Kubikzahl-Rechner

x³ = x × x × x ∛x = x^(1/3)

x

Die Zahl, die in die dritte Potenz erhoben wird. Sie darf negativ sein und Dezimalstellen tragen, bis zu sechs, überall zwischen -1000000 und 1000000. Auf dieser Seite gibt es keine Positivitätsprüfung, weil eine negative Zahl in die dritte Potenz zu erheben wohldefiniert ist: -4 mal -4 mal -4 ist -64. Dasselbe gilt für die Kubikwurzel darunter, eine ungerade Wurzel, die deshalb auch für negative Eingaben definiert ist.

x³

Der Kubus selbst, auf sechs Nachkommastellen ausgegeben. Oberhalb des Anzeigefensters wird er in wissenschaftlicher Schreibweise geschrieben, damit der Betrag lesbar bleibt: Der Kubus von 1000000 ist 1,000000 × 10¹⁸ und keine neunzehnstellige ganze Zahl, die quer über die Anzeige läuft. Innerhalb des Fensters bleibt die gewöhnliche Form erhalten, 343 wird also als 343,000000 gedruckt und nicht als Zehnerpotenz.

∛x

Die Kubikwurzel derselben Zahl, welche die erste Spalte rückgängig macht: der Wert, der x zurückgibt, wenn man ihn zweimal mit sich selbst multipliziert. Ist x eine Kubikzahl, so ist die Wurzel eine exakte ganze Zahl und es wird nicht gerundet; andernfalls wird auf sechs Nachkommastellen gerundet. Darin liegt der Unterschied zwischen einer ungeraden und einer geraden Wurzel, und der Grund, warum eine negative Eingabe hier in Ordnung ist, während die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl überhaupt keine reelle Antwort hat.

Greifen Sie zu dieser Seite, wenn die Frage eine Zahl betrifft und keine Gestalt: Was ist 7 hoch drei, was ist der Kubus von 1,5, was ist die Kubikwurzel aus 343. Wenn der Kubus für einen Körper steht — eine Kiste mit einer Kantenlänge und einem Volumen in Kubikzentimetern —, dann nimmt der Würfelvolumen-Rechner die Kantenlänge und antwortet in Einheiten.

1. Sieben hoch drei, und die Wurzel, die zurückkommt

   1. Erst quadrieren: 7 × 7 = 49
   2. Noch einmal mit 7 multiplizieren: 49 × 7 = 343
   3. Die Kubikwurzel aus 343 ist 7, weil 7 × 7 × 7 = 343 ist
   4. Die Kubikwurzel der Eingabe 7 selbst ist 1,912931 — daher die sechs Nachkommastellen, denn 7 ist keine Kubikzahl

   Die beiden Hälften der Seite beantworten verschiedene Fragen, und beide sind es wert, dastehen zu dürfen. Der Kubus 343 ist exakt, und die Wurzel, die von ihm zurückführt, ist es ebenfalls. Die Wurzel der Eingabe, 1,912931, ist die gerundete: Mit sich selbst dreimal multipliziert ergibt sie 6,999999 und ein paar Zerquetschte, so nah an der 7, wie sechs Nachkommastellen kommen können.

2. Eine Kubikzahl: 27

   1. 27 × 27 = 729
   2. 729 × 27 = 19683
   3. Die Kubikwurzel aus 27 kommt als exakt 3 zurück, ohne jede Stelle nach dem Komma
   4. Diese exakte 3 ist die vollständige Antwort auf die Frage, ob 27 eine Kubikzahl ist

   Eine Kubikzahl ist der eine Fall, in dem die Wurzelspalte überhaupt keine Rundung trägt, und es lohnt sich zu sehen, warum das numerisch zählt: Ein Computer, der 27 mit einem Drittel potenziert, erhält 3,0000000000000004, was als 3,000000 gedruckt würde und wie ein Rundungsfehler aussähe. Die Seite räumt das weg, indem sie prüft, ob eine benachbarte ganze Zahl hoch drei wieder die Eingabe ergibt.

3. Eine negative Zahl in die dritte Potenz erheben

   1. -4 × -4 = 16, eine positive Zahl, weil zwei negative Faktoren positiv multiplizieren
   2. 16 × -4 = -64, wieder negativ, weil der dritte Faktor noch negativ ist
   3. Der Kubus von -4 ist also -64, und die Kubikwurzel aus -64 ist exakt -4
   4. Die Kubikwurzel der Eingabe -4 ist -1,587401

   Drei Faktoren sind es, die das Vorzeichen entscheiden: Eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein negatives Produkt, eine gerade ein positives. Das ist auch der Grund, warum die Kubikwurzel negative Zahlen annimmt und die Quadratwurzel nicht — eine ungerade Wurzel lässt sich rückgängig machen, eine gerade nicht. Das Minuszeichen wird vorn an der Wurzel gedruckt, so wie man es von Hand schreibt.

