Kubikwurzel-Rechner

∛x = ∛(m³ · r) = m · ∛r ∛(n ÷ d) = ∛(n · d²) ÷ d

x

Der Radikand, die Zahl unter dem Wurzelzeichen. Er darf negativ sein, denn eine Kubikwurzel ist eine ungerade Wurzel, und eine ungerade Potenz einer negativen Zahl bleibt negativ: Die Kubikwurzel aus −27 ist −3 und die aus −1 ist −1. Er darf außerdem eine Dezimalzahl mit bis zu drei Nachkommastellen sein; die Seite verwandelt ihn dann wieder in einen Bruch, bevor sie vereinfacht.

m³

Der größte vollständige Kubus, der den Radikanden teilt: 8, 27, 64, 125 und so weiter. Ihn zu finden ist die ganze Vereinfachung, und die Seite sucht von oben nach unten, damit der erste gefundene Faktor auch der größte ist. Für 72 ist das die 8, unter der Wurzel bleibt die 9 zurück.

m

Die Kubikwurzel aus diesem vollständigen Kubus, die vor das Wurzelzeichen tritt. Ist sie eine ganze Zahl, lautet die exakte Form 2∛9; ist sie 1, wird der Koeffizient weggelassen und die Form lautet ∛2, weil niemand 1∛2 schreibt.

r

Alles, was unter der Wurzel übrig bleibt, nachdem jeder Kubusfaktor herausgezogen wurde. Es ist kubusfrei, und genau das macht die Form endgültig. Bleibt nichts übrig — war der Radikand von vornherein eine Kubikzahl —, verschwindet das Wurzelzeichen ganz und die exakte Form ist eine schlichte ganze Zahl, wie bei der Kubikwurzel aus 27.

d²

Das Quadrat des Nenners, und der Grund, warum der Dezimalfall nicht einfach von der Quadratwurzelseite übernommen wird. Um einen Nenner d unter einer Kubikwurzel wegzubekommen, braucht man d hoch drei darunter, also wird n ÷ d zu (n · d²) ÷ d³ umgeschrieben, und die Kubikwurzel daraus ist ∛(n · d²) ÷ d. Mit d statt d² kommt ebenfalls eine Zahl heraus, nur die falsche.

Verwenden Sie diese Seite, wenn die exakte Form einer Kubikwurzel gebraucht wird oder wenn der Radikand negativ ist. Der Kubikzahl-Rechner deckt die Vorwärtsrichtung ab — eine Zahl in die dritte Potenz erheben und die Wurzel zurücklesen —, und er druckt eine Dezimalzahl, wo diese Seite eine Schreibweise druckt. Ist der Wurzelexponent nicht 3, so nimmt der allgemeine Wurzel-Rechner jeden Exponenten von 2 bis 12 und vereinfacht ihn auf dieselbe Weise.

1. Die Kubikwurzel aus 72 vereinfachen

   1. Den größten vollständigen Kubus suchen, der 72 teilt
   2. Die 8 teilt sie: 72 ÷ 8 = 9, also ist 72 = 8 × 9
   3. Die Kubikwurzel aus 8 ist 2, sie tritt nach vorn: ∛72 = 2∛9
   4. Diese exakte Form ausgewertet ergibt 4,160168

   Die Probe ist eine Zeile: 2∛9 hoch drei ist 2³ × 9, also 8 × 9, also 72. Die Dezimalspalte lässt sich so nicht prüfen — 4,160168 hoch drei ergibt 71,99999 und ein paar Zerquetschte —, und das ist das ganze Argument dafür, die exakte Form daneben zu drucken.

2. Eine Kubikzahl fällt zu einer ganzen Zahl zusammen

   1. 27 ist 3 × 3 × 3, der größte Kubusfaktor ist also die 27 selbst
   2. Ihn herauszuziehen lässt nichts unter der Wurzel zurück: 27 = 27 × 1
   3. Da unter der Wurzel nichts bleibt, verschwindet das Wurzelzeichen und die exakte Form ist 3
   4. Der Dezimalwert ist ebenfalls 3, beide Spalten stimmen also überein

   Leert sich die Wurzel, ist das das Signal dafür, dass der Radikand eine Kubikzahl war. Es lohnt sich zu wissen, dass genau diese Zeile die ist, die ein Computer von Haus aus falsch macht: 27 mit einem Drittel zu potenzieren ergibt in Gleitkomma 3,0000000000000004, und die Seite korrigiert das, indem sie prüft, ob eine benachbarte ganze Zahl hoch drei wieder 27 ergibt.

3. Ein negativer Radikand

   1. Zuerst das Vorzeichen herausnehmen: ∛-72 = -∛72
   2. Der positive Teil wird genau wie vorher vereinfacht: ∛72 = 2∛9
   3. Das Vorzeichen wieder davorgesetzt ergibt -2∛9
   4. Der Dezimalwert ist -4,160168, also das Negative des positiven Falls

   Das Minuszeichen steht vorn und nicht unter der Wurzel. -2∛9 und 2∛-9 sind dieselbe Zahl, aber nur die erste ist die übliche Schreibweise, und die zweite zu drucken sähe nach einem anderen Ausdruck aus. Genau dieser Fall lässt sich auf der Quadratwurzelseite überhaupt nicht behandeln: Eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist keine reelle Zahl.

