FOIL-Rechner

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd Erstes = ac Äußeres = ad Inneres = bc Letztes = bd

a, c

Die beiden Koeffizienten von x, einer aus jeder Klammer. Keiner von beiden darf null sein: Eine Klammer ohne x-Glied ist eine Konstante, und damit zu multiplizieren ist nicht mehr dieses Verfahren. Ihr Produkt ist das erste Glied der ausgeschriebenen Form, deshalb ist der führende Koeffizient der Antwort ac und nicht einfach a oder c.

b, d

Die beiden Konstanten. Sie dürfen null, negativ oder ein Bruch sein, und sie entscheiden zwei der vier Produkte: Das äußere Paar ad und das innere Paar bc addieren sich zum Mittelglied, während ihr Produkt bd die Konstante am Ende ist. Sind beide negativ, wird das letzte Glied dadurch wieder positiv.

Erstes, Äußeres, Inneres, Letztes

Die vier Produkte, in der Reihenfolge, in der das Verfahren sie benennt: erstes (ac), äußeres (ad), inneres (bc), letztes (bd). Das Mittelglied der ausgeschriebenen Form ist die Summe aus dem äußeren und dem inneren Produkt, und das ist der einzige Schritt, in dem zwei Zahlen sich verbinden, statt einfach hingeschrieben zu werden.

x

Die Variable, in der die beiden Klammern geschrieben sind. Sie trägt hier keinen Wert — die Antwort ist ein Term und keine Zahl, und deshalb ist die Hauptzeile Text und keine Zahlenspalte.

Man nimmt diese Seite, um zwei Klammern mit der Hand auszumultiplizieren und das Ergebnis Schritt für Schritt nachzuvollziehen. Der umgekehrte Weg — einen ausgeschriebenen quadratischen Term als Produkt zu schreiben — ist das Faktorisieren, und die Seite zur quadratischen Ergänzung beginnt beim selben Term von der anderen Seite her. Für die drei Sonderfälle, in denen die beiden Klammern gleich aussehen, gibt es eigene Namen: Stehen in beiden Klammern dieselben Zahlen mit demselben Vorzeichen, ist es die erste binomische Formel, unterscheiden sie sich nur im Vorzeichen des zweiten Glieds, die zweite, und stehen dort zwei Zahlen, deren Produkt sich zum Mittelglied aufhebt, die dritte binomische Formel — der Unterschied zwischen ihnen ist genau die Vorzeichenkombination in den vier Produkten.

1. (x + 2)(x + 3)

   1. Erstes: x × x = x², das erste Produkt ist also 1
   2. Äußeres: x × 3 = 3x, das äußere Produkt ist 3
   3. Inneres: 2 × x = 2x, das innere Produkt ist 2
   4. Letztes: 2 × 3 = 6
   5. Äußeres und Inneres verschmelzen zum Mittelglied: 3x + 2x = 5x
   6. Die ausgeschriebene Form ist x² + 5x + 6

   Der Standardfall und der, in dem alle vier Produkte positiv und alle vier verschieden sind. Das Mittelglied entsteht durch Addieren des äußeren und des inneren Produkts, und genau diesen Schritt lassen Leserinnen und Leser am häufigsten aus — dass beide Zahlen neben der Antwort aufgeführt werden, macht ihn nachprüfbar.

2. Wenn kein x-Koeffizient 1 ist

   1. Erstes: 2x × 3x = 6x², der führende Koeffizient ist also 6
   2. Äußeres: 2x × 4 = 8x
   3. Inneres: 1 × 3x = 3x
   4. Letztes: 1 × 4 = 4
   5. Mittelglied: 8x + 3x = 11x
   6. Die ausgeschriebene Form ist 6x² + 11x + 4

   Der führende Koeffizient ist hier ein Produkt und keine einzelne Zahl, er lässt sich also aus keiner der beiden Klammern allein ablesen. Am Verfahren ändert das nichts: Das Mittelglied ist weiterhin die Summe aus äußerem und innerem Produkt, und es ist die einzige Stelle, an der zwei der vier Zahlen verschmelzen.

3. Ein Produkt, dessen Mittelglied verschwindet

   1. Erstes: x × x = x²
   2. Äußeres: x × (−5) = −5x
   3. Inneres: 5 × x = 5x
   4. Letztes: 5 × (−5) = −25
   5. Äußeres und Inneres heben sich genau auf: −5x und +5x
   6. Ohne Mittelglied bleibt die ausgeschriebene Form x² − 25

   Der Fall, der belegt, dass das Mittelglied eine Summe und kein Produkt ist. Die vier benannten Produkte sind alle von null verschieden, und trotzdem hat die ausgeschriebene Form nur zwei Glieder — weil die beiden, die das Mittelglied bilden würden, gleich groß und entgegengesetzt sind. Eine Seite, die die vier Produkte druckte, ohne sie zu addieren, sähe aus, als hätte sie ein Glied verloren. Von den drei binomischen Formeln ist das die dritte, und sie ist die einzige, bei der nur zwei Glieder übrig bleiben.

