Quadratische-Gleichungen-Rechner

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a

a

Der Koeffizient von x². Er darf nicht null sein: Mit a = 0 ist die Gleichung eine verkleidete Gerade, sie hat eine einzige Lösung statt zweier, und die Formeln für Summe und Produkt teilen beide durch a. Die Seite weist diese Eingabe ab und sagt, welcher Koeffizient fehlt, statt eine andere Aufgabe zu beantworten.

b

Der Koeffizient von x. Sein Vorzeichen ist das, was das Plusminus in der Formel liest, und hier lauert auch die Auslöschung: Ist b groß und liegen die beiden Wurzeln weit auseinander, dann kostet die Subtraktion der einen Wurzel von der anderen Stellen. Die Seite vermeidet diese Subtraktion, statt zu hoffen, dass sie nicht ins Gewicht fällt.

c

Das konstante Glied. Es ist das Produkt der beiden Wurzeln, multipliziert mit a, und damit die schnellste Probe, die ohne Rechner zu haben ist: Ergeben die erwarteten Wurzeln nicht c ÷ a, stimmt weiter oben etwas nicht. Ist c null, so ist eine Wurzel null und die andere −b ÷ a, was ohne Sonderfall aus der Formel fällt.

Δ = b² − 4ac

Die Diskriminante, die eine Zahl, die über die Gestalt der Antwort entscheidet. Positiv heißt zwei verschiedene reelle Wurzeln, null heißt eine doppelte reelle Wurzel, negativ heißt die Wurzeln sind komplex und kommen als konjugiertes Paar. Die Seite verwendet sie zweimal — einmal, um auszuwählen, welche Wurzeln zu rechnen sind, einmal, um die Marke über dem Ergebnis zu setzen —, und beide Lesarten stammen aus demselben Wert, können sich also nicht widersprechen.

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

Die Formel selbst. Das Plusminus erzeugt aus einem Ausdruck die beiden Wurzeln, und die Wurzel ist der einzige Schritt, der in den reellen Zahlen scheitern kann: Ein negatives Δ hat keine reelle Quadratwurzel, und genau dieser Fall wird hier dennoch beantwortet, in den komplexen Zahlen. Die Division durch 2a ist der Grund, warum a nicht null sein darf.

x₁ + x₂ = −b ÷ a

Die Summe der Wurzeln, eine der Formeln von Vieta. Sie steht hier, weil sie den komplexen Fall unverändert übersteht: Die Wurzeln von x² − 2x + 5 sind 1 + 2i und 1 - 2i, und sie addieren sich trotzdem zu 2. Wer vermutet, die Seite erfinde bei negativer Diskriminante Antworten, kann diese Spalte nachrechnen und findet sie mit der eingetippten Gleichung im Einklang.

x₁ · x₂ = c ÷ a

Das Produkt der Wurzeln, die zweite Formel von Vieta, und die Probe, die einen Vorzeichenfehler im konstanten Glied auffängt. Bei einer normierten Gleichung ist es einfach c: x² − 3x + 2 zerfällt in (x − 1)(x − 2), die Wurzeln multiplizieren sich also zu 2, und die Summe ist 3. Wie die Summe bleibt es unverändert, wenn die Wurzeln komplex sind.

b² − 4ac = 0

Der Grenzfall, in dem die beiden Wurzeln zu einer zusammenfallen und die Seite in beiden Zeilen denselben Wert ausgibt. Er ist nicht selten: Er ist die Bedingung dafür, dass ein vollständiges Quadrat vorliegt, und taucht deshalb in jeder Faktorisierungsübung auf. Die Marke über dem Ergebnis wechselt dann ihren Text, und das ist die einzige Stelle der Seite, an der die Anzahl der Wurzeln in Worten dasteht.

