72er-Regel-Rechner

72er-Regel: Jahre bis zur Verdopplung ≈ 72 ÷ Jahreszins; exakt: Jahre = ln(2) ÷ ln(1 + Jahreszins ÷ 100)

Jährlicher Zinssatz

Der Jahreszins in Prozent — 8 bedeutet acht Prozent — und er muss über null liegen, weil beide Ausdrücke durch etwas teilen, das dort verschwindet

72

Der Zähler der Abkürzung, so gewählt, dass die Division sich bei den Zinssätzen, denen man am häufigsten begegnet, im Kopf rechnen lässt

ln(2)

Der natürliche Logarithmus von zwei, etwa 0,6931, der deshalb auftaucht, weil Verdopplung bedeutet, die Gleichung (1 + r) hoch n gleich 2 zu lösen

Jahre bis zur Verdopplung

Wie lange das Geld bei einem verzinsten Zinssatz bis zur Verdopplung braucht; die Abkürzung und die exakte Antwort stehen nebeneinander

Fehler

Die Antwort der Faustregel minus der exakten, bei niedrigen Zinssätzen positiv und bei hohen negativ

Faktor nach den Jahren der Faustregel

Was aus Ihrem Geld tatsächlich wird, wenn Sie genau so lange warten, wie die Faustregel sagte — bei fast jedem Zinssatz etwas unter zwei

Verwenden Sie die Abkürzung, wenn Sie mitten in einem Gespräch schnell eine Zahl brauchen, und den exakten Wert, wenn die Antwort aufgeschrieben wird. Weil die beiden in dem Bereich, in dem die meisten gewöhnlichen Zinssätze liegen, eng übereinstimmen, ist die Faustregel zwischen fünf und zehn Prozent am besten und an beiden Enden am schlechtesten: Unter etwa drei Prozent übertreibt sie das Warten stark, über etwa fünfzehn Prozent unterschätzt sie es. Der Faktor beantwortet die Frage, die der Fehler aufwirft, aber nicht entscheidet — nämlich ob es überhaupt etwas kostet, um ein Fünfteljahr danebenzuliegen. Bei zwanzig Prozent bleiben Ihnen, wenn Sie die 3,6 Jahre der Faustregel statt der exakten 3,802 warten, das 1,93-Fache Ihres Geldes statt des Doppelten — ein Fehlbetrag von rund sieben Prozent Ihres Gewinns, was man wissen sollte, bevor man die Abkürzung auf einen hohen Zinssatz anwendet.

1. Acht Prozent: der Zinssatz, bei dem die Regel fast exakt ist

   1. Die Faustregel: 72 ÷ 8 = 9,00 Jahre
   2. Die exakte Antwort: ln(2) ÷ ln(1,08) = 0,693147 ÷ 0,076961 = 9,006 Jahre
   3. Fehler: 9,00 − 9,006 = −0,006 Jahre, etwa zwei Tage
   4. Mit 8 % genau 9 Jahre verzinst: 1,08⁹ = 1,9990

   Das ist der Standardwert dieser Seite, weil es der beste Fall der Faustregel ist, und es lohnt sich zu sehen, wie gut der beste Fall ist: Die Abkürzung liegt um etwa zwei Tage auf neun Jahre daneben. Der Faktor verrät, dass sie auch hier nicht exakt ist — neun Jahre bei acht Prozent verzinst ergeben das 1,9990-Fache Ihres Geldes und nicht das Doppelte, und es braucht noch ein paar Tage, um das letzte Tausendstel zu schließen.

2. Ein Prozent: die Faustregel übertreibt das Warten um mehr als zwei Jahre

   1. Die Faustregel: 72 ÷ 1 = 72,00 Jahre
   2. Die exakte Antwort: ln(2) ÷ ln(1,01) = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 Jahre
   3. Fehler: 72,00 − 69,661 = +2,339 Jahre
   4. Mit 1 % über 72 Jahre verzinst: 1,01⁷² = 2,0471

   Bei einem Sparbuchzinssatz ist die Abkürzung großzügig damit, wie lange man wartet, und die Richtung ist die entgegengesetzte von der, die die meisten vermuten. Der Faktor macht es greifbar: Wer die 72 Jahre der Faustregel bei einem Prozent wartet, hält am Ende das 2,0471-Fache seines Geldes statt des Doppelten; die gut zwei zusätzlichen Jahre sind also nicht verschwendet, sie schießen nur über das Ziel hinaus. Das ist der größte Fehler in der Tabelle.

3. Zwanzig Prozent: jetzt unterschätzt die Faustregel das Warten

   1. Die Faustregel: 72 ÷ 20 = 3,60 Jahre
   2. Die exakte Antwort: ln(2) ÷ ln(1,2) = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 Jahre
   3. Fehler: 3,60 − 3,802 = −0,202 Jahre
   4. Mit 20 % über 3,6 Jahre verzinst: 1,2^3,6 = 1,9278

   Vergleichen Sie das mit dem Fall bei einem Prozent, und der Punkt dieser Seite wird sichtbar: Der Fehler hat das Vorzeichen gewechselt. Die Faustregel verspricht die Verdopplung nun ein Fünfteljahr zu früh, und wer sich auf sie verlässt, bekommt das 1,9278-Fache seines Geldes statt des Doppelten — etwa sieben Prozent des Gewinns, den man erwartet hatte. Die beiden Fälle liegen beim Zinssatz absichtlich weit auseinander und beim Fehler in Jahren dicht beieinander, weshalb der Fehler in Jahren für sich allein ein schlechter Wegweiser ist und der Faktor daneben steht.

