Scheitelpunktform-Rechner

y = ax² + bx + c → h = −b ÷ (2a) → k = c − b² ÷ (4a) → y = a(x − h)² + k

a

Die Streckung und die Richtung. Es ist dieselbe Zahl wie in der allgemeinen Form — die Scheitelpunktform ändert nichts an ihr —, und sie steht jetzt vor der Klammer. Ein positives a öffnet die Parabel nach oben, ein negatives nach unten, und sein Betrag entscheidet, wie schmal sie verläuft: |a| über 1 ist schmaler als das schlichte x², unter 1 breiter.

h

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts, und das ist der Wert, um den die Klammer herum gebaut wird. Sein Vorzeichen kehrt sich beim Eintritt in die Klammer um: ein Scheitelpunkt bei x = −3 wird als (x + 3) geschrieben. Er ist zugleich die Symmetrieachse, und auf der senkrechten Geraden x = h sitzt der höchste oder tiefste Punkt der Kurve.

k

Die y-Koordinate des Scheitelpunkts: der Wert, den die Kurve dort annimmt, und damit ihr kleinster bei nach oben geöffneter und ihr größter bei nach unten geöffneter Parabel. Es ist das, was übrig bleibt, nachdem das Quadrat den Rest erklärt hat, und k = 0 ist der Sonderfall, in dem der Scheitelpunkt genau auf der x-Achse landet.

x, y

Die beiden Variablen der fertigen Gleichung. Jedes Paar, das sie erfüllt, liegt auf der Kurve, die Scheitelpunktform beschreibt die Parabel also vollständig — dieselbe Beschreibung wie die allgemeine Form, nur so angeordnet, dass der interessante Punkt der ablesbare ist.

Man nimmt sie, wenn eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form dasteht und man wissen will, wo die Kurve umkehrt — das Maximum eines Gewinns, das Minimum eines Aufwands, der höchste Punkt eines geworfenen Balls —, oder wenn man sie skizzieren muss, denn Scheitelpunkt und Öffnungsrichtung sind schon der größte Teil der Gestalt. Sie ist außerdem die Gestalt, nach der man greift, wenn umgekehrt der Scheitelpunkt gegeben ist und die allgemeine Form gesucht wird: dann liest man dieselbe Rechnung rückwärts. Jede quadratische Funktion hat eine, und mehr als die drei Koeffizienten braucht es nicht, um sie zu finden.

1. y = 2x² − 4x + 1 — ein führender Koeffizient ungleich 1

   1. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts: h = −b ÷ (2a) = 4 ÷ 4 = 1
   2. Die y-Koordinate: k = c − b² ÷ (4a) = 1 − 16 ÷ 8 = 1 − 2 = −1
   3. Die Klammer wird um h = 1 herum gebaut, sie heißt also (x − 1)
   4. Der führende Koeffizient 2 tritt vor die Klammer: y = 2(x − 1)² − 1

   Die Probe ist das Zurück-Ausmultiplizieren: 2(x − 1)² = 2x² − 4x + 2, und mit der −1 dahinter steht wieder 2x² − 4x + 1 da, also der Ausgangsterm. Genau das macht diese Antwort zu einer Umschreibung und nicht zu einer anderen Kurve — dieselbe Parabel, beschrieben über ihren tiefsten Punkt statt über ihre Koeffizienten. Die 2 vor der Klammer arbeitet dabei wirklich und verschwindet nicht; ein führender Koeffizient von 1 ist der einzige, bei dem die Klammer allein stehen bleibt.

2. y = −x² + 4 — nach unten geöffnet, ganz ohne lineares Glied

   1. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts: h = −0 ÷ (2 × (−1)) = 0
   2. Die y-Koordinate: k = 4 − 0 = 4
   3. Mit h = 0 hieße die Klammer (x − 0) und fällt damit zu einem bloßen x² zusammen
   4. Ein führender Koeffizient von −1 wird als einzelnes Minuszeichen geschrieben: y = −x² + 4

   Der Fall, in dem Scheitelpunktform und allgemeine Form dieselbe Zeichenkette sind, und das ist der Punkt: Ist b null, sitzt der Scheitelpunkt bereits auf der y-Achse, es war also nichts zu verschieben und nichts zu ergänzen. Die Antwort ist deshalb eher als Beschreibung zu lesen denn als Veränderung — die Kurve öffnet nach unten und kehrt bei (0, 4) um, vier Einheiten über dem Ursprung.

3. y = 0,5x² + 3x + 0,5 — ein führender Koeffizient als Bruch

   1. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts: h = −3 ÷ (2 × 0,5) = −3
   2. Die y-Koordinate: k = 0,5 − 9 ÷ 2 = 0,5 − 4,5 = −4
   3. Die Klammer wird um h = −3 herum gebaut und heißt deshalb (x + 3) — das Vorzeichen kehrt sich um
   4. Ein Halb wird als Bruch gedruckt und eingeklammert, weil 1/2(x + 3)² als 1 geteilt durch 2(x + 3)² gelesen würde: y = (1/2)(x + 3)² − 4

   Das Ausmultiplizieren bestätigt es: (1/2)(x + 3)² = 0,5x² + 3x + 4,5, und 4,5 − 4 bringt die Konstante auf 0,5 zurück. Der Bruch steht da, weil die Koeffizienten Brüche waren, und nicht, weil etwas gerundet worden wäre — 1/2 ist exakt, wo 0,5 dieselbe Zahl ist, und die gedruckte Gestalt ist die, die man mit der Hand schreibt.