Geeignet ist die Formel für jede Gleichung mit einem x², deren Wurzeln Sie wissen wollen, und das sind in der Praxis drei Situationen: eine Übungsaufgabe, bei der kein Faktorisieren ins Auge springt, ein Modell, dessen Koeffizienten aus Messungen stammen und daher nichts zum Ausklammern hergeben, und der Fall, in dem die Antwort bekanntermaßen komplex ist und die reelle Betrachtung Sie mit leeren Händen zurückließe. Sie ist außerdem das Werkzeug, um eine bereits durchgeführte Faktorisierung nachzuprüfen: Summe und Produkt der Wurzeln stehen im Ergebnis, (x − 1)(x − 2) lässt sich also bestätigen, ohne die Klammern wieder auszumultiplizieren. Steigt im Mathematik-Unterricht die Frage nach der Scheitelpunktform auf, gehört sie auf die Seite zur quadratischen Ergänzung; stellt sich heraus, dass a null ist, ist es eine Gerade, und dafür ist die Seite zur Steigung zuständig.

1. x² − 3x + 2 = 0

   1. Die Diskriminante: Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
   2. Δ ist positiv, die beiden Wurzeln sind also reell und verschieden
   3. √Δ = 1, die Wurzeln sind damit (3 + 1) ÷ 2 = 2 und (3 − 1) ÷ 2 = 1
   4. Die absteigende Reihenfolge setzt die 2 in die erste Zeile, und die Proben stimmen: 2 + 1 = 3 und 2 × 1 = 2

   Die Gleichung, mit der die meisten Leserinnen und Leser ankommen, und zugleich die, die sich sauber zu (x − 1)(x − 2) faktorisieren lässt — jede Zahl im Ergebnis lässt sich also durch Ausmultiplizieren der Faktoren bestätigen. Es ist außerdem der Fall, der zu einfach für einen Rechner aussieht, und das ist der Punkt: Das Ergebnis zeigt seine Rechnung an einer Aufgabe, deren Lösung Sie schon kennen, und dieselben fünf Zeilen kommen für eine zurück, bei der Sie sie nicht kennen.

2. x² − x − 1 = 0

   1. Die Diskriminante: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
   2. Δ ist positiv, aber keine Quadratzahl, die Wurzeln sind also irrational
   3. √5 = 2,2360679…, die Wurzeln sind damit (1 + 2,2360679…) ÷ 2 und (1 − 2,2360679…) ÷ 2
   4. Auf sechs Nachkommastellen gerundet: 1,618034 und −0,618034

   Der Goldene Schnitt, und der Fall, der zeigt, warum Brüche nur ausgegeben werden, wenn sie exakt sind. Es gibt keinen Bruch, der (1 + √5) ÷ 2 gleichkommt, die Antwort ist also eine Dezimalzahl — und wer 1,618034 liest, weiß, dass gerundet wurde, während dieselbe Zahl als Bruch exakt aussähe. Die beiden Wurzeln multiplizieren sich außerdem zu genau −1, eine jener Koinzidenzen, die eher die Rechnung bestätigen als die Eingabe. Der Rechner gibt die beiden Wurzeln als Zeichenketten aus und schreibt sie deshalb mit Punkt: 1.618034 statt 1,618034 — dieselbe Zahl, nur die Schreibweise der Maschine. In den restlichen Zeilen dieser Beispiele steht die deutsche Schreibweise mit Komma.

3. 2x² + 3x − 2 = 0

   1. Die Diskriminante: Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
   2. √Δ = 5, die Wurzeln sind also (−3 + 5) ÷ 4 = 1/2 und (−3 − 5) ÷ 4 = −2
   3. Die erste Wurzel ist als Bruch exakt, sie wird deshalb als 1/2 ausgegeben und nicht als 0,5
   4. Die Proben: 1/2 + (−2) = −1,5 und 1/2 × (−2) = −1

   Der Fall, der über die Schreibweise der Wurzeln entscheidet. Beide Wurzeln sind exakt darstellbar, und die kleinere ist eine ganze Zahl, während die größere ein Bruch ist — wer angenommen hätte, »Wurzeln werden dezimal ausgegeben«, läge in der ersten Zeile falsch und in der zweiten richtig. Lesbar wird der Bruch erst durch Summe und Produkt: Dass −1,5 die Summe aus 1/2 und −2 ist, sieht man nicht auf Anhieb, und die Gegenrechnung kostet eine Zeile.

