Halbwertszeit-Rechner

N = N₀ × (½)^(t ÷ T) n = t ÷ T verbleibender Anteil = N ÷ N₀

N₀

Die Anfangsmenge, also das, was da war, bevor etwas davon zerfallen ist. Sie trägt auf dieser Seite keine Einheit: Gramm, Becquerel, Atomzahl und Konzentration sind derselbe Eingabewert, weil das Zerfallsgesetz nur nach dem Anteil fragt, der übrig bleibt. Sie muss größer als null sein — bei einer Anfangsmenge von null wäre der verbleibende Anteil eine Division von null durch null und keine kleine Zahl

T

Die Halbwertszeit, also die Zeit, in der die Hälfte des Vorhandenen verschwindet. Sie ist eine Eigenschaft des Stoffes und nicht der Probe, ändert sich also nicht mit der Anfangsmenge. Sie muss in derselben Einheit wie die verstrichene Zeit eingetragen werden; die Seite fragt nicht, welche das ist, weil die beiden Zeiten durcheinander geteilt werden und sich das Verhältnis beim gemeinsamen Umrechnen nicht ändert

t

Die verstrichene Zeit, das Intervall, nach dem gefragt wird. Sie wird in derselben Einheit wie die Halbwertszeit gemessen und darf nicht negativ sein — die Formel liefe rückwärts bereitwillig mit, aber »wie viel war vorher da« ist eine andere Frage als die, für die dieses Panel gebaut ist

n ＝ t ÷ T

Die Anzahl der verstrichenen Halbwertszeiten, die zweite Ausgabe und diejenige, mit der sich der Rest nachrechnen lässt. Halbwertszeiten werden gezählt und nicht in ganzen Schritten abgearbeitet: 2,5 ist ein völlig normaler Wert und bedeutet, dass die Probe zwischen der zweiten und der dritten Halbierung steht. Ausgegeben wird auf vier Nachkommastellen, damit 2,9999 und 3 unterscheidbar bleiben — die beiden bedeuten »noch nicht ganz drei Halbwertszeiten« und »genau drei«

(½)^n

Der verbleibende Anteil, ein halb einmal je Halbwertszeit mit sich selbst multipliziert. Das ist das ganze Zerfallsgesetz: keine Konstante, keine andere Basis als ein halb und keine Abhängigkeit vom Stoff über die Halbwertszeit hinaus. Nach zehn Halbwertszeiten bleibt weniger als ein Promille, und der Anteil erreicht nie genau null, egal wie viele Halbwertszeiten vergehen — in doppelter Genauigkeit läuft er allerdings irgendwann auf null unter

N ＝ N₀ × (½)^n

Die verbleibende Menge, die Hauptausgabe. Sie ist die Anfangsmenge, skaliert mit diesem Anteil, also eine proportionale und keine absolute Antwort: Eine Verdopplung der Anfangsmenge verdoppelt an jeder Stelle der Kurve, was übrig bleibt, und der Prozentsatz bleibt unberührt

N ÷ N₀

Der verbleibende Anteil als Prozentzahl, mit angehängtem Prozentzeichen. Das ist die Ausgabe, die man zitiert, wenn der Stoff unbekannt ist — »etwa 25 Prozent sind übrig« sagt alles, was »2,5 Becquerel« sagt, sobald die Anfangsaktivität auf dem Tisch liegt; und sie ist die einzige der drei, die eine Änderung der Anfangsmenge übersteht

Nehmen Sie diese Seite, wenn etwas mit einer Rate zerfällt, die als Halbwertszeit angegeben ist — so wird der Zerfall alles Instabilen aufgeschrieben: ein Radioisotop, ein Medikament, das aus dem Körper verschwindet, ein Schadstoff, der abgebaut wird, eine Population, die in festem Verhältnis stirbt. Auch die beiden Fragen rund um die Radiokarbonmethode gehören hierher: wie viel des ursprünglichen Kohlenstoff-14 nach einer gegebenen Anzahl von Jahren übrig ist und wie vielen Halbwertszeiten ein gemessener Anteil entspricht, wobei der zweite Schritt der ist, der zu einem Alter führt. Ein exponentieller Zerfall mit einer anderen Basis als ein halb ist die Sache des Exponentielles-Wachstum-Rechners, wo die Basis aus einer Wachstumsrate stammt. Die Seite zur Verdopplungszeit ist derselbe Vorgang nach oben — Verdopplung ist die Halbierung, in die andere Richtung gelesen. Der Zinseszins-Rechner ist derselbe Exponent, angewandt auf Geld, wo die Multiplikation nach einem Plan geschieht und nicht stetig.

