Zinseszins-Rechner

FV = P × (1 + r ÷ m)^(m × t), bei stetiger Verzinsung FV = P × e^(r × t)

P

Der Startbetrag, mit dem Sie beginnen

r

Der nominale Jahreszinssatz als Dezimalzahl, nicht als Prozentwert

m

Wie oft im Jahr verzinst wird — 1, 2, 4, 12 oder 365

t

Die Anzahl voller Jahre, in denen das Geld liegen bleibt

FV

Der Endwert am Ende der Laufzeit

Immer wenn ein Zinssatz zusammen mit einer Verzinsungshäufigkeit genannt wird und Sie die tatsächliche Zahl wissen wollen statt der angegebenen. Die Formel oben ist die einzige, die Sie brauchen; das Häufigkeitsfeld ändert einen Exponenten und sonst nichts. Es lohnt sich, vor einer Entscheidung zwei Häufigkeiten gegeneinander zu berechnen, denn die Lücke zwischen jährlich und monatlich ist real und wächst mit Zinssatz und Laufzeit — bei 5 % über zehn Jahre sind es 181,14, bei höheren Zinssätzen über längere Laufzeiten mehrere Tausend. Am nützlichsten ist auf dieser Seite der Vergleich der letzten beiden Ausgaben: der Zinsertrag mit Zinseszins gegen die Zinsen, die dasselbe Geld ohne ihn gebracht hätte. Wenn Sie zwei Angebote vergleichen, rechnen Sie beide zuerst auf ihren effektiven Jahreszins um; zwei nominale Zinssätze direkt zu vergleichen ist die unsicherere Methode.

1. 10.000 bei 5 %, zehn Jahre, monatlich verzinst

   1. Periodenzins: 5 ÷ 100 ÷ 12 = 0,00416667 pro Monat
   2. Perioden: 12 × 10 = 120 Monate
   3. Endwert: 10.000 × 1,00416667^120 = 16.470,09
   4. Zinsertrag: 16.470,09 − 10.000 = 6.470,09
   5. Effektiver Jahreszins: 1,00416667^12 − 1 = 5,116 %
   6. Einfache Verzinsung über dieselben zehn Jahre: 10.000 × 5 % × 10 = 5.000,00, der Zinseszins bringt also 6.470,09 − 5.000,00 = 1.470,09 zusätzlich

   Das ist die Voreinstellung dieser Seite. Lesen Sie die letzten beiden Ausgaben als Paar: Der Zinseszins ist hier 1.470,09 wert, und diese Zahl ist auf einer Seite, die nur den Zinssatz nennt, überhaupt nicht zu sehen.

2. 100.000 bei 4,5 %, dreißig Jahre, monatlich verzinst

   1. Periodenzins: 4,5 ÷ 100 ÷ 12 = 0,00375 pro Monat
   2. Perioden: 12 × 30 = 360 Monate
   3. Endwert: 100.000 × 1,00375^360 = 384.769,80
   4. Zinsertrag: 384.769,80 − 100.000 = 284.769,80
   5. Effektiver Jahreszins: 1,00375^12 − 1 = 4,594 %
   6. Einfache Verzinsung: 100.000 × 4,5 % × 30 = 135.000,00, der Zinseszins bringt also 149.769,80 zusätzlich

   Vergleichen Sie das mit dem Beispiel darüber: Das Zehnfache an Kapital und die dreifache Laufzeit ergeben den dreiundzwanzigfachen Endwert. Zinseszins ist keine Gerade, und die Krümmung sitzt zum größten Teil in den späteren Jahren.

3. 10.000 bei 5 %, zehn Jahre, stetig verzinst

   1. Stetiges Wachstum: 10.000 × e^(0,05 × 10) = 10.000 × e^0,5 = 16.487,21
   2. Zinsertrag: 16.487,21 − 10.000 = 6.487,21
   3. Effektiver Jahreszins: e^0,05 − 1 = 5,127 %
   4. Einfache Verzinsung über dieselben zehn Jahre: 5.000,00, der Zinseszins bringt also 1.487,21 zusätzlich

   Die stetige Verzinsung ist die Obergrenze und kein Produkt: Sie liegt 0,56 über den 16.486,65 der täglichen Verzinsung, und keine diskrete Häufigkeit kann sie je überholen. Genau das macht die letzte Zeile der Tabelle weiter unten.

Diese Seite berechnet einen einzigen Einmalbetrag, der unangetastet liegen bleibt, und mehr nicht. Sie bildet nichts ab, was später hinzukommt — keine monatlichen Einzahlungen, keine Entnahmen, keine Beiträge, die mit der Inflation steigen —, ein Sparplan mit regelmäßiger Einzahlung braucht deshalb den Geldanlage-Rechner und nicht diesen. Sie unterstellt außerdem, dass der Zinssatz über die ganze Laufzeit steht. Reale Sparzinsen bewegen sich: Ein Aktionszins läuft aus, eine Notenbank senkt den Leitzins, eine Festgeldanlage wird fällig und muss zu dem Zins angelegt werden, der dann gilt — die Antwort hier ist eine Fortschreibung mit dem heutigen Zinssatz und kein Versprechen. Steuern sind nicht enthalten, und bei den meisten Sparern wird die Steuer auf Zinsen laufend einbehalten, der tatsächlich verbleibende Betrag wächst also langsamer als dieser Endwert. Die Inflation fehlt ebenfalls, 16.470,09 in zehn Jahren kaufen also weniger als 16.470,09 heute. Zwischenschritte werden nicht gerundet, was die Rechnung exakt macht, aber dazu führen kann, dass sie um ein oder zwei Cent von einem Kontoauszug abweicht, auf dem die Bank jede Buchung rundet. Zur Abgrenzung: Die Abkürzung APY stammt aus der englischen Praxis (annual percentage yield) und meint genau den effektiven Jahreszins, der hier als eigene Ausgabe steht; das Feld Jährlicher Zinssatz ist dagegen der nominale Zinssatz. Und schließlich: Die Beträge tragen kein Währungszeichen — sie sind richtig in der Währung, die Sie im Kopf hatten, und falsch in jeder anderen.

