Quadratische-Ergänzung-Rechner

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a

Der führende Koeffizient, der nicht null sein darf: Mit a = 0 gibt es keinen quadratischen Term, der Ausdruck ist eine Gerade statt einer quadratischen Funktion, und es gibt kein Quadrat zu ergänzen. Das Vorzeichen von a entscheidet, wohin die Parabel geöffnet ist — nach oben bei positivem, nach unten bei negativem a —, und sein Betrag entscheidet, wie schmal die Kurve verläuft.

b

Der Koeffizient des linearen Glieds. Er legt die waagerechte Lage des Scheitelpunkts fest: h ist −b geteilt durch 2a, ein positives b schiebt den Scheitelpunkt also nach links, ein negatives nach rechts. Sein Quadrat geht zusätzlich in k ein, weshalb ein großes b bei kleinem a den Scheitelpunkt weit nach oben oder unten verschiebt.

c

Das konstante Glied. Es verschiebt die ganze Parabel nach oben oder unten und bewegt den Scheitelpunkt kein Stück zur Seite — c steht nur in k, nie in h. Er bleibt eine Pflichteingabe, statt beim Weglassen als null behandelt zu werden: Sonst wäre das k in der ausgegebenen Form falsch, ohne dass auf der Seite irgendwo stünde, dass etwas angenommen wurde.

h

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts, gleich −b ÷ 2a. Das ist der Wert von x, bei dem das Quadrat verschwindet, und genau das heißt Scheitelpunkt hier: der tiefste Punkt der Kurve bei positivem a, der höchste bei negativem. In der ausgegebenen Form ist sein Vorzeichen in die Klammer eingerechnet, ein Scheitelpunkt bei −3 steht also als (x + 3)² und nicht als (x − (−3))².

k

Die y-Koordinate des Scheitelpunkts, gleich c − b² ÷ 4a. Das ist der Wert, den der ganze Term bei x = h annimmt, also das Minimum der quadratischen Funktion bei positivem a und ihr Maximum bei negativem. Ergibt k null, lässt die ausgegebene Form das konstante Glied ganz weg: Ein vollständiges Quadrat wird als (x + 3)² geschrieben und nicht als (x + 3)² + 0.

1. Quadratische Ergänzung für x² + 6x + 5

   1. Den Koeffizienten von x halbieren: 6 ÷ 2 = 3, die Klammer heißt also (x + 3)
   2. Diese Klammer quadrieren: (x + 3)² = x² + 6x + 9, das sind 4 mehr als der gegebene Term
   3. Den Überschuss wieder abziehen: (x + 3)² − 4
   4. Der Scheitelpunkt liegt bei (−3, −4), und der führende Koeffizient ist positiv, die Parabel ist also nach oben geöffnet

   Das Standardbeispiel und zugleich das, an dem sich die Rechnung durch Ausmultiplizieren nachprüfen lässt. Die Klammer ist so gewählt, dass ihr Quadrat die ersten beiden Glieder genau trifft; was dieses Quadrat zu viel liefert, wird wieder abgezogen, und das Ergebnis ist derselbe Term in anderer Gestalt. Aus dieser Gestalt liest man den Scheitelpunkt ohne jede Rechnung ab.

2. Eine Form, die als Bruch herauskommt

   1. 1 halbieren ergibt die Klammer: (x + 1/2)
   2. Ihr Quadrat ist x² + x + 1/4, also ein Viertel mehr als x² + x
   3. Das Viertel wieder abziehen: (x + 1/2)² − 1/4
   4. Der Scheitelpunkt liegt bei (−1/2, −1/4), was die beiden Zahlenspalten als −0,5 und −0,25 ausgeben

   Hier zahlt sich die Bruchschreibweise aus. Die Hälfte eines ungeraden Koeffizienten ist ein Bruch und bleibt über die ganze Rechnung einer, die ausgegebene Form ist damit exakt, während −0,5 und −0,25 nur zwei ihrer dezimalen Schreibweisen sind. Die beiden Zahlenspalten müssen dezimal rechnen, weil sie Zahlen und keine Schreibweise enthalten — und gerade hier lohnt es sich, jede der beiden um der anderen willen zu lesen.

3. Ein vollständiges Quadrat

   1. 6 halbieren ergibt die Klammer: (x + 3)
   2. Ihr Quadrat ist x² + 6x + 9 und damit genau der gegebene Term
   3. Es bleibt nichts übrig, das konstante Glied fällt aus der ausgegebenen Form heraus
   4. Der Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse, bei (−3, 0)

   Der Fall, der zeigt, warum das konstante Glied weggelassen und nicht als + 0 gedruckt wird. Ist der Term bereits ein vollständiges Quadrat, berührt der Scheitelpunkt die x-Achse, und die fertige Form hat zwei Glieder statt drei. Dass der Schluss fehlt, ist selbst die Information: Er sagt, dass die quadratische Gleichung eine doppelte Wurzel hat — genau das, was die Wurzelseite als eine einzige Lösung melden würde.