Die Eingabe ist in beide Richtungen auf 1000000 begrenzt. Das ist eine Anzeigegrenze und keine mathematische: Der Kubus von 1000000 ist 1000000000000000000, immer noch ein exakt darstellbarer Gleitkommawert, an der Grenze läuft also nichts über — die Seite weigert sich nur, eine Zahl zu drucken, die ein Leser nicht mehr auf einen Blick erfassen kann. Unterhalb der Grenze ist der Kubus für ganze Zahlen exakt und sonst auf sechs Nachkommastellen richtig. Die Kubikwurzel ist ein einzelner reeller Wert und nicht die Menge der drei Kubikwurzeln, die eine komplexe Betrachtung ergäbe: Die reelle Wurzel einer negativen Eingabe ist die negative, und die beiden komplexen Wurzeln werden nicht gezeigt. Die Spalte mit der ausgeschriebenen Form ist eine Schreibweise für die Multiplikation und wird in jeder Sprache gleich geschrieben. Wer das Volumen einer Kiste sucht und nicht den Kubus einer Zahl, ist beim Würfelvolumen-Rechner richtig, der eine Kantenlänge mit Einheiten entgegennimmt.

Was leistet ein Kubikzahl-Rechner, was eine schlichte Multiplikation nicht leistet?

Er liefert beide Richtungen auf einmal und hält sie exakt. Wer 27 eintippt, bekommt den Kubus 19683 und daneben die Kubikwurzel 3 — den Wert, den man hätte hoch drei nehmen müssen, um wieder 27 zu erhalten. Eine Kubikzahl lässt sich so in beide Richtungen berechnen, und das ist mehr, als eine schlichte Multiplikation hergibt: Das von Hand zu machen sind zwei getrennte Rechnungen, und eine davon, die Wurzel, ist die, bei der es schiefgeht.

Welche Zahlen sind Kubikzahlen?

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331 und 1728 — die Kuben der ganzen Zahlen von 1 bis 12, genau das, was die Referenztabelle unten zeigt. Die Probe ist kein Auswendiglernen: die Zahl eintippen und die Wurzel ansehen. Eine ganze Zahl dort bedeutet Kubikzahl, eine Dezimalzahl bedeutet, dass es keine ist.

Kann ich eine negative Zahl in die dritte Potenz erheben und daraus die Wurzel ziehen?

Beides, und die Antwort ist beide Male negativ. Drei negative Faktoren multiplizieren sich zu einem negativen Produkt, weil eine ungerade Anzahl von Minuszeichen übrig bleibt, der Kubus von -4 ist also -64 und die Kubikwurzel aus -64 ist -4. Eine gerade Wurzel könnte das nicht — die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist keine reelle Zahl —, weshalb der Quadratwurzel-Rechner negative Zahlen abweist und diese Seite nicht.

Warum wechselt ein großes Ergebnis in die wissenschaftliche Schreibweise?

Weil neunzehn Stellen Nullen nichts aussagen. Der Kubus von 1000000 ist eine 1 mit achtzehn Nullen dahinter, und vollständig gedruckt läuft er über die Anzeige, ohne den Betrag klarer zu machen. Als 1,000000 × 10¹⁸ geschrieben ist die Größe sofort erfassbar. Kleine Ergebnisse bleiben unangetastet: 343 wird als 343,000000 gedruckt und nicht als Zehnerpotenz.

Worin unterscheidet sich diese Seite vom Würfelvolumen-Rechner?

Der eine nimmt eine Zahl, der andere eine Länge. Hier ist die Eingabe ein reiner Wert ohne Einheiten, 5 hoch drei ist also 125, und damit ist es getan. Der Würfelvolumen-Rechner liest dieselbe 5 als Kantenlänge in Zentimetern und antwortet mit 125 cm³ Volumen und 150 cm² Oberfläche — dieselbe Rechnung mit einer anderen Frage daran.

• Cube — the third power of a number, the expansion x · x · x, and why the cube of a negative stays negative — Wolfram MathWorld (United States)
• Cubic Number — the perfect cubes 1, 8, 27, 64 and the test for recognising one — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the inverse of cubing, defined for negative inputs because the index is odd — Wolfram MathWorld (United States)
• Potenz — Bedeutung und Verwendung des Begriffs in der deutschen Fachsprache: das Produkt aus gleichen Faktoren, geschrieben als Basis mit Exponent — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Kubikwurzel — die Definition und der Umgang mit negativen Radikanden, also die Rückrichtung, die diese Seite mitliefert — Mathebibel