4. Ein dezimaler Radikand, der ein vollständiger Kubus ist

   1. 0,125 als Bruch ist 1/8
   2. Beide Teile sind vollständige Kuben: ∛1 = 1 und ∛8 = 2
   3. Unter der Wurzel bleibt nichts übrig, die exakte Form ist also der Bruch 1/2
   4. Als Dezimalzahl ist das 0,5

   Diese Zeile ist der Grund, warum die Seite drei Nachkommastellen annimmt und nicht zwei. Ein Achtel ist die natürlichste Dezimalzahl, auf die eine Kubikwurzel überhaupt trifft, und mit zwei Stellen ließe sie sich nicht einmal als Bruch lesen; ein Leser wäre von einer Kubikwurzelseite durch genau die Zahl abgewiesen worden, die am meisten darauf gehört.

Der Radikand ist auf drei Nachkommastellen begrenzt. Eine vierte Stelle würde abgewiesen und nicht gerundet, weil die Vereinfachung davon lebt, die Dezimalzahl in einen Bruch zu verwandeln und dann zu probeteilen, und die Rechnung darüber hinaus unzuverlässig wird — die beteiligten ganzzahligen Produkte überschritten das, was ein Gleitkommawert exakt darstellen kann, die Antwort wäre also still falsch statt nur langsam. Der Betrag ist in beide Richtungen auf 1000000 begrenzt, bis wohin die Probeteilung günstig bleibt. Die exakte Form ist eine Schreibweise und keine Zahl und wird in jeder Sprache gleich geschrieben, weil ein Wurzelzeichen und ein Geteiltzeichen keine Wörter tragen; die Dezimalzahl daneben ist auf sechs Nachkommastellen gerundet. Angegeben wird nur die reelle Kubikwurzel: Jede von null verschiedene Zahl hat in der komplexen Ebene drei Kubikwurzeln, und die beiden anderen werden nicht gezeigt. Die Kubikwurzel einer negativen Zahl wird mit dem Vorzeichen davor gedruckt, was die übliche Schreibweise ist, aber nicht dieselbe Zeichenkette wie eine Wurzel über einem negativen Radikanden.

Was tut ein Kubikwurzel-Rechner?

Er nimmt einen Radikanden und gibt zwei Dinge zurück: den Dezimalwert seiner Kubikwurzel und die exakte Form, in der der größte vollständige Kubus vor das Wurzelzeichen gezogen ist. Die Kubikwurzel aus 72 ist als Dezimalzahl 4,160168 und in der exakten Form 2∛9, und beides ist dieselbe Zahl in zwei Schreibweisen.

Wie vereinfache ich eine Kubikwurzel von Hand?

Man sucht den größten vollständigen Kubus, der den Radikanden teilt, zieht ihn heraus und setzt seine Kubikwurzel vor das Zeichen. Für 72 ist das die 8, und da 72 ÷ 8 = 9 ist, wird daraus 2∛9. Man ist fertig, wenn unter der Wurzel nichts Kubusfreies mehr übrig ist — bei 27 leert sich die Wurzel vollständig und die Antwort ist einfach 3.

Darf der Radikand negativ sein?

Ja, und das ist der deutlichste Unterschied zu der Quadratwurzelseite, die negative Zahlen rundheraus abweist. Eine Kubikwurzel ist eine ungerade Wurzel, ein negativer Radikand also in Ordnung: Die Kubikwurzel aus −64 ist −4. Das Vorzeichen wird zuerst herausgezogen und vorn in der exakten Form gedruckt, −72 wird also zu -2∛9 vereinfacht und nicht zu einer Wurzel über einer negativen Zahl.

Warum kommt die exakte Form manchmal als Bruch heraus?

Wenn der Radikand der Kubus eines Bruchs ist, bleibt unter der Wurzel nichts übrig und die exakte Form fällt zu einem schlichten Bruch zusammen — die Kubikwurzel aus 0,125 ist 1/2 und die aus 0,001 ist 1/10. Die Wurzel überlebt nur, wenn etwas Kubusfreies darunter übrig bleibt, dieselbe Regel, die die Kubikwurzel aus 27 zu einer schlichten ganzen Zahl macht.

Wie viele Nachkommastellen nimmt der Radikand an?

Drei, also eine mehr als die Quadratwurzelseite erlaubt. Die zusätzliche Stelle existiert für eine bestimmte Zahl: 0,125 ist ein Achtel, die Kubikwurzel aus 0,5, und mit zwei Nachkommastellen ließe sie sich überhaupt nicht als Bruch erkennen. Eine vierte Dezimalstelle wird abgewiesen und nicht gerundet, weil die Probeteilung darüber hinaus nicht mehr exakt ist.

Wie hängt die Kubikwurzel mit der dritten Potenz zusammen?

Die Kubikwurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz: Wer 5 hoch drei berechnet und daraus die Kubikwurzel zieht, ist wieder bei der 5. Deshalb lässt sich jede Kubikwurzel auch als Potenz mit dem Exponenten 1/3 berechnen — derselbe Rechenschritt, nur anders geschrieben. Der Kubikzahl-Rechner nimmt die Vorwärtsrichtung und gibt zu einer Zahl ihren Kubus aus.

• Cube Root — the inverse of cubing, defined on negative inputs because the index is odd — Wolfram MathWorld (United States)
• Cubic Number — the perfect cubes the simplification searches for, from 8 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention for writing a coefficient in front of a root — Wolfram MathWorld (United States)
• Kubikwurzel — Bedeutung und Verwendung des Begriffs in der deutschen Fachsprache, samt seiner Herkunft von cubus und radix — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Kubikwurzel — die Definition, das teilweise Wurzelziehen beim Exponenten 3 und der Umgang mit negativen Radikanden — Mathebibel