1. Anfangsmenge 100, Halbwertszeit 5, nach 15

   1. Verstrichene Halbwertszeiten: 15 ÷ 5 = 3
   2. Verbleibender Anteil: (½)³ = 1 ÷ 8 = 0,125
   3. Verbleibende Menge: 100 × 0,125 = 12,5
   4. Als Prozentwert: 12,5 %

   Die Zeile, die auch in der Referenztabelle steht, und die, die sich ohne die Seite am leichtesten nachrechnen lässt: dreimal halbiert ergibt 100, dann 50, dann 25, dann 12,5. Diese schrittweise Halbierung ist genau der Zweck der Halbwertszeitenanzahl, und deshalb druckt die Seite sie neben die Menge — die Menge allein sagt nicht, wo auf der Kurve man steht.

2. Kohlenstoff-14 mit einer Halbwertszeit von 5.730 Jahren, nach 11.460 Jahren

   1. Verstrichene Halbwertszeiten: 11.460 ÷ 5.730 = 2
   2. Verbleibender Anteil: (½)² = 0,25
   3. Verbleibende Menge: 1 × 0,25 = 0,25
   4. Als Prozentwert: 25 %

   Der Fall, für den die Seite entworfen wurde, und der Grund, warum die beiden Zeitfelder keinen Einheitenwähler haben: Die Einheit ist hier das Jahr, und diese Halbwertszeit liegt weit außerhalb dessen, was eine Auswahlliste aus Stunden und Wochen fassen könnte. Die Anfangsmenge ist 1 und keine echte Messung, damit die Antwort unmittelbar als Bruch gelesen werden kann — nach zwei Halbwertszeiten ist ein Viertel des ursprünglichen Kohlenstoff-14 übrig, und das ist die erste Hälfte der Überlegung in jeder Radiokarbonmethode.

3. Anfangsmenge 200, Halbwertszeit 4, nach 10

   1. Verstrichene Halbwertszeiten: 10 ÷ 4 = 2,5
   2. Verbleibender Anteil: (½)^2,5 = 1 ÷ √32 = 0,176776695…
   3. Verbleibende Menge: 200 × 0,176776695… = 35,355339…
   4. Als Prozentwert: 17,67767 %

   Der gewöhnliche Fall, und der, der zeigt, dass Halbwertszeiten nicht in ganzen Schritten gezählt werden: Es sind zweieinhalb vergangen, die Probe steht also zwischen einem Viertel und einem Achtel ihres Ausgangswerts. Der Anteil ist hier eine irrationale Zahl, und deshalb trägt die Antwort Nachkommastellen — exakt wäre sie nur, wenn die verstrichene Zeit ein ganzzahliges Vielfaches der Halbwertszeit wäre. Die 2,5 als Anzahl zu lesen ist echte Arbeit: 12,5 Prozent mit der Quadratwurzel aus ein halb multipliziert ergibt dieselben 17,68 Prozent.

4. Anfangsmenge 80, Halbwertszeit 12, genau nach 12

   1. Verstrichene Halbwertszeiten: 12 ÷ 12 = 1
   2. Verbleibender Anteil: (½)¹ = 0,5
   3. Verbleibende Menge: 80 × 0,5 = 40
   4. Als Prozentwert: 50 %

   Eine Halbwertszeit, also die Definition der Größe, die hier geprüft wird, und nicht ein Fall davon. Das ist die Zeile für den Fall, dass Ihnen eine Halbwertszeit genannt wurde und Sie bestätigen wollen, dass sie das bedeutet, was Sie annehmen: Egal womit Sie anfangen, nach dieser Zeit ist die Hälfte davon weg, und keine Anfangsmenge ändert etwas an der Antwort.

Diese Seite beantwortet nur eine Richtung: gegeben Anfangsmenge, Halbwertszeit und ein Intervall, wie viel übrig bleibt. Die umgekehrten Fragen — wie lange es dauert, bis eine bestimmte Menge erreicht ist, und wie groß die Halbwertszeit bei bekannter Anfangs- und Endmenge ist — sind keine Felder auf diesem Panel, obwohl beide aus derselben Gleichung folgen und beide im Formelblock und in den Fragen unten durchgerechnet werden. Für keine von beiden gibt es in dieser Runde eine Rechnerseite, wer eine braucht, muss den Exponenten selbst umstellen, statt auf eine zweite Gruppe von Eingabefeldern zu warten. Die beiden Zeitfelder teilen sich eine Einheit, und die Seite fragt nie, welche: Eine Halbwertszeit in Tagen und eine verstrichene Zeit in Stunden ergeben eine Antwort, die um den Faktor vierundzwanzig danebenliegt, und sie kommt völlig normal zurück — das ist der einzige Fehler auf dieser Seite, der von innen nicht auffällt. Die Anfangsmenge ist unbeschriftet, die Seite kann also nicht zwischen Einheiten der Masse oder der Aktivität umrechnen: Gramm hinein, Gramm hinaus. Bewertet wird nichts: »Wie viel ist übrig« ist ein kontinuierlicher Wert, und die Seite druckt ihn, statt ihn zu beurteilen. Der Anteil erreicht nie null, aber er läuft unter: Ab etwa tausend Halbwertszeiten ist das Ergebnis in doppelter Genauigkeit genau null, und das ist eine Grenze der Arithmetik und keine Aussage über den Stoff. Und schließlich ist dies ein Modell des Zerfalls in ganzen Halbierungen, das eine konstante Rate annimmt — das ist genau das, was eine Halbwertszeit bedeutet, und es gilt nicht für alles, was verblasst.