Wie berechnen Sie den Zinseszins für einen Einmalbetrag?

Sie multiplizieren den Startbetrag mit eins plus dem Periodenzins hoch der Anzahl der Perioden. Der Periodenzins ist der Jahreszinssatz geteilt durch die Anzahl der Verzinsungen im Jahr, und die Anzahl der Perioden ist dieselbe Anzahl mal der Jahre. 10.000 bei 5 %, monatlich verzinst, zehn Jahre: 10.000 × 1,00416667^120 = 16.470,09, das sind 6.470,09 Zinsertrag. So sieht die Zinseszinsformel in ihrer einzigen Gestalt aus — alles andere auf dieser Seite ist dieselbe Rechnung bei einer anderen Verzinsungshäufigkeit.

Worin unterscheiden sich nominaler Zinssatz und effektiver Jahreszins?

Der nominale Zinssatz ist die Angabe — auf dieser Seite die 5 % im ersten Beispiel. Der effektive Jahreszins ist das, um was das Geld in einem Jahr tatsächlich wächst, nachdem die Zinsen innerhalb dieses Jahres selbst wieder Zinsen gebracht haben: 5,116 % bei monatlicher Verzinsung, 5,127 % bei stetiger Verzinsung und genau 5,000 %, wenn nur einmal im Jahr verzinst wird. Gleich sind die beiden nur bei jährlicher Verzinsung, und der Abstand wächst mit der Häufigkeit und mit dem Zinssatz.

Welche Verzinsungshäufigkeit soll ich einstellen?

Diejenige, die Ihr Konto tatsächlich verwendet — sie steht in den Bedingungen. Wenn Sie Angebote vergleichen, vergleichen Sie deren effektive Jahreszinssätze und nicht die angegebenen Zinssätze, weil die schon auf derselben Grundlage stehen. Die Häufigkeit arbeitet für Sie, wenn Sie sparen, und gegen Sie, wenn Sie leihen, und es lohnt sich zu wissen, wie viel sie bewegt: Bei 10.000 zu 5 % über zehn Jahre liegt der Abstand von jährlicher zu täglicher Verzinsung bei 197,70.

Gibt es die stetige Verzinsung wirklich?

Beides trifft zu. Kein Sparkonto verzinst in jedem Augenblick, als Produkt existiert sie also nicht — als Grenzwert ist sie aber genau das, womit Lehrbücher, die Optionsbewertung und ein großer Teil der Notenbankrechnung arbeiten, und sie ist der Betrag, dem jede diskrete Häufigkeit näher kommt, je feiner sie wird. Aus 10.000 werden bei 5 % über zehn Jahre monatlich 16.470,09, täglich 16.486,65 und stetig 16.487,21. Sie steht hier, damit Sie die Obergrenze sehen.

Ist die Verzinsungshäufigkeit wichtiger als der Zinssatz?

Nein, und das ist nicht knapp. 10.000 über zehn Jahre bei monatlicher Verzinsung von 5 % auf 6 % zu heben, bringt 1.723,88 mehr, während der Wechsel von jährlicher zu stetiger Verzinsung bei 5 % gerade 198,26 bringt. Ein Prozentpunkt Zinssatz schlägt jede verfügbare Häufigkeitswahl, und beide werden von zusätzlichen Jahren in den Schatten gestellt. Die Häufigkeit ist ein realer Effekt, und sie richtig einzustellen kostet nichts — aber Zinssatz und Laufzeit bestimmen das Ergebnis.

Warum fehlen auf dieser Seite Steuern und Inflation?

Weil beides von Tatsachen abhängt, die diese Seite nicht kennen kann. Die Steuer auf Zinsen hängt von Ihrem Steuersatz, Ihrem Land und davon ab, ob das Konto steuerbegünstigt ist, und die Inflation davon, welchen Index und welchen Zeitraum Sie meinen. Ein bei 5 % aufgebauter Endwert ist ein nominaler Endwert — das Geld, das Sie sehen werden —, und eine reale Rendite zieht ab, was die Inflation in denselben Jahren getan hat. Behandeln Sie die Zahl hier als die nominale und rechnen Sie beides selbst heraus.

• Compound Interest Calculator — the same closed form, with the frequency explained — U.S. Securities and Exchange Commission (Investor.gov)
• H.15 Selected Interest Rates — the published rates an annual rate field stands in for — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)
• Zinssätze und Renditen — die deutschen Zinsreihen, an denen ein Aktions- oder Sparzins zu messen ist — Deutsche Bundesbank