Der führende Koeffizient darf nicht null sein. Mit a = 0 gibt es kein Quadrat zu ergänzen und keinen Scheitelpunkt zu melden, weil der Graph eine Gerade ist: Die Seite weist diese Eingabe ab, statt eine Antwort zu erfinden. Die Koeffizienten sind auf einen Betrag von einer Million begrenzt, und ein sehr kleines a zusammen mit einem sehr großen b wird ebenfalls abgewiesen, weil der Scheitelpunkt dann über die Stelle hinausgeschoben würde, an der die Zahl noch etwas bedeutet. Die Gleichung wird gedruckt und nicht gelöst: Diese Seite sagt Ihnen nicht die Wurzeln, also nicht, wo die Kurve die x-Achse schneidet, und auch nicht den y-Wert an irgendeinem anderen x — die Wurzeln rechnet die Seite zur Mitternachtsformel, und die Scheitelpunktform wieder auszumultiplizieren ist die Aufgabe der Seite zum Ausmultiplizieren von Klammern. Zahlen werden als Bruch gedruckt, wenn der Nenner klein genug zum Lesen ist, und sonst mit sechs Nachkommastellen, ein Scheitelpunkt bei einem Drittel kommt also als 0,333333 heraus. Einheiten trägt hier nichts, weil die Koeffizienten einer quadratischen Funktion Zahlen sind und keine Messwerte.

Was ist die Scheitelpunktform?

Sie lautet y = a(x − h)² + k und ist eine Art, eine quadratische Funktion zu schreiben, die den Scheitelpunkt sichtbar macht: Der Umkehrpunkt der Parabel ist der Punkt (h, k), und beide Koordinaten lassen sich ohne jede Rechnung aus der Gleichung ablesen. Die allgemeine Form ax² + bx + c beschreibt dieselbe Kurve — die beiden sind Umstellungen voneinander, und a ist in beiden dieselbe Zahl.

Worin unterscheidet sich diese Seite von der zur quadratischen Ergänzung?

Die Rechnung ist dieselbe und der Scheitelpunkt kommt identisch heraus, weil beide Seiten dieselben drei Koeffizienten annehmen. Der Unterschied ist die Antwort: Die andere Seite druckt den umgeschriebenen Term a(x − h)² + k und erklärt den Weg dorthin; diese Seite druckt die Gleichung der Parabel y = a(x − h)² + k und handelt davon, den Graphen zu lesen — wo er umkehrt, wohin er sich öffnet, wie breit er ist.

Woran erkenne ich, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist?

Am Vorzeichen von a, der Zahl vor der Klammer. Positiv heißt nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist dann der tiefste Punkt der Kurve und k ihr Minimum; negativ heißt nach unten geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt und k das Maximum. Die Seite druckt dazu kein Urteil, weil das Vorzeichen von a keine ihrer Ausgaben ist — es steht aber in der Gleichung, direkt vor der Klammer.

Wo liegt die Symmetrieachse?

Bei x = h, also auf der senkrechten Geraden durch den Scheitelpunkt — dasselbe h, das in der Klammer steht. Über diese Gerade ist die Parabel ein Spiegelbild ihrer selbst, und genau deshalb ist der Scheitelpunkt überhaupt der Umkehrpunkt: Alles links von ihm ist die Spiegelung von etwas rechts von ihm. Daraus folgt auch, dass die beiden Wurzeln, wenn es sie gibt, denselben Abstand zu beiden Seiten haben, ihr Mittelwert ist also h.

Warum stehen in der Gleichung manchmal Brüche?

Weil der exakte Wert ein Bruch war. Eine Dezimalzahl, die nach wenigen Stellen endet und einen kleinen Nenner hat, wird als Bruch gedruckt — 0,5 als 1/2, 0,25 als 1/4 —, weil man sie so mit der Hand schreibt und weil 1/2 exakt ist und nicht ungefähr 0,5. Alles Längere wird als Dezimalzahl mit sechs gerundeten Stellen gedruckt, ein Scheitelpunkt bei einem Drittel erscheint also als 0,333333.

Warum fehlt der letzte Summand manchmal in der Antwort?

Weil die y-Koordinate des Scheitelpunkts null ist und ein Summand, der immer null ergibt, die Gleichung nur länger machen würde. Das passiert genau dann, wenn die Kurve die x-Achse berührt statt sie zu schneiden — der Scheitelpunkt liegt auf der Achse, und die quadratische Funktion ist ein vollständiges Quadrat. y = (x + 1)² ist also eine vollständige Scheitelpunktform und keine abgeschnittene.

• Parabola vertex — the point this page reports, and why the curve turns around there — Wolfram MathWorld (United States)
• Vertex — the same notion for curves in general, of which the parabola's turning point is one case — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic polynomial — ax² + bx + c and the several ways it can be written, vertex form among them — Wolfram MathWorld (United States)
• Scheitelpunktform — die deutsche Darstellung der Umformung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform, mit Beispielen — Mathebibel