Die 72er-Regel ist eine Näherung, und diese Seite gibt nicht vor, dass es anders wäre; sie sagt Ihnen, wie groß die Näherung bei Ihrem Zinssatz ist. Sie unterstellt, dass der Zinssatz verzinst wird und dass er über die ganze Laufzeit gleich bleibt — ein Zinssatz, der sich unterwegs ändert, hat keine einzelne Verdopplungszeit, und die Faustregel kann eine solche auch nicht ausdrücken. Sie funktioniert nur bei einem Zinssatz über null, weil sowohl die Division als auch der Logarithmus bei null scheitern; deshalb nimmt das Feld keinen Zinssatz unter einem Zehntelprozent an. Zu Steuern und Inflation sagt sie nichts, die von ihr genannte Verdopplungszeit gilt also für nominales Geld: Bei drei Prozent Inflation hat ein Betrag, der sich in vierundzwanzig Jahren verdoppelt, nicht an Kaufkraft verdoppelt. Und sie beschreibt einen einzelnen Betrag, der liegen gelassen wird, sie gilt also nicht für eine Reihe von Einzahlungen, bei der die Arithmetik eine andere ist und die Antwort kürzer ausfällt. Schließlich ist die Abkürzung eine Regel über die Zahl 72 und nicht über Ihre Geldanlage — die exakte Antwort ist die, die man nimmt, wenn die Zahl zählt, und die Abkürzung die, die man nimmt, wenn man redet.

Wie funktioniert die 72er-Regel?

Sie teilen 72 durch den Jahreszins, und das Ergebnis ist ungefähr die Anzahl der Jahre, die das Geld bis zur Verdopplung braucht. Bei acht Prozent sind das 9,00 Jahre, und die exakte Antwort lautet 9,006 Jahre, die Abkürzung ist also nahezu perfekt; bei einem Prozent sagt sie 72 Jahre, während die exakte Antwort 69,661 lautet, und bei zwanzig Prozent sagt sie 3,60, während die exakte Antwort 3,802 lautet. Die Faustregel ist ein Werkzeug für das Kopfrechnen, und diese Seite stellt ihr die exakte Verdopplungszeit daneben.

Warum ist die 72er-Regel nur eine Näherung?

Weil sie einen Logarithmus durch eine Division ersetzt. Die exakte Verdopplungszeit löst die Zinseszins-Gleichung nach der Anzahl der Perioden auf und ergibt den natürlichen Logarithmus von zwei geteilt durch den Logarithmus von eins plus dem Zinssatz. Die Abkürzung verwendet stattdessen einen festen Zähler, und dieser feste Zähler passt nur über einen Bereich von Zinssätzen: Die beiden Antworten kreuzen sich irgendwo zwischen sieben und acht Prozent und driften auf beiden Seiten dieses Punktes in entgegengesetzte Richtungen auseinander.

In welche Richtung irrt die 72er-Regel?

In beide, je nach Zinssatz, und das ist der Teil, den die meisten nicht erwarten. Unterhalb des Kreuzungspunkts gibt die Abkürzung eine zu lange Zeit an: Bei einem Prozent sagt sie 72 Jahre gegen exakte 69,661 und übertreibt das Warten um mehr als zwei Jahre. Oberhalb gibt sie eine zu kurze Zeit an: Bei zwanzig Prozent sagt sie 3,60 gegen exakte 3,802. Das Vorzeichen des Fehlers wechselt zwischen sieben Prozent, wo er noch positiv ist, und acht Prozent, wo er negativ geworden ist.

Was bedeutet der Faktor nach den Jahren der Faustregel?

Er ist das, was aus Ihrem Geld tatsächlich wird, wenn Sie genau so lange warten, wie die Abkürzung gesagt hat. Ein Betrag, der neun Jahre mit acht Prozent verzinst wird, ergibt das 1,9990-Fache Ihres Geldes und nicht das Doppelte, das die Faustregel nahelegt, und bei zwanzig Prozent bleiben nach den 3,60 Jahren der Regel nur das 1,9278-Fache. Er übersetzt den Fehler von Jahren in Geld, und in dieser Form kostet der Fehler Sie tatsächlich etwas.

Kann ich die 72er-Regel bei einem niedrigen Zinssatz verwenden?

Sie können, aber der Fehler wächst schnell, je weiter der Zinssatz fällt, und er wächst in die Richtung, das Warten zu übertreiben. Bei einem Prozent sagt die Abkürzung 72 Jahre, während die exakte Verdopplungszeit 69,661 Jahre beträgt, eine Lücke von mehr als zwei Jahren, und ein Betrag, der 72 Jahre mit einem Prozent verzinst wird, landet beim 2,0471-Fachen seines Ausgangswerts. Ein Zinssatz von null oder darunter wird vom Feld gar nicht angenommen, weil dort sowohl die Division als auch der Logarithmus versagen.

Berücksichtigt die 72er-Regel Inflation oder Steuern?

Nein, und der exakte Wert auf dieser Seite ebenso wenig. Beide arbeiten mit dem Zinssatz, den Sie eintragen; ist das ein nominaler Ertrag, gilt die Verdopplungszeit also für nominales Geld, und ein Betrag, der sich nominal in vierundzwanzig Jahren verdoppelt, hat bei drei Prozent Inflation nicht an Kaufkraft verdoppelt. Dasselbe gilt für Steuern: Ein Ertrag, der unterwegs besteuert wird, wächst mit einem niedrigeren effektiven Zinssatz, und die Verdopplungszeit für den Zinssatz nach Steuern ist länger als die hier gezeigte.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Compound Interest Calculator — the forward form of the arithmetic, for checking a rate by growing a balance at it — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Zinssätze und Renditen — die deutschen Zins- und Renditereihen, an denen ein Zinssatz für eine Verdopplungsrechnung zu messen ist — Deutsche Bundesbank