Der Koeffizient von x muss in jeder der beiden Klammern von null verschieden sein. Ist einer davon null, gibt es kein x-Glied zum Paaren, der Ausdruck ist eine Konstante mal einer Klammer, und der erste Schritt des Verfahrens liefert nichts — die Eingabe wird deshalb abgewiesen und benannt. Alle vier Koeffizienten sind auf einen Betrag von einer Million begrenzt, weil das äußere und das innere Produkt addiert werden, bevor gerundet wird, und die größten Zwischenwerte darüber hinauswachsen, was ein Mensch noch mit dem Auge nachprüfen kann. Ergebnisse als Bruch werden als Bruch gedruckt, wenn der Nenner höchstens 1.000 beträgt und aufgeht, und sonst mit sechs Nachkommastellen, (x + 1/2)(x + 3) druckt also ein Halb und nicht null Komma fünf. Diese Seite multipliziert aus; sie faktorisiert nicht. Von einem ausgeschriebenen quadratischen Term zurück auf seine beiden Klammern zu kommen ist die umgekehrte Aufgabe, und die unternimmt die Seite nicht.

Warum werden das äußere und das innere Produkt addiert?

Weil beide ein x-Glied ergeben und gleichartige Glieder zusammengefasst werden. An dem Verfahren ist nichts optional: Die vier Produkte sind die vollständige Liste der Paare, und das Ergebnis ist ihre Summe. Äußeres und Inneres sind die einzigen beiden, die verschmelzen können, und deshalb hat die ausgeschriebene Form einer solchen Multiplikation drei Glieder und nicht vier.

Funktioniert das auch mit negativen Koeffizienten?

Ja, und das Vorzeichen wandert mit dem Glied, zu dem es gehört. In (x + 5)(x − 5) ist das äußere Produkt −5x und das innere +5x; die beiden heben sich auf, das Mittelglied verschwindet also ganz und es bleiben nur zwei Glieder übrig. Sind beide Konstanten negativ, ist das ein anderer Fall: Dann wird das letzte Produkt wieder positiv.

Darf der Koeffizient von x null sein?

Auf dieser Seite nicht. Eine Klammer, deren x-Koeffizient null ist, ist in Wahrheit eine Konstante, und damit zu multiplizieren ist gewöhnliche Arithmetik und nicht dieses Verfahren — der erste Schritt hätte nichts, was er hinschreiben könnte. Die Eingabe wird abgewiesen und benannt, statt stillschweigend als Konstante behandelt zu werden.

Warum fehlt manchmal ein Glied in der Antwort?

Weil sein Koeffizient zu null geworden ist. Wenn sich das äußere und das innere Produkt aufheben, gibt es überhaupt kein x-Glied, und die ausgeschriebene Form heißt x² − 25 und nicht x² + 0x − 25. Das leere Glied wegzulassen ist die Schreibregel, die diese Seite überall verwendet; die vier benannten Produkte zeigen weiterhin, was damit geschehen ist.

Warum werden Brüche als Brüche gedruckt?

Weil ein Bruch exakt bleibt, während eine Dezimalzahl nur eine seiner Schreibweisen ist. (x + 1/2)(x + 3) hat den x-Koeffizienten 7/2, und ihn als 3,5 zu drucken wäre hier richtig, würde aber ab dem nächsten Rechenschritt wandern. Gedruckt wird ein Bruch, wann immer der Nenner aufgeht und höchstens 1.000 beträgt, und auf sechs Nachkommastellen wird nur zurückgegriffen, wenn es nicht anders geht.

Woher kommt der Name FOIL, und was heißt er auf Deutsch?

Er ist ein englischer Merkspruch: die Anfangsbuchstaben von first, outer, inner und last, also erstes, äußeres, inneres und letztes Produkt. Ein deutsches Gegenstück gibt es nicht — im deutschen Unterricht heißt dieselbe Tätigkeit Ausmultiplizieren, und die drei Sonderfälle mit gleichen Klammern laufen unter den binomischen Formeln. Die vier Zeilen im Ergebnis tragen deshalb die deutschen Namen Erstes, Äußeres, Inneres und Letztes: Sie sind genau das, was die vier Buchstaben bezeichnen, und die Reihenfolge der Schritte ist in beiden Sprachen dieselbe.

• Quadratic Equation — the equation whose left-hand side the expansion produces, and the standard form the coefficients feed into — Wolfram MathWorld (United States)
• Completing the Square — the same quadratic expression taken the other way, from expanded form into a squared bracket — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve an expanded quadratic draws, and the reason its coefficients are worth getting right — Wolfram MathWorld (United States)
• Ausmultiplizieren — das Auflösen von Klammern und die binomischen Formeln als seine drei Sonderfälle — Mathebibel