Würfelvolumen-Rechner

V = s³ S = 6s²

s

Die Seitenlänge, die einzige Messung, die diese Form braucht. Ein Würfel ist der einzige Quader, bei dem Länge, Breite und Höhe gleich sind, eine einzige Zahl legt ihn also vollständig fest. Sie wird mit einer Einheit eingegeben und vor der Rechnung in Zentimeter umgerechnet, und deshalb stehen die Ergebnisse in Zentimetern, ganz gleich in welcher Einheit die Zahl eingetippt wurde.

V

Das Volumen, der Raum, den der Würfel einschließt. Es ist die Seitenlänge hoch drei, angegeben in Kubikzentimetern mit vier Nachkommastellen, und es ist die Hauptzeile des Panels. Bei ganzen Seitenlängen ist das Ergebnis exakt und nicht genähert: 5 hoch 3 ist 125 ohne irgendetwas hinter dem Komma, und die vier Stellen sind für die Seiten da, die keine ganzen Zahlen sind.

S

Die Oberfläche, die Summe über die sechs quadratischen Flächen. Jede Fläche ist s², und es sind sechs davon, das Ganze ist also 6s², angegeben in Quadratzentimetern mit vier Nachkommastellen. Alle Flächen eines Würfels sind kongruent, und genau deshalb ist die Oberfläche eine einzige Multiplikation statt einer Summe über verschiedene Rechtecke.

Man nimmt diese Seite, wenn ein Würfel vor einem steht, den es einzuschätzen gilt: eine Kiste, ein Spielwürfel, ein Behälter, ein Baustein, ein Tank, der so hoch wie breit ist. Geht es dagegen nur um eine Zahl — was ist 7 hoch 3 —, rechnet der Kubikzahl-Rechner dieselbe Potenz mit einem reinen Wert aus und stellt die Kubikwurzel daneben; ist die Grundfläche kein Quadrat, nimmt der Quadervolumen-Rechner alle drei Kantenlängen entgegen.

1. Ein Würfel mit 5 cm Seitenlänge

   1. Das Volumen ist die Seitenlänge hoch drei: 5 × 5 = 25, dann 25 × 5 = 125
   2. Der Würfel fasst also 125 Kubikzentimeter
   3. Eine Fläche misst 5 × 5 = 25 Quadratzentimeter
   4. Sechs Flächen ergeben 6 × 25 = 150 Quadratzentimeter Oberfläche

   Beide Werte sind hier exakt, und das lohnt einen zweiten Blick, weil es nicht für jeden Körper gilt. Eine Kugel oder ein Zylinder mit ganzzahligem Radius liefert ein genähertes Volumen, weil Pi irrational ist; bei einem Würfel passiert das nie. Die beiden Zahlen beantworten außerdem zwei wirklich verschiedene Fragen — 125 cm³ sind der Raum, den die Kiste fasst, 150 cm² sind die Pappe, die man zum Bauen bräuchte.

2. Die Seitenlänge, bei der Volumen und Oberfläche zusammenfallen

   1. Volumen: 6 × 6 = 36, dann 36 × 6 = 216 Kubikzentimeter
   2. Oberfläche: eine Fläche misst 6 × 6 = 36, sechs davon ergeben 216 Quadratzentimeter
   3. Beide Werte kommen bei 216 heraus, und das ist kein Zufall
   4. Es liegt daran, dass s³ = 6s² für jede Seitenlänge größer null zu s = 6 wird

   Nur eine einzige Seitenlänge bringt die beiden Zahlen zur Deckung, und es ist die 6. Darunter ist die Oberfläche die größere von beiden — ein Würfel mit 1 cm Seitenlänge hat 6 cm² Haut um 1 cm³ Inhalt —, und darüber läuft das Volumen davon, weshalb eine Verdopplung des Würfels sein Volumen mit acht multipliziert, seine Oberfläche aber nur mit vier.

3. Ein Würfel mit 10 cm Seitenlänge

   1. 10 × 10 = 100, und 100 × 10 = 1.000, das Volumen beträgt also 1.000 Kubikzentimeter
   2. Das ist genau ein Liter, und deshalb ist der Liter als Kubikdezimeter definiert
   3. Eine Fläche misst 10 × 10 = 100 Quadratzentimeter
   4. Sechs Flächen ergeben 600 Quadratzentimeter

   Der 10-cm-Würfel ist der, den man sich merken sollte, weil er diese Seite mit allen anderen Volumenseiten verbindet: 1.000 cm³ sind ein Liter, jeder in Litern angegebene Behälter lässt sich also gegen einen Würfel von ungefähr dieser Größe halten. Dieselbe Zeile steht in der Tabelle unten, wo sie das Ende der Reihe markiert.

