Verdopplungszeit-Rechner

t = ln(2) ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

Die Wachstumsrate für eine Periode, als Dezimalzahl geschrieben und nicht als Prozentwert: Eine Rate von 5 Prozent je Periode geht als 0,05 in die Formel ein. Sie muss positiv sein, denn eine Menge, die nicht wächst, verdoppelt sich nie, und im Eingabefeld wird sie als Prozentwert eingetippt. Beschrieben wird hier das Wachstum mit Zinseszins — der Zuwachs jeder Periode wird auf die Summe einschließlich alles vorher Gewachsenen angewandt, und genau das macht die Verdopplungszeit endlich statt unerreichbar.

ln 2

Der natürliche Logarithmus von zwei, etwa 0,693147, und die einzige Konstante in der genauen Formel. Er tritt auf, weil eine Verdopplung bedeutet, dass der Wachstumsfaktor genau zwei erreicht hat, die Frage also lautet, wie viele Multiplikationen mit (1 + r) nötig sind, um aus eins zwei zu machen — und der Logarithmus ist die Operation, die das beantwortet.

t

Die Verdopplungszeit in Perioden, auf drei Nachkommastellen ausgegeben. Sie trägt keine eigene Einheit: War die Rate, die Sie eingegeben haben, eine Monatsrate, ist t eine Anzahl von Monaten; war sie eine Jahresrate, eine Anzahl von Jahren. Die letzte Verdopplung ist nur teilweise, deshalb ist t keine ganze Zahl — nach 14 Perioden mit 5 Prozent ist die Menge etwas weniger als doppelt so groß, und sie kippt erst im Verlauf der fünfzehnten Periode darüber.

R

Dieselbe Rate, aber als Prozentwert, also die Zahl, die ins Feld getippt wird. Die 72er-Regel ist die Näherung, die 72 durch R teilt, und sie ist der zweite Wert auf dem Panel. Sie ist in der Nähe von 8 Prozent genau, schießt bei niedrigen Raten darüber hinaus und bleibt bei hohen darunter, und sie existiert, weil eine Division durch eine runde Zahl im Kopf viel leichter war als ein Logarithmus.

Greifen Sie zu dieser Seite, wenn die Wachstumsrate gegeben ist und die Zeit gesucht wird. Der Rechner für exponentielles Wachstum fährt dasselbe Modell in die andere Richtung — er startet bei einer Anfangsmenge und einer Anzahl von Perioden und liefert die Endmenge. Die Seite zur Halbwertszeit ist das Spiegelbild dazu, mit dem Faktor ein halb statt zwei. Der 72er-Regel-Rechner ist dieselbe Rechnung im Geldwesen, wo die Faustregel und nicht die genaue Antwort die Hauptsache ist, und der Zinseszins ist der Zusammenhang, in dem die Verdopplung am häufigsten auftaucht.

1. Fünf Prozent je Periode

   1. Die Rate als Dezimalzahl ist 0,05, jede Periode multipliziert die Menge also mit 1,05
   2. Die genaue Antwort ist ln 2 ÷ ln 1,05 = 0,693147 ÷ 0,048790 = 14,207 Perioden
   3. Die 72er-Regel ergibt 72 ÷ 5 = 14,4 Perioden
   4. Die beiden weichen um weniger als eine halbe Periode voneinander ab, und das ist der übliche Abstand zwischen der Regel und der Wahrheit

   Die Gegenprobe ist leicht: 1,05 hoch 14 ist 1,98, knapp unter zwei, und hoch 15 ist 2,08, knapp darüber. Der Übergang liegt also zwischen der vierzehnten und der fünfzehnten Periode, genau dort, wo 14,207 steht. Diese Kontrolle lohnt sich einmal, weil sie zeigt, dass die Nachkommastellen eine Position auf einer Zeitachse sind und kein Buchhaltungsartefakt.

2. Ein Prozent je Periode

   1. Die genaue Antwort ist ln 2 ÷ ln 1,01 = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 Perioden
   2. Die 72er-Regel ergibt 72 ÷ 1 = 72 Perioden
   3. Die Regel liegt hier um 2,3 Perioden daneben, was bei einem Prozent mehr als zwei zusätzliche Perioden Warten bedeutet
   4. Der Fehler ist systematisch und nicht zufällig: Die 72er-Regel ist auf Raten um 8 Prozent abgestimmt und driftet am unteren Ende ab

   Der Abstand bei niedrigen Raten ist der Grund, warum die beiden Werte nebeneinander stehen und nicht der eine den anderen ersetzt. Eine Faustregel, die über ein ganzes Zinseszinsleben zwei Perioden danebenliegt, ist ein wirklicher Unterschied, und beide Zahlen zu sehen sagt einem, welcher man bei der Rate trauen kann, die man tatsächlich hat.

