Geschwindigkeits-Rechner

mittlere Geschwindigkeit = Verschiebung ÷ Zeit, und Endgeschwindigkeit = 2 × mittlere Geschwindigkeit − Anfangsgeschwindigkeit

Δx

Die Verschiebung — nicht der zurückgelegte Weg. Gemeint ist, wo der Körper relativ zu seinem Startpunkt angekommen ist, in Metern, Kilometern, Fuß oder Meilen, und der Wert darf negativ sein: über das Vorzeichen kommt die Richtung in die Antwort. Wer 60 m hinaus und 60 m zurück geht, trägt hier null ein, und deshalb ist die mittlere Geschwindigkeit dann null, obwohl 120 m zurückgelegt wurden

t

Die Dauer der Bewegung, in Sekunden, Minuten oder Stunden. Sie ist der Divisor und muss deshalb positiv sein; eine Null wäre eine Bewegung ohne Dauer, und die mittlere Geschwindigkeit wäre nicht definiert. Am Vorzeichen der Verschiebung ändert das nichts

v₀

Die Geschwindigkeit, die der Körper zu Beginn der Messung schon hatte, in Metern pro Sekunde, Kilometer pro Stunde, Meilen pro Stunde oder Fuß pro Sekunde. Für einen Start aus dem Stand bleibt das Feld auf null. Es geht nur über die Endgeschwindigkeit in das Ergebnis ein: eine Bewegung, die mit 10 m/s beginnt und im Mittel 15 hat, endet bei 20, während dieselbe Bewegung aus dem Stand bei 30 enden würde

v̄

Die mittlere Geschwindigkeit, die Hauptzeile, in Metern pro Sekunde mit Kilometer pro Stunde darunter. Sie ist die reine Division der beiden Felder darüber und trägt deren Vorzeichen. Wichtig ist, was sie nicht ist: sie ist nicht das Tempo. Das Tempo mittelt den zurückgelegten Weg, die Geschwindigkeit mittelt die Verschiebung, und deshalb hat eine Hin-und-Zurück-Strecke die mittlere Geschwindigkeit null, während ihr Tempo keineswegs null ist

v

Die Endgeschwindigkeit, aus der Beziehung, dass die mittlere bei gleichmäßiger Beschleunigung genau in der Mitte zwischen Anfang und Ende liegt. Das ist eine Modellannahme und keine Eigenschaft jeder Bewegung: eine Fahrt mit gleichbleibendem Tempo ergibt eine Endgeschwindigkeit gleich der Anfangsgeschwindigkeit, was stimmt, während eine Fahrt mit Stopps eine Zahl ergibt, die kein Tacho je angezeigt hat

Diese Seite ist die richtige, wenn bekannt ist, wie weit sich etwas bewegt hat und wie lange es gedauert hat, und wenn die Geschwindigkeit gefragt ist und nicht bloß das Tempo: eine Autofahrt mit bekanntem Start- und Zielpunkt, ein Aufzug zwischen zwei Stockwerken, der 100-Meter-Zwischenzeitwert eines Sprinters oder eine Drohne, die zu ihrem Startpunkt zurückkehrt. Das negative Vorzeichen ist der Grund, warum sie einer reinen Weg-durch-Zeit-Rechnung vorzuziehen ist: nur damit kommt eine Hin-und-Zurück-Strecke auf null statt auf den Mittelwert einer Weglänge. Die Endgeschwindigkeit ist der zweite Grund. Wer eine Richtung braucht, bekommt sie hier; wer sie nie braucht und nur wissen will, wie schnell, ist auf der Seite zu Tempo, Weg und Zeit besser aufgehoben und wird hier auf ein Minuszeichen stoßen, das er nicht haben will.

