen gleichartiger Terme: Der Radikand ist die Einheit, die gezählt wird, und er ändert sich beim Addieren nicht. Deshalb ergibt 6√2 plus 3√2 die 9√2 und nicht die 9√4.

Gebraucht wird das, wenn ein Wurzelterm — eine Summe aus Quadratwurzeln — in seiner einfachsten Form dastehen soll: zum Prüfen einer Hausaufgabe, zum Aufräumen eines Ergebnisses, bevor es in eine Formel wandert, oder um zu sehen, ob zwei Wurzeln, die verschieden aussehen, unter dem Strich dieselbe Zahl sind. Die zugehörige Probe besteht darin, den Koeffizienten zu quadrieren und wieder unter die Wurzel zu multiplizieren: 6√2 ist 36 × 2 = 72, also sind 6√2 und √72 tatsächlich dieselbe Zahl.

1. √72 + 3√2 - √8

   1. √72: 72 = 36 × 2, der größte Quadratfaktor 36 kommt als 6 heraus, es bleibt 6√2
   2. 3√2: Der Radikand 2 hat keinen Quadratfaktor, dieser Term ist bereits in der einfachsten Form
   3. √8: 8 = 4 × 2, die 4 kommt als 2 heraus, es bleibt -2√2
   4. Die drei Terme lauten jetzt 6√2 + 3√2 - 2√2 — alle Vielfache von √2, der Radikand bleibt also stehen und die Koeffizienten werden addiert
   5. 6 + 3 - 2 = 7, die Summe ist also 7√2
   6. 7√2 ist auf sechs Nachkommastellen 9,899495

   Der Standardfall und der Grund, warum es diese Seite gibt und nicht drei einzelne Vereinfachungen: Die drei Wurzeln sehen zunächst völlig unverwandt aus (72, 2 und 8) und erweisen sich als dieselbe Wurzel, 6-, 3- und 2-mal gezählt. Der Radikand ändert sich beim Addieren kein einziges Mal — nur die Anzahl davor.

2. √50 + 5 - √18

   1. √50: 50 = 25 × 2, die 25 kommt als 5 heraus, es bleibt 5√2
   2. √18: 18 = 9 × 2, die 9 kommt als 3 heraus, es bleibt -3√2
   3. Die 5 ist bereits eine ganze Zahl — unter einer Wurzel gibt es nichts zu vereinfachen
   4. Die Wurzelterme ergeben 5√2 - 3√2 = 2√2
   5. Die ganze Zahl bleibt, wo sie ist, die Antwort lautet also 5 + 2√2
   6. 5 + 2√2 ist auf sechs Nachkommastellen 7,828427

   Eine ganze Zahl und eine Wurzel sind nicht gleichartig, sie stehen deshalb nebeneinander, statt zu einer einzigen Zahl zusammenzugehen. Gedruckt werden sie trotzdem in einer festen Reihenfolge, die ganze Zahl zuerst — deshalb lautet die Antwort hier 5 + 2√2 und dieselbe Summe andersherum geschrieben ebenfalls 5 + 2√2.

3. √2 + √3, wo sich nichts zusammenfassen lässt

   1. √2: Der Radikand 2 hat außer der 1 keinen Quadratfaktor, es kommt nichts heraus
   2. √3: Auch die 3 hat keinen Quadratfaktor, es kommt nichts heraus
   3. Die beiden Radikanden sind 2 und 3 — nicht gleich, die Terme sind also nicht gleichartig
   4. Die Summe wird so hingeschrieben, wie sie dasteht: √2 + √3
   5. √2 + √3 ist auf sechs Nachkommastellen 3,146264

   Hier wird nichts getan, und genau das ist die Antwort: Wurzeln mit verschiedenen Radikanden lassen sich nicht in eine einzige Wurzel zusammenfassen, denn es gibt keine Zahl, deren Quadrat 5 ist und die für √2 + √3 einspringen könnte. Die Dezimalzahl wird trotzdem ausgegeben, der Wert ist vollkommen wohldefiniert — er hat nur keine kürzere exakte Form.