Die Seitenlänge ist auf eine Milliarde begrenzt und darf nicht negativ sein — eine negative Seitenlänge ergäbe ein negatives Volumen bei einem Körper, der offensichtlich eines hat. Null wird angenommen und liefert für beide Werte null. Die Ausgabeeinheiten liegen fest: Das Volumen wird immer in Kubikzentimetern angegeben und die Oberfläche immer in Quadratzentimetern, auch wenn die Eingabe in Zoll oder Fuß erfolgt ist. Ein Würfel mit 2 Zoll Seitenlänge kommt deshalb als 131,0965 cm³ zurück und nicht als 8 Kubikzoll. Die beiden Werte sind bei ganzen Seitenlängen exakt und sonst auf vier Nachkommastellen genau, mit Ausnahme sehr großer Seitenlängen, wo der Würfel die Grenze überschreitet, ab der jede ganze Zahl noch darstellbar ist, und die letzten Ziffern unzuverlässig werden. Angegeben werden nur das Volumen und die Oberfläche; die Raumdiagonale ist nicht unter den Ergebnissen. Sie ist eine dritte Größe mit einer eigenen Formel, und aus den beiden gedruckten Zahlen lässt sie sich nicht ablesen.

Wie rechne ich das Volumen eines Würfels aus?

Indem die Seitenlänge hoch drei genommen wird, also zweimal mit sich selbst multipliziert. Ein Würfel mit 5 cm Seitenlänge hat ein Volumen von 5 × 5 × 5 = 125 Kubikzentimetern. Der Würfel ist der einzige Quader, der mit einer einzigen Messung auskommt, weil Länge, Breite und Höhe von Bauart wegen dieselbe Seitenlänge sind.

Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels?

Sechsmal die Fläche einer Seite, also 6s². Eine Fläche eines 5-cm-Würfels misst 25 Quadratzentimeter, die sechs Flächen zusammen ergeben 150 Quadratzentimeter. Alle Flächen sind kongruent, das ist deshalb eine einzige Multiplikation und keine Summe über verschiedene Rechtecke wie bei einem Quader.

Gibt es eine Seitenlänge, bei der Volumen und Oberfläche dieselbe Zahl sind?

Ja, die 6 — und es ist die einzige. Ein Würfel mit 6 cm Seitenlänge hat ein Volumen von 216 Kubikzentimetern und eine Oberfläche von 216 Quadratzentimetern. Setzt man s³ gleich 6s², kürzt sich s² heraus und übrig bleibt s = 6. Darunter ist die Oberfläche die größere Zahl, darüber das Volumen.

Kann ich die Seitenlänge in Zoll oder Fuß eingeben?

Ja, und die Umrechnung wird abgenommen, die Werte kommen aber immer in Zentimetern und in Quadrat- oder Kubikzentimetern zurück. Das ist das Einzige, worauf man auf dieser Seite achten sollte: 2 Zoll eingegeben ergeben 131,0965 cm³ und nicht 8 Kubikzoll. Wer das Ergebnis in Zoll braucht, rechnet das Ergebnis um, statt zu erwarten, dass das Panel das tut.

Warum wird die Antwort nicht gerundet?

Weil sie es bei dieser Form nicht muss. Das Volumen ist s³ und die Oberfläche 6s², beides Ausdrücke mit ganzen Koeffizienten, eine ganze Seitenlänge ergibt also eine ganze Zahl — 7 cm liefert 343 cm³ und 294 cm². Die vier Nachkommastellen sind für die gebrochenen Seitenlängen da, etwa für den halben Zentimeter, der auf 0,125 cm³ kommt.

Warum gibt es keine Raumdiagonale als Ergebnis?

Weil diese Seite zwei Größen zusagt und nicht drei: den Raum, den der Würfel fasst, und die Fläche seiner Hülle. Die Raumdiagonale s√3 ist eine dritte, eigene Frage, und keine der beiden Zahlen oben sagt etwas über sie. Der Würfel ist zwar der einzige der klassischen Körper, bei dem sie sich so kurz hinschreiben lässt — gedruckt wird sie hier trotzdem nicht, weil eine Ergebniszeile nur dann berechtigt ist, wenn der Text darüber sie auch ankündigt.

• Cube — the regular hexahedron, its volume s³ and its surface area 6s², with all edges equal by definition — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — how the volume of a solid is defined and why the units come out cubed — Wolfram MathWorld (United States)
• Surface Area — the total area of a solid's boundary, and the six congruent faces of a cube — Wolfram MathWorld (United States)
• Würfel: Volumen und Oberfläche — die beiden Formeln auf Deutsch, mit Rechenweg und Beispielen — Frustfrei-Lernen