1. Die Voreinstellung: 100 m in 5 s aus dem Stand

   1. Verschiebung 100 m, Zeit 5 s, Start aus dem Stand
   2. Mittlere Geschwindigkeit: Δx ÷ t = 100 ÷ 5 = 20 m/s
   3. In Kilometer pro Stunde: 20 × 3,6 = 72 km/h
   4. Endgeschwindigkeit: 2 × 20 − 0 = 40 m/s
   5. In Kilometer pro Stunde: 40 × 3,6 = 144 km/h

   Aus dem Stand ist die Endgeschwindigkeit genau das Doppelte der mittleren, und dieser Faktor zwei lohnt sich zu behalten: er folgt daraus, dass die mittlere in der Mitte zwischen Anfang und Ende liegt, und wenn der Anfang null ist, muss das Ende doppelt so groß sein wie die Mitte. Hier heißt das, dass ein Sprinter, der 100 m in 5 s zurücklegt, im Mittel 20 m/s läuft und die Linie mit 40 m/s überquert — das sind 144 km/h, schneller als jeder Mensch je gelaufen ist, und der Grund, warum das ein Rechenbeispiel ist und kein Rekord. Die Arithmetik stimmt; das Modell ist der Teil, der versagt.

2. Schon in Bewegung: 150 m in 10 s bei 10 m/s Anfangsgeschwindigkeit

   1. Verschiebung 150 m, Zeit 10 s, Anfangsgeschwindigkeit 10 m/s
   2. Mittlere Geschwindigkeit: 150 ÷ 10 = 15 m/s, das sind 54 km/h
   3. Endgeschwindigkeit: 2 × 15 − 10 = 20 m/s
   4. In Kilometer pro Stunde: 20 × 3,6 = 72 km/h
   5. Probe der Annahme: gleichmäßig von 10 auf 20 m/s in 10 s sind 1 m/s², und 10 × 10 + ½ × 1 × 10² = 150 m, also genau die Verschiebung, von der wir ausgegangen sind

   Das ist die Zeile, an der eine Umsetzung auffliegt, die die Anfangsgeschwindigkeit ignoriert: ohne dieses Feld kommt die Endgeschwindigkeit auf 30 statt auf 20 m/s, während die ersten beiden Zeilen genau richtig bleiben. Die Probe im letzten Schritt lohnt sich einmal, weil sie zeigt, dass die drei Größen nicht unabhängig sind — wer eine Verschiebung, eine Zeit und eine Anfangsgeschwindigkeit wählt, hat damit auch die Beschleunigung gewählt, ob beabsichtigt oder nicht. Deshalb ist die Endgeschwindigkeit nur so gut wie die Annahme der gleichmäßigen Beschleunigung.

3. Hin und zurück: die mittlere Geschwindigkeit ist null

   1. Verschiebung 0 m, Zeit 5 s, Anfangsgeschwindigkeit 10 m/s
   2. Mittlere Geschwindigkeit: 0 ÷ 5 = 0 m/s, und die Zeile in Kilometer pro Stunde ist ebenfalls 0
   3. Endgeschwindigkeit: 2 × 0 − 10 = −10 m/s
   4. In Kilometer pro Stunde: −10 × 3,6 = −36 km/h
   5. Der Körper ist dort angekommen, wo er losgegangen ist, die Verschiebung ist also nichts — und die Endgeschwindigkeit ist negativ, weil er sich dafür umdrehen musste

   Das ist der Fall, der Geschwindigkeit von Tempo trennt, und der Grund, warum diese Seite neben der zu Tempo, Weg und Zeit überhaupt existiert. Wer 60 m hinaus und 60 m zurück geht und dafür 12 Sekunden braucht, hat im Mittel 10 m/s Tempo und 0 m/s Geschwindigkeit gehabt; beide Aussagen sind wahr und sie beantworten verschiedene Fragen. Die negative Endgeschwindigkeit ist derselbe Gedanke vom anderen Ende her gelesen: unter der Annahme gleichmäßiger Beschleunigung musste der Körper am Ende rückwärts laufen, um aus einem Vorwärtsstart bei Verschiebung null anzukommen. Eine Seite, die den Betrag der Verschiebung nähme, würde hier 0 und 10 ausgeben und dabei völlig vernünftig aussehen.