4. x² − 2x + 5 = 0

   1. Die Diskriminante: Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
   2. Δ ist negativ, die Wurzeln sind also komplex und bilden ein konjugiertes Paar
   3. Der Realteil ist −b ÷ 2a = 1, der Imaginärteil √16 ÷ 2 = 2
   4. Beide Wurzeln werden ausgegeben, und die Formeln von Vieta gelten weiter: Sie addieren sich zu 2 und multiplizieren sich zu 5

   Hier trennt sich diese Seite von denen, die »keine reellen Lösungen« ausgeben und aufhören. Die beiden Wurzeln sind vollkommen bestimmte Zahlen, und die beiden Probenspalten belegen es: 2 und 5 sind die Summe und das Produkt, die die Gleichung verlangt, und dieselben Werte kämen zurück, wären die Wurzeln reell. Wer gehört hat, es gebe keine Lösung, sollte die letzten beiden Zeilen dieses Beispiels lesen, bevor er das glaubt.

5. x² − 4x + 4 = 0

   1. Die Diskriminante: Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
   2. Δ ist genau null, die beiden Wurzeln fallen also zusammen
   3. Die doppelte Wurzel ist −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2
   4. Die Seite gibt in beiden Zeilen 2 aus, und die Summe ist 4, weil die Wurzel zweimal gezählt wird

   Der Grenzfall, für den es die Marke über dem Ergebnis gibt. Die Gleichung ist (x − 2)², beide Zeilen sagen also 2, und an dem Paar sieht nichts nach einem Fehler aus — wer aber Zeilen zählt, käme auf zwei Wurzeln, wo eine steht. Die Marke über dem Ergebnis sagt: eine doppelte reelle Wurzel, und dass die Summe 4 statt 2 ist, ist die Rechnung, die dieser Auskunft zustimmt.

Diese Seite löst quadratische Gleichungen und hört dort auf. Gleichungen dritten und vierten Grades haben ihre eigenen Verfahren und ihre eigenen Seiten; nichts hier lässt sich auf sie übertragen. Ein führender Koeffizient von null wird abgewiesen und nicht stillschweigend als lineare Gleichung behandelt, weshalb bx + c = 0 auf die Seite zur Steigung gehört, die diese Gestalt abdeckt. Bei negativer Diskriminante werden die Wurzeln als komplexe Zahlen der Gestalt a ± bi ausgegeben, was zum Lesen und Nachprüfen reicht, aber kein vollständiges Werkzeug für komplexe Arithmetik ist — zwei davon von Hand zu multiplizieren, bleibt Ihnen überlassen. Irrationale Wurzeln stehen mit sechs Nachkommastellen, und das ist eine Anzeigegrenze und keine Genauigkeitsgrenze: Gerechnet wird durchgehend in voller Genauigkeit, gerundet wird erst auf dem Weg nach draußen. Die Reihenfolge der beiden Wurzeln ist eine Festlegung und nicht von der Formel vorgegeben; ein Lehrbuch, das sie andersherum auflistet, widerspricht dieser Seite nicht, sondern ordnet sie nur anders. Die Koeffizienten sind auf einen Betrag von einer Million begrenzt, was ein Anzeigebereich ist und kein mathematischer. Und Summe und Produkt der Wurzeln werden mit denselben sechs Nachkommastellen ausgegeben wie alles andere: Eine exakte Summe von einem Drittel käme als 0,333333 zurück — die Bruchregel gilt für die beiden Wurzelzeilen, nicht für diese beiden Prüfspalten.