Wie rechne ich aus, wie viel nach einer gegebenen Zeit übrig ist?

Man teilt die verstrichene Zeit durch die Halbwertszeit und erhält die Anzahl der Halbwertszeiten; dann halbiert man die Anfangsmenge so oft. Bei einer Halbwertszeit von 5 und einer verstrichenen Zeit von 15 sind drei Halbwertszeiten vergangen, der verbleibende Anteil ist also 1 ÷ 8, und von einer Anfangsmenge von 100 bleiben 12,5. Die Seite macht dasselbe in einem Ausdruck: Anfangsmenge mal ein halb hoch verstrichene Zeit durch Halbwertszeit.

Wie lange dauert es, bis nur noch eine bestimmte Menge übrig ist?

Man stellt die Gleichung um. Die angestrebte Menge durch die Anfangsmenge teilen ergibt den Anteil, von diesem Anteil den Logarithmus zur Basis ein halb nehmen und mit der Halbwertszeit multiplizieren. Ein Achtel übrig haben zu wollen heißt drei Halbwertszeiten, unabhängig vom Stoff; ein Viertel heißt zwei, eine Halbwertszeit von 5.730 Jahren setzt diese Antwort also auf 11.460 Jahre. Die Anzahl der Halbwertszeiten rechnet man zuerst, denn der Rest ist eine einzige Multiplikation.

In welcher Einheit müssen Halbwertszeit und verstrichene Zeit angegeben werden?

In jeder, solange beide dieselbe ist. Die beiden Zeiten werden durcheinander geteilt, eine Halbwertszeit von 5 Tagen mit 15 Tagen verstrichener Zeit ergibt also genau dasselbe wie 120 Stunden mit 360 Stunden. Die Seite hat bewusst keinen Einheitenwähler, weil die Einheiten, die tatsächlich benutzt werden, von Sekunden bis zu Milliarden Jahren reichen und keine Liste sie alle fassen würde. Der Preis dafür ist, dass gemischte Einheiten nicht auffallen: Tage gegen Stunden ergibt eine Antwort, die um den Faktor vierundzwanzig zu groß ist, und sie sieht völlig normal aus.

Erreicht die Antwort irgendwann null?

Mathematisch nicht — jede Halbwertszeit nimmt die Hälfte dessen weg, was da ist, und die Hälfte einer positiven Zahl ist immer positiv, der verbleibende Anteil nähert sich also der Null, ohne sie zu erreichen. In der Rechnung erreicht er sie doch: Ein Rechner speichert Zahlen mit endlicher Genauigkeit, und ab etwa tausend Halbwertszeiten läuft das Ergebnis unter und kommt als exakte Null zurück. Das ist die Arithmetik, die am Ende ist, und nicht der Stoff, der verschwindet, und es geschieht weit außerhalb jedes Bereichs, in dem das Modell ernsthaft benutzt wird.

Was ist der Unterschied zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstante?

Sie beschreiben dieselbe Abnahme auf zwei Weisen. Die Zerfallskonstante ist die Rate je Zeiteinheit im Exponenten, die Halbwertszeit ist die Zeit, in der die Hälfte davon weg ist; die beiden hängen über den natürlichen Logarithmus von zwei zusammen, die Halbwertszeit ist dieser Logarithmus geteilt durch die Zerfallskonstante. Diese Seite rechnet mit der Halbwertszeit, weil die Zahlen so veröffentlicht werden — 5.730 Jahre für Kohlenstoff-14, ein paar Stunden für ein Medikament —, während die Zerfallskonstante diejenige ist, die erscheint, wenn man dasselbe Zerfallsgesetz mit der Basis e schreibt.

Ändert die Anfangsmenge, wie lange der Zerfall dauert?

Nein. Das ist der ganze Sinn des Wortes Halbwertszeit: Sie ist eine Eigenschaft des Stoffes und nicht der Probe. Mit 200 statt 100 zu starten bedeutet, dass 200 mal zwei hoch minus n übrig ist statt 100 mal zwei hoch minus n, jede Menge auf der Kurve ist also verdoppelt und die Prozentwerte sind identisch. Die Anzahl der Halbwertszeiten und der verbleibende Anteil bewegen sich überhaupt nicht, wenn Sie die Anfangsmenge ändern.

• Half-Life — the definition of the half-life and the exponential decay law that this page evaluates, including the relation between the number of half-lives and the fraction remaining — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the general law of which this page is the half-life case, with the decay constant and the half-life related by a factor of the natural logarithm of two — Wolfram MathWorld (United States)
• Halbwertszeit — die deutsche Darstellung der Halbwertszeit im exponentiellen Zerfall, mit Rechenbeispielen zum verbleibenden Anteil — Mathebibel (Deutschland)