3. Zwanzig Prozent je Periode

   1. Die genaue Antwort ist ln 2 ÷ ln 1,2 = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 Perioden
   2. Die 72er-Regel ergibt 72 ÷ 20 = 3,6 Perioden
   3. Diesmal bleibt die Regel darunter statt darüber, und das passiert oberhalb von 8 Prozent
   4. Die Kontrolle: 1,2 hoch drei ist 1,728 und 1,2 hoch vier ist 2,074, der Übergang liegt also zwischen der dritten und der vierten Periode

   Zwischen diesem Beispiel und dem mit einem Prozent wechselt der Fehler der Regel das Vorzeichen — bei niedrigen Raten schätzt sie zu hoch, bei hohen zu niedrig —, und das ist die Form der Näherung und kein Fehler in ihr. Die Rate, bei der die beiden Werte am nächsten beieinanderliegen, ist etwa 8 Prozent: Dort ergibt die Regel 9 und die genaue Antwort 9,006.

Die Verdopplungszeit hat keine eigene Einheit. Sie ist in der Periode gemessen, in der die Rate gemessen wurde, 14,207 sind also Jahre, wenn die Rate eine Jahresrate war, Monate, wenn sie monatlich war, und Minuten, wenn Sie Bakterien beobachtet haben. Die Seite kann das nicht unterscheiden und wird es auch nicht raten. Die Rate muss positiv sein und liegt zwischen 0,1 und 1000 Prozent je Periode; die null wird abgelehnt, weil keine der beiden Formeln eine Antwort für sie hat, und eine negative Rate beschreibt eine Menge, die schrumpft und sich nie verdoppelt — dieser Fall gehört zur Seite mit der Halbwertszeit. Die Konstante 2 ist fest: Diese Seite findet die Zeit bis zur Verdopplung und lässt sich nicht nach der Zeit bis zur Verdreifachung oder bis zu einem anderen Vielfachen fragen. Das Wachstum wird als gleichmäßig und konstant angenommen, also stetig angewandt und nicht in Jahressprüngen, was das übliche Modell ist, aber nicht das, was eine Bank tatsächlich tut. Der Wert der 72er-Regel ist von der Konstruktion her eine Näherung und steht zum Vergleich da und nicht als Antwort; eine Fehlerrechnung zwischen den beiden Werten gibt diese Seite nicht.

Wie berechnet man die Verdopplungszeit?

Man teilt den natürlichen Logarithmus von 2 durch den natürlichen Logarithmus von eins plus der Rate. Bei 5 Prozent je Periode ist das 0,693147 ÷ 0,048790, was 14,207 Perioden ergibt. Der Logarithmus verrichtet die Arbeit, weil eine Verdopplung eine Multiplikation ist, die unbekannt oft wiederholt wird, und der Logarithmus genau daraus eine Division macht.

Was ist die 72er-Regel, und ist sie genau?

Es ist die Abkürzung, die 72 durch die Prozentrate teilt, 5 Prozent verdoppeln sich also in etwa 14,4 Perioden. In der Nähe von 8 Prozent liegt sie auf wenige Prozent genau; bei niedrigen Raten schätzt sie zu hoch — bei 1 Prozent sagt sie 72 gegen einen wahren Wert von 69,661 —, und bei hohen zu niedrig, wo 20 Prozent 3,6 gegen einen wahren Wert von 3,802 ergeben. Diese Seite zeigt beide Zahlen, damit der Abstand bei der Rate sichtbar wird, die Sie tatsächlich haben.

Ist die Verdopplungszeit in Jahren gemessen?

Nur wenn die Wachstumsrate, die Sie eingegeben haben, eine Jahresrate war. Die Rate gilt je Periode, und die Periode ist, was Sie festlegen: Eine Monatsrate ergibt eine Antwort in Monaten, eine Tagesrate eine in Tagen, und eine Bakterienkultur, die sich alle zwanzig Minuten verdoppelt, eine Antwort in Zwanzig-Minuten-Einheiten. Die Seite beschriftet die Ausgabe bewusst nicht, weil sie nicht wissen kann, was Sie gemeint haben.

Warum werden eine Rate von null oder eine negative Rate abgelehnt?

Weil sich dann nichts verdoppelt. Bei null bleibt die Menge für immer, wo sie ist, und die 72er-Regel müsste durch null teilen; bei einer negativen Rate schrumpft die Menge, und die ehrliche Frage lautet dann Halbwertszeit statt Verdopplungszeit. Raten unter 0,1 Prozent je Periode werden aus demselben praktischen Grund abgelehnt, und den schrumpfenden Fall übernimmt die Seite mit der Halbwertszeit.

Worin unterscheidet sich diese Seite vom Rechner für exponentielles Wachstum?

In der Richtung. Diese Seite startet bei einer Wachstumsrate und gibt eine Zeit zurück; der Rechner für exponentielles Wachstum startet bei einer Rate und einer Anzahl von Perioden und gibt die entstehende Menge zurück. Das Modell darunter ist dasselbe, eine Verdopplungszeit von 14,207 Perioden bei 5 Prozent ist also genau die Aussage, dass der Wachstumsfaktor an dieser Stelle der Exponentialkurve zwei erreicht.

• Exponential Function — the base e, the natural logarithm that undoes it, and why ln 2 appears in every doubling formula — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same growth factor applied period after period, which is where the doubling time is usually met first — Wolfram MathWorld (United States)
• Zinsrechnung — die deutsche Darstellung von Zinseszins und 72er-Regel, mit der die Verdopplungszeit im Alltag zuerst auftaucht — Mathebibel (Deutschland)