Was mache ich bei negativer Diskriminante?

Die beiden Wurzeln lesen, die die Seite trotzdem ausgibt. Eine negative Diskriminante heißt, dass die Lösungen ein konjugiertes Paar komplexer Zahlen sind und nicht zwei reelle, und sie sind vollkommen bestimmt: x² − 2x + 5 hat die Wurzeln 1 + 2i und 1 - 2i. Viele Lehrbücher hören bei »keine reellen Lösungen« auf, was wahr, aber unvollständig ist — die Gleichung hat weiterhin zwei Lösungen, und die Spalten für Summe und Produkt bestätigen sie.

Welche Wurzel ist die erste?

Die größere der beiden. Das Plusminus in der Formel ordnet die Wurzeln nicht, die Seite muss es also selbst tun, und sie wählt die absteigende Reihenfolge — Wurzel 1 ist damit nie kleiner als Wurzel 2. Das ist wichtiger, als es klingt: Ohne feste Ordnung würde ein Vorzeichenwechsel bei b die beiden Zeilen vertauschen, und wer zwei Rechnungen vergleicht, hielte die Ergebnisse für geändert.

Warum steht eine Wurzel manchmal als Bruch und manchmal als Dezimalzahl?

Brüche werden ausgegeben, wenn sie exakt sind und der Nenner klein bleibt, Dezimalzahlen sonst. 2x² + 3x − 2 hat die Wurzeln 1/2 und −2, und 1/2 ist zugleich exakt und kurz, steht also als Bruch da — 0,5 an dieser Stelle würde einen gerundeten Wert nahelegen. Der Goldene Schnitt ist (1 + √5) ÷ 2, gar kein Bruch, und erscheint deshalb als 1.618034; der Punkt sagt Ihnen, dass es eine Näherung ist.

Was passiert, wenn a null ist?

Die Seite weist die Eingabe ab, statt sie zu lösen. Mit a = 0 lautet die Gleichung bx + c = 0, das ist eine Gerade mit der einzigen Lösung −c ÷ b, und die Formeln für Summe und Produkt der Wurzeln teilen beide durch a und besagen nichts mehr. Die Seite zur Steigung deckt Gleichungen dieser Gestalt ab, und die Abweisung nennt sie als die Stelle, an die es weitergeht.

Wofür braucht man die Diskriminante?

Sie ist die eine Zahl, die Ihnen sagt, in welchem der drei Fälle Sie sich befinden, bevor irgendetwas anderes gerechnet wird: Δ = b² − 4ac. Positiv heißt zwei verschiedene reelle Wurzeln, null heißt eine doppelte reelle Wurzel, negativ heißt ein konjugiertes Paar komplexer Wurzeln. Sie steht in der Formel unter der Wurzel, ihr Vorzeichen ist also genau die Frage, ob es überhaupt eine reelle Quadratwurzel zu ziehen gibt.

Kann ich damit eine Faktorisierung nachprüfen?

Ja, und dafür sind die Spalten für Summe und Produkt da. Wenn Sie glauben, x² − 3x + 2 zerfalle in (x − 1)(x − 2), dann sollten die Wurzeln 1 und 2 sein, ihre Summe 3 und ihr Produkt 2 — genau das steht im Ergebnis. Ein Vorzeichenfehler im konstanten Glied zeigt sich sofort als Produkt mit falschem Vorzeichen, und das geht schneller, als die Klammern wieder auszumultiplizieren.

• Quadratic Equation — the formula, the discriminant and the three cases it distinguishes, including the complex roots this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• Discriminant — how a single combination of the coefficients determines the number and nature of the roots — Wolfram MathWorld (United States)
• Vieta's Formulas — the relations between the coefficients of a polynomial and the sums and products of its roots, which this page prints as a check — Wolfram MathWorld (United States)
• Mitternachtsformel — die deutsche Darstellung der Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung, mit Herleitung und Beispielen — Mathebibel