Logarithmus-Rechner

log_b(x) = ln x / ln b b^y = x ⟺ y = log_b(x)

x

Das Argument, die Zahl, von der der Logarithmus genommen wird. Es muss positiv sein: Der Logarithmus von 0 läuft gegen minus unendlich, und der Logarithmus einer negativen Zahl ist überhaupt keine reelle Zahl. Beides wird abgewiesen, statt einen Wert zu drucken, der wie eine Antwort aussieht.

b

Die Basis, die Zahl, die potenziert wird. Sie muss positiv und darf nicht 1 sein, denn 1 hoch irgendetwas ist immer noch 1: Das einzige Argument, das zur Basis 1 überhaupt einen Logarithmus hat, ist die 1 selbst, und damit sagt die Gleichung nichts mehr über das Argument aus. Die Seite weist die Basis 1 deshalb ab, statt den Wert zu drucken, den die Gleitkommadivision gerade liefert.

log_b(x)

Der Logarithmus zur eingegebenen Basis, der Hauptwert. Er ist der Exponent, der die Basis in das Argument verwandelt: der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 ist 3, weil 10 hoch 3 gleich 1000 ist. Rückwärts gelesen ist das zugleich die Anzahl der Male, die die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss — genau das macht den Logarithmus zum natürlichen Werkzeug für alles, was sich wiederholt vervielfacht.

ln x

Der natürliche Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e mit e etwa 2,718281828. Er wird unabhängig von der eingegebenen Basis immer zur Basis e gerechnet. Er ist der Logarithmus, in dem die Analysis geschrieben wird, und derjenige, für den ein wissenschaftlicher Taschenrechner eine eigene Taste hat. Halbwertszeit und stetiges Wachstum liest man unmittelbar an ihm ab. ln x ist als natürlicher Logarithmus der Logarithmus zur Basis e.

lg x

Der dekadische Logarithmus, der Logarithmus zur Basis 10, ebenfalls unabhängig von der eingegebenen Basis gerechnet. Er ist der Logarithmus der Größenordnungen, weshalb er hinter dem pH-Wert, hinter Dezibel und hinter der Richterskala steht. lg x ist als dekadischer Logarithmus der Logarithmus zur Basis 10, und wenn die eingegebene Basis 10 ist, druckt diese Spalte dieselbe Zahl wie der Hauptwert — das ist der Punkt und keine Doppelung.

1. Der Logarithmus von 1000 zur Basis 10

   1. Basis 10, Argument 1000 — ein dekadischer Logarithmus
   2. 10 × 10 × 10 = 1000, die Basis muss also dreimal mit sich selbst multipliziert werden
   3. Der Logarithmus ist 3, und zwar exakt und nicht gerundet
   4. Die Spalte für den dekadischen Logarithmus druckt ebenfalls 3, weil die eingegebene Basis bereits 10 ist

   Der Fall, mit dem die Seite am häufigsten geöffnet wird, und der sauberste Beleg dafür, dass ein Logarithmus ein Exponent ist und keine Taste. Der natürliche Logarithmus desselben Arguments beträgt 6,907755, und die beiden Zahlen sind keine Konkurrenten: Sie zählen denselben Sachverhalt in zwei Basen, und jede lässt sich in die andere umrechnen, indem man durch den Logarithmus der neuen Basis teilt.

2. Der Logarithmus von 1024 zur Basis 2

   1. Basis 2, Argument 1024 — die Basis, in der Computer zählen
   2. Zehnmal verdoppeln: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
   3. Der Logarithmus ist also 10, und 2 hoch 10 ergibt genau 1024
   4. Die Basiswechsel-Formel liefert dasselbe: ln 1024 ÷ ln 2 = 6,931472 ÷ 0,693147

   An der Basis 2 hört der Logarithmus auf, ein Schulgegenstand zu sein, und wird abzählbar: Die Antwort ist die Anzahl der Verdopplungen, weshalb er von den Binärpräfixen bis zur Tiefe eines balancierten Baums überall auftaucht. Beachten Sie, dass die Spalte für den dekadischen Logarithmus 3,0103 druckt und nicht 3 — 1024 ist etwas mehr als tausend, und dieses Etwas steht genau im Nachkommateil.

3. Der Logarithmus von 0,5 zur Basis 2

   1. Das Argument ist kleiner als 1, der Logarithmus wird also negativ
   2. 2 hoch −1 ist 1 ÷ 2 = 0,5
   3. Der Logarithmus ist genau −1
   4. Hier sind alle Spalten negativ, auch die beiden benannten Logarithmen

   Die Hälfte der Seite, die von Hand am häufigsten falsch gemacht wird: ein Argument unter 1 ergibt einen negativen Logarithmus, und genau bei einem Argument von 1 geht der Logarithmus durch die Null. Außer der 1 gibt es bei keiner Basis ein Argument mit dem Logarithmus null — die schnellste Probe für ein verdächtiges Ergebnis.

