Antilogarithmus-Rechner

x = b^y (b ist die Basis, y der Logarithmus, x das Argument)

y

Der Logarithmus, der Exponent, den Sie in der Hand halten. Jeder Wert zwischen −1000 und 1000 wird angenommen, und eine negative Zahl ist kein Sonderfall: 10 hoch −2 ist 0,01, eine Antwort unter 1, und genau das bedeutet ein negativer Logarithmus. Auch gebrochene Exponenten sind zugelassen, das Ergebnis ist dann meist eine irrationale Zahl.

b

Die Basis, die Zahl, die potenziert wird. Sie muss positiv und darf nicht 1 sein. Die Basis 1 scheitert in dieser Richtung noch ärger als auf der Logarithmus-Seite: Rückwärts gerechnet liefert 1 hoch irgendetwas still und leise wieder 1, ein Rechner ohne diese Sperre würde also zu jedem eingegebenen Logarithmus das Argument 1 ausgeben. Eine Basis unter 1 wird angenommen; sie beschreibt einen Zerfall und kein Wachstum.

b^y

Die Potenz selbst, also der eine Rechenschritt, den diese Seite ausführt. Die Seite tut nichts weiter als einmal zu potenzieren und anschließend zwei Überlaufprüfungen anzuhängen, die entscheiden, ob sich das Ergebnis überhaupt ausgeben lässt. Die Basis mit dem Logarithmus zu potenzieren ist dasselbe, wie die Basis auf einer Zahlengeraden der Potenzen nach oben zu schieben — eine kleine Änderung im Exponenten verschiebt die Antwort deshalb stark.

x

Das Argument, die Zahl, von der der Logarithmus stammte, und der einzige Ausgabewert dieser Seite. Es ist immer positiv, denn jede Potenz einer positiven Basis ist positiv — anders als auf der Logarithmus-Seite gibt es hier also keine Null und keine negativen Zahlen abzuweisen. Ist der eingegebene Logarithmus genau 0, so ist das Argument 1, und zwar bei jeder Basis, denn jede Zahl hoch null ergibt 1.

1. Die Umkehrung des dekadischen Logarithmus bei 3

   1. Die Basis mit dem Logarithmus potenzieren: 10 hoch 3
   2. 10 × 10 × 10 = 1000
   3. Das Argument ist exakt 1000
   4. Gegenprobe auf der Logarithmus-Seite: der dekadische Logarithmus von 1000 ist 3

   Die Umkehrung der beiden Seiten zeigt sich hier am schönsten. Der Logarithmus-Rechner nimmt 1000 und gibt 3; diese Seite nimmt 3 und gibt 1000, und beide Antworten sind exakt und keine Näherungen. Die Probe besteht aus einer einzigen Potenz, in welche der beiden Richtungen auch immer. Gibt die Aufgabe eine der beiden Zahlen vor, führt der Weg zur anderen.

2. Die Umkehrung bei einem negativen Logarithmus

   1. Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz
   2. 10 hoch 2 ist 100, also ist 10 hoch −2 gleich 1 ÷ 100
   3. Das Argument ist 0,01
   4. Ein Argument unter 1 bedeutet immer, dass der Logarithmus negativ war

   Die Hälfte dessen, wonach die Umkehrung des Logarithmus gefragt wird, und die Hälfte, die von Hand am häufigsten misslingt. Jeder negative Logarithmus liefert ein Argument zwischen 0 und 1 — nie null und nie etwas Negatives, denn keine Potenz einer positiven Basis erreicht diese beiden Werte. Die Linie, auf der das Argument genau 1 ist, entspricht dem Logarithmus null.

3. Die Umkehrung bei einem gebrochenen Logarithmus

   1. Den Exponenten zerlegen: 10 hoch 2,5 ist 10 zum Quadrat mal der Quadratwurzel aus 10
   2. 10 zum Quadrat ist 100, die Quadratwurzel aus 10 ist rund 3,162278
   3. 100 × 3,162278 = 316,227766
   4. Der genaue Wert ist irrational, die Antwort ist deshalb auf sechs Nachkommastellen gerundet

   Diese Zeile trennt die Logarithmustafel vom Logarithmus: 2,5 ist keine ganze Zahl, also ist auch die Umkehrung keine. Exakt geschrieben lautet sie 100√10, eine irrationale Zahl, die sich mit noch so vielen Nachkommastellen nicht ausschreiben lässt. Die gedruckten sechs Stellen sind die Grenze der Anzeige und nicht der Wert selbst.