Nur Quadratwurzeln. Kubikwurzeln und höhere Wurzeln werden nach genau derselben Regel zusammengefasst — verglichen werden die Radikanden, addiert werden die Koeffizienten —, aber ihre Schreibweise braucht ein Zeichen, das den Wurzelexponenten mitführt, und dafür ist in der Notation dieser Seite kein Platz; höhere Wurzeln behandelt der Wurzel-Rechner, und zwar Term für Term. Zugelassen sind nur ganze Zahlen, im Koeffizienten wie unter der Wurzel: 2,5√2 hat die exakte Form (5√2)/2, die einen Bruch braucht, und √2,5 ist aus demselben Grund √10 ÷ 2. Negative Radikanden werden abgewiesen, weil keine reelle Zahl quadriert eine negative ergibt. Es werden bis zu acht Terme angenommen, und Koeffizient und Radikand sind je auf eine Million begrenzt. Die Dezimalstellen der Antwort sind auf sechs Nachkommastellen gerundet, also eine Näherung eines exakten Wertes und nicht dieser Wert selbst.

Was heißt es, eine Wurzel zu vereinfachen?

Jeden Quadratfaktor von unter der Wurzel nach vorn zu holen und dort als Koeffizienten zu schreiben. Aus √72 wird 6√2, weil 72 = 36 × 2 ist und 36 ein vollständiges Quadrat. Der Wert ändert sich dabei nicht — 6√2 ist 8,485281 und √72 ebenfalls —, aber diese Form ist die, mit der eine weiterführende Rechnung arbeiten kann.

Wann sind zwei Wurzeln gleichartig?

Wenn die Zahlen unter den Wurzelzeichen nach dem Vereinfachen gleich sind. 6√2 und 3√2 sind gleichartig und ergeben zusammen 9√2; √2 und √3 sind es nicht, und ihre Summe lässt sich nicht als eine einzige Wurzel schreiben. Addiert werden nur die Koeffizienten — der Radikand ist die Einheit, die gezählt wird, und bleibt deshalb stehen.

Warum wird die Antwort als exakte Form und nicht als Dezimalzahl gegeben?

Weil die meisten Wurzeln irrational sind und eine Dezimalzahl sie nur annähern kann. 7√2 ist der exakte Wert; 9,899495 ist dieselbe Zahl auf sechs Nachkommastellen gerundet und ab der siebten Stelle falsch. Die exakte Form zu behalten ist das, was die Antwort ohne aufsummierte Rundungsfehler in einen nächsten Schritt tragen kann.

Kann ich eine Kubikwurzel eingeben?

Auf dieser Seite nicht. ∛8 + ∛2 wird nach genau derselben Regel zusammengefasst wie die Quadratwurzeln, aber die Schreibweise müsste den Wurzelexponenten in das Wurzelzeichen setzen, und diese Seite druckt ein blankes √. Für einen einzelnen Term mit beliebigem Wurzelexponenten von 2 bis 12 ist der Wurzel-Rechner zuständig.

Warum darf eine ganze Zahl neben den Wurzeln stehen?

Weil eine ganze Zahl eine Wurzel ist, deren Radikand auf 1 heruntergekommen ist — √25 ist 5, und 5 ist 5√1. So behandelt, werden ganze Zahlen und Wurzeln nach einer einzigen Regel zusammengefasst, und nebenbei ergibt sich daraus die feste Reihenfolge der Ausgabe: 5 + √2, die ganze Zahl zuerst.

Wie prüfe ich das Ergebnis nach?

Man quadriert den Koeffizienten und multipliziert ihn wieder unter die Wurzel. 7√2 ergibt dabei 49 × 2 = 98 und damit nicht die Ausgangssumme — die Probe muss deshalb Term für Term erfolgen: 6√2 ist 36 × 2 = 72, 3√2 ist 18 und 2√2 ist 8, und 72 + 18 - 8 = 82. Das ist die Summe der Radikanden, wie sie dastanden, weshalb die Probe vor dem Zusammenfassen gemacht werden muss.

• Quadratic Surd — the canonical form a√b with b square-free, which is exactly what the simplified radicand column is — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign and the operation it names, including why two radicals can only be added when their radicands agree — Wolfram MathWorld (United States)
• Like terms — what makes two terms addable, which for radicals is decided by the number under the root — SplashLearn (United States)
• Wurzel — Bedeutung und Verwendung des Wortes in der deutschen Fachsprache, einschließlich der Unterscheidung von Radikand und Wurzelexponent — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Teilweises Wurzelziehen — das Herausziehen des größten Quadratfaktors aus einem Radikanden, also genau der Rechenschritt dieser Seite — Mathebibel