Der führende Koeffizient darf nicht null sein. Mit a = 0 ist der Ausdruck linear, sein Graph eine Gerade, und der Begriff der quadratischen Ergänzung trifft nicht mehr zu — die Seite weist diese Eingabe ab, statt auf dem Weg zu h durch null zu teilen. Alle drei Koeffizienten sind auf einen Betrag von einer Million begrenzt, weil die Scheitelpunktkoordinaten mit dem Quadrat von b wachsen und die k-Spalte darüber hinaus in die Hundertmilliarden läuft und keine Zahl mehr ist, mit der sich etwas anfangen lässt. Zahlen in der ausgegebenen Form stehen als Bruch, wenn der Nenner aufgeht und höchstens 1.000 beträgt, sonst mit sechs Nachkommastellen; die beiden benannten Spalten rechnen immer dezimal, weil sie Zahlen und keine Schreibweise enthalten. Diese Seite löst die quadratische Gleichung nicht. Sie gibt den Term in der Scheitelpunktform und die Koordinaten des Scheitelpunkts aus, und die Wurzeln — die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse — rechnet die Seite zur Mitternachtsformel, auf die von hier verwiesen wird. Ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist, steht ebenfalls nicht im Ergebnis: Das entscheidet das Vorzeichen des führenden Koeffizienten, und dieses Vorzeichen sehen Sie im ersten Eingabefeld, nicht in einer der drei Ergebniszeilen.

Was macht die quadratische Ergänzung?

Sie schreibt einen quadratischen Term in die Scheitelpunktform a(x − h)² + k um, sodass der Scheitelpunkt der Parabel direkt am Term abgelesen werden kann, statt eigens berechnet zu werden. Das Verfahren besteht darin, den Koeffizienten von x zu halbieren, die entstehende Klammer zu quadrieren und den Überschuss wieder abzuziehen. Am Wert des Terms ändert das nichts, nur an seiner Gestalt.

Warum stehen die Zahlen manchmal als Bruch da?

Weil die Hälfte eines ungeraden Koeffizienten ein Bruch ist und ein Bruch über die weitere Rechnung exakt bleibt. 1/2 als 0,5 zu schreiben sieht harmlos aus, bis der nächste Schritt damit multipliziert — dann muss gerundet werden, und das Ergebnis wandert. Die ausgegebene Form verwendet einen Bruch, wann immer der Nenner aufgeht und höchstens 1.000 beträgt, und greift nur dann auf sechs Nachkommastellen zurück, wenn das nicht geht.

Woran erkenne ich, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist?

Am Vorzeichen des führenden Koeffizienten a: positiv heißt nach oben geöffnet, negativ nach unten. Diese Seite gibt das nicht als Ergebniszeile aus, weil das Vorzeichen von a in keinem ihrer drei Ergebnisse vorkommt — es steht im ersten Eingabefeld, und die Gestalt der Scheitelpunktform spiegelt es wider. Bei positivem a ist der Scheitelpunkt das Minimum der quadratischen Funktion, bei negativem ihr Maximum.

Löst diese Seite die quadratische Gleichung?

Nein. Sie gibt den Term in der Scheitelpunktform und die Koordinaten des Scheitelpunkts aus. Lösen heißt, die Werte von x zu finden, bei denen der Term null wird — das sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse —, und das macht die Seite zur Mitternachtsformel, auf die hier verwiesen wird. Beide Seiten nehmen dieselben drei Koeffizienten und geben Verschiedenes zurück: die eine einen Term, die andere die Wurzeln.

Warum fehlt das konstante Glied manchmal in der Antwort?

Weil es null geworden ist. Ist die quadratische Funktion bereits ein vollständiges Quadrat, liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse, und die ausgegebene Form lässt das konstante Glied weg, statt + 0 zu drucken: Das Quadrat von x + 3 heißt (x + 3)² und nicht (x + 3)² + 0. Der fehlende Schluss ist dabei aussagekräftig — er sagt, dass die Gleichung genau bei diesem x eine doppelte Wurzel hat.

Warum darf der führende Koeffizient nicht null sein?

Weil es dann kein quadratisches Glied mehr gibt, der Ausdruck also eine Gerade beschreibt und nichts zu ergänzen ist. Die Division durch 2a auf dem Weg zum Scheitelpunkt wäre zugleich eine Division durch null, und der Scheitelpunkt einer Geraden ist kein Punkt im selben Sinn. Die Seite weist die Eingabe ab und benennt sie, statt eine sinnlose Form auszugeben.

• Completing the Square — the algebraic procedure, its use in deriving the quadratic formula, and the vertex form it produces — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic Equation — the equation this page's expression belongs to, and where the roots that this page does not compute come from — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve the expression draws, with the vertex at the point this page reports — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratische Ergänzung — die deutsche Darstellung des Verfahrens, Schritt für Schritt mit Beispielen — Mathebibel