Die Basis muss positiv und darf nicht 1 sein, aus dem oben genannten Grund: In dieser Richtung gerechnet liefert die Basis 1 zu jeder Eingabe still das Argument 1, und das ist die Fehlerart, die diese Seite am dringendsten vermeiden muss. Der Logarithmus ist auf den Bereich zwischen −1000 und 1000 begrenzt. Außerhalb davon überschreitet das Argument die Größenordnung, die die Gleitkommaarithmetik darstellen kann — etwa 1 · 10³⁰⁸ — und die Seite weist die Eingabe ab, statt unendlich auszugeben. Die andere Seite derselben Grenze ist die wichtigere: Die Basis 10⁻¹⁵ hoch 100 läuft in Gleitkomma auf null unter, und null sieht wie eine völlig normale Antwort aus, obwohl kein Logarithmus das Argument null hat. Auch dieser Unterlauf wird abgewiesen. Das Ergebnis wird auf sechs Nachkommastellen gerundet angezeigt. Eine Basis unter 1 wird angenommen und liefert ein Argument unter 1; das ist der Fall des Zerfalls und kein Fehler. Negative Basen werden grundsätzlich abgewiesen: Eine ganzzahlige Potenz einer negativen Basis ist zwar reell, eine gebrochene aber nicht, und da diese Seite gebrochene Exponenten annimmt, werden beide abgewiesen.

Was ist ein Antilogarithmus?

Er ist die Zahl, von der ein gegebener Logarithmus ursprünglich genommen wurde. Der dekadische Logarithmus von 1000 ist 3, also ist der Antilogarithmus von 3 zur Basis 10 die 1000. Als Formel: die Umkehrung des Logarithmus von y zur Basis b ist b hoch y. Der Name stammt aus der Zeit der gedruckten Logarithmustafeln, in der man in der einen Richtung den Logarithmus nachschlug und in der anderen seinen Antilogarithmus. Beide Richtungen lassen sich mit derselben Potenz berechnen: b hoch y ist die Umkehrung von y zur Basis b.

Ist der Antilogarithmus dasselbe wie die Umkehrung des Logarithmus?

Ja, und die Formulierung „Umkehrung des Logarithmus“ sagt mehr: Beide Operationen heben einander auf. Nimmt man erst den Logarithmus und dann seine Umkehrung, steht wieder die Ausgangszahl da. In der Praxis ist die Umkehrung des dekadischen Logarithmus die Zehnerpotenz 10 hoch x und die des natürlichen Logarithmus e hoch x. Diese Seite berechnet die Umkehrung für jede Basis, nicht nur für diese beiden benannten.

Was passiert, wenn der Logarithmus negativ ist?

Das Argument fällt zwischen 0 und 1. Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz, die Umkehrung bei −2 zur Basis 10 ist also 1 ÷ 100, das heißt 0,01. Das ist kein Sonderfall, den man gesondert behandeln müsste — es ist das gewöhnliche Verhalten des Exponenten und der einzige Weg, auf dem die Umkehrung des Logarithmus eine sehr kleine Antwort geben kann.

Warum darf die Basis nicht 1 sein?

Weil 1 hoch irgendetwas immer 1 bleibt und die Gleichung für dieses Argument dann keine Lösung hat. In dieser Richtung gerechnet ist das Scheitern schlimmer als auf der Logarithmus-Seite: Die Rechnung „1 hoch y“ meldet überhaupt keinen Fehler, sie liefert still 1, und die Seite würde zu jedem eingegebenen Logarithmus das Argument 1 ausgeben. Die Sperre ist genau dafür da.

Warum wird eine sehr kleine Basis abgewiesen?

Weil die Arithmetik unterläuft. Die Basis 10⁻¹⁵ hoch 100 liegt weit unter der kleinsten positiven Zahl, die die Gleitkommaarithmetik darstellen kann, das Ergebnis ist also null — und null sieht wie eine völlig vernünftige Antwort aus, obwohl tatsächlich kein Logarithmus das Argument null hat. Die Seite weist diese Eingabe ab, statt eine Zahl auszugeben, die zwar normal aussieht, aber falsch ist.

Kann das Argument negativ sein?

Nein. Jede Potenz einer positiven Basis ist positiv, also ist das Argument jedes Logarithmus positiv und seine Umkehrung ebenfalls. Die Seite stellt das konstruktiv sicher und nicht durch eine Prüfung der Ausgabe: Die Eingaben, die es kaputt machen würden — eine nicht positive Basis oder die Basis 1 — werden abgewiesen, bevor überhaupt potenziert wird.

• Antilogarithm — the inverse of the logarithm, from the era when an antilogarithm had to be looked up in a printed table — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation behind the single step this page performs, including the behaviour of negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Function — the general notion the logarithm and its inverse belong to, and why both directions take a single step — Wolfram MathWorld (United States)
• potenzieren — Bedeutung und Verwendung des Verbs in der deutschen Fachsprache, also der Rechenschritt, den diese Seite ausführt — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Logarithmus — die Definition über die Exponentialgleichung, samt der Umkehrung, die diese Seite berechnet — Mathebibel