Das Argument muss eine positive reelle Zahl sein. Null und negative Argumente werden abgewiesen statt beantwortet: Das erste läuft gegen minus unendlich, das zweite ist eine komplexe Zahl, und beides kann diese Seite nicht drucken. Die Basis muss positiv und darf nicht 1 sein, aus dem oben genannten Grund und nicht als nachträgliche Einschränkung des Definitionsbereichs. Die Seite gibt sechs Nachkommastellen aus; das ist eine Anzeigegrenze und keine Genauigkeitsgrenze — gerechnet wird durchgehend in voller Genauigkeit, und die Basiswechsel-Formel läuft in Gleitkomma, sodass ein Logarithmus, der eigentlich ganzzahlig sein müsste, um ein Haar danebenliegen kann und für die Anzeige zurückgerundet wird. Das hier ist ein Werkzeug für reelle Zahlen: komplexe Logarithmen und die Verzweigungsschnitte, die zu ihnen gehören, liegen außerhalb. Gezeichnet, differenziert oder integriert wird ebenfalls nichts. Die Referenztabelle führt nur Logarithmen auf, die ganzzahlig aufgehen — eine Tabelle mit dezimalen Logarithmen müsste lokalisiert werden, denn 0,301030 wird in mehreren Sprachen so und in anderen anders geschrieben, während ganze Zahlen überall gleich aussehen.

Was ist ein Logarithmus?

Er ist der Exponent, der die Basis in das Argument verwandelt. Nach dem Logarithmus von 1000 zur Basis 10 zu fragen heißt zu fragen, mit welcher Hochzahl die 10 potenziert werden muss, damit 1000 herauskommt — die Antwort ist 3. Das ist die ganze Definition: b hoch log_b(x) ist gleich x. Alles Weitere über den Logarithmus — die Logarithmengesetze für Produkte, Quotienten und Potenzen — folgt aus diesem einen Satz, weshalb die Seite die Exponentialform unter die Formel schreibt.

Warum darf die Basis nicht 1 sein?

Weil 1 hoch irgendetwas immer 1 bleibt. Zur Basis 1 hat die Gleichung 1 hoch y gleich x nur dann eine Lösung, wenn x selbst 1 ist, und dann erfüllt jede Hochzahl sie — der Logarithmus wäre also keine einzelne Zahl. Die Rechnung zeigt dasselbe von der anderen Seite: Die Basiswechsel-Formel teilt durch den Logarithmus der Basis, und der Logarithmus von 1 ist in jeder Basis null, die Division also durch null. Die Seite weist die Basis 1 deshalb ab, statt den Wert zu drucken, den die Gleitkommadivision zufällig liefert.

Kann ich den Logarithmus einer negativen Zahl berechnen?

Nicht als reelle Zahl, und auf dieser Seite überhaupt nicht. Der Logarithmus eines negativen Arguments ist komplex, und dies ist ein Werkzeug für reelle Zahlen. Die Null wird aus einem anderen Grund abgewiesen: Der Logarithmus von 0 ist nicht undefiniert, sondern unbeschränkt — er läuft gegen minus unendlich, während sich das Argument von oben der Null nähert — und minus unendlich ist keine Zahl, die diese Seite drucken kann. Beide Abweisungen benennen das Argument, das sie ausgelöst hat.

Was ist der Unterschied zwischen ln und lg?

Es ist dieselbe Operation in zwei benannten Basen. ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e mit e etwa 2,718281828; lg ist der dekadische Logarithmus zur Basis 10. Die Seite druckt beide unabhängig davon, welche Basis Sie eingeben, denn keiner der beiden ist ein Sonderfall des anderen und beide werden unter ihrem eigenen Namen gesucht. ln ist der Logarithmus der Analysis und des stetigen Wachstums, lg der hinter dem pH-Wert, hinter Dezibel und hinter jeder in Größenordnungen gemessenen Skala.

Warum druckt die Seite zweimal dieselbe Zahl?

Weil Sie eine Basis eingegeben haben, die einem der benannten Logarithmen entspricht. Bei der Basis 10 tragen die Hauptspalte und die Spalte für den dekadischen Logarithmus dieselbe Zahl, bei der Basis e die Hauptspalte und die Spalte für den natürlichen Logarithmus. Das ist keine doppelt gerechnete Rechnung, sondern eine Bestätigung: Daran sieht man, dass die eingetippte Basis die Basis des Logarithmus ist, den man im Kopf hatte. Jede andere Basis ergibt drei verschiedene Zahlen.

Wie prüfe ich einen Logarithmus von Hand?

Sie potenzieren die Basis mit der Antwort und sehen nach, ob das Argument zurückkommt. Für den Logarithmus von 1024 zur Basis 2 lautet die Antwort 10, und 2 hoch 10 ist 1024 — die Probe stimmt. Bei einer gebrochenen Antwort funktioniert die Probe weiterhin, ist im Kopf aber mühsamer, und genau dafür steht die Basiswechsel-Formel im Formelabschnitt da: Zwei Logarithmen zu dividieren, die man schon hat, ist leichter, als den Exponenten zu suchen.

• Logarithm — the definition, the change of base formula this page computes with, and the domain restrictions on the base and the argument — Wolfram MathWorld (United States)
• Natural Logarithm — the base-e logarithm, including the series and the derivative that make it the logarithm of calculus — Wolfram MathWorld (United States)
• Common Logarithm — the base-10 logarithm and its history as the logarithm of tables and orders of magnitude — Wolfram MathWorld (United States)
• Logarithmus — Bedeutung, Verwendung und Etymologie des Begriffs in der deutschen Fachsprache, einschließlich der Unterscheidung von Numerus und Basis — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Logarithmus — die Definition über die Exponentialgleichung, die Logarithmengesetze und die Einschränkungen für Basis und Argument — Mathebibel