4. Die andere Richtung: 60 m rückwärts in 6 s

   1. Verschiebung −60 m, Zeit 6 s, Start aus dem Stand
   2. Mittlere Geschwindigkeit: −60 ÷ 6 = −10 m/s, das sind −36 km/h
   3. Endgeschwindigkeit: 2 × (−10) − 0 = −20 m/s, das sind −72 km/h
   4. Probe der Annahme: gleichmäßige Beschleunigung auf −20 m/s in 6 s sind −20 ÷ 6 = −3,333… m/s², und ½ × (−3,333…) × 6² = −60 m

   Das Vorzeichen leistet hier echte Arbeit und schmückt die Antwort nicht bloß: ohne es wären diese Bewegung und ein 60-m-Spaziergang nach vorn nicht zu unterscheiden, und die Endgeschwindigkeit könnte gar nicht negativ werden. Es ist dieselbe Konvention wie bei einer nach hinten gerichteten Kraft, und es ist der Grund, warum diese Seite nach der Verschiebung fragt und nicht nach dem Weg. Wer sich nur dafür interessiert, wie schnell, und nie dafür, in welche Richtung, nimmt besser die Seite zu Tempo, Weg und Zeit; diese hier wird ihm weiter ein Minuszeichen anbieten, das er nicht will.

Die Zeile der Endgeschwindigkeit setzt gleichmäßige Beschleunigung voraus, weil sie darauf beruht, dass die mittlere Geschwindigkeit genau zwischen Anfangs- und Endgeschwindigkeit liegt. Eine Fahrt, die überwiegend gleichmäßig läuft und in der Mitte einmal hält, ergibt dort trotzdem eine Zahl, und diese Zahl ist keine Geschwindigkeit, die der Körper je hatte. Die Verschiebung ist die Netto-Verschiebung, eine Strecke mit Umwegen wird also nur durch ihren Endpunkt beschrieben; wer den Weg wissen will, braucht den zurückgelegten Weg und nicht diese Größe, und eine Kurve lässt sich hier gar nicht eingeben. Die Formel ist eine Division und keine vektorielle Rechnung: gefragt sind geradlinige Bewegungen entlang einer Achse, und für einen Körper, der seine Richtung quer dazu ändert, müsste die Verschiebung in ihre Komponenten zerlegt werden. Die Geschwindigkeiten werden als gewöhnliche Arithmetik behandelt, also ohne relativistische Korrektur; das ist bis weit in den Bereich der Endgeschwindigkeit hinein unbedenklich, aber nicht bis an die Lichtgeschwindigkeit.

Wie lautet die Formel für die mittlere Geschwindigkeit?

Die mittlere Geschwindigkeit ist die Verschiebung geteilt durch die dafür benötigte Zeit, v̄ = Δx ÷ t. Wer 100 m in 5 s zurücklegt, kommt auf 20 m/s, das sind 72 km/h. Das entscheidende Wort ist Verschiebung: gemeint ist, wo der Körper relativ zum Start angekommen ist, und nicht, wie weit er unterwegs war — deshalb kann die Antwort für eine Bewegung, die offensichtlich stattgefunden hat, null sein.

Worin unterscheidet sich die mittlere Geschwindigkeit vom Durchschnittstempo?

Die Geschwindigkeit teilt die Verschiebung, das Tempo teilt den zurückgelegten Weg. Wer 60 m hinaus und 60 m zurück geht und dafür 12 s braucht, hat 120 m Weg zurückgelegt, sein Tempo ist also 10 m/s, während seine Verschiebung null ist und die Geschwindigkeit damit 0 m/s. Im Deutschen heißt beides Geschwindigkeit, und deshalb steht die Unterscheidung hier ausdrücklich: die eine Größe ist gerichtet und trägt ein Vorzeichen, die andere ist der Betrag ohne Richtung. Keine der beiden Antworten ist falsch, sie beantworten verschiedene Fragen — diese Seite gibt die erste, weil die Richtung immer dann zählt, wenn die Bewegung ihre Richtung umkehrt.

Warum kann die Geschwindigkeit negativ sein?

Weil sie die Richtung der Verschiebung mitführt. Wer −60 m in 6 s eingibt, bekommt −10 m/s, also 10 m/s in die Richtung, die man selbst als negativ festgelegt hat. Es ist dieselbe Konvention, die eine nach hinten gerichtete Kraft mit einem Minuszeichen schreiben lässt, und der Grund, warum die Seite nach der Verschiebung fragt und nicht nach dem Weg: ein Weg kann nicht negativ sein und kann deshalb keine Richtung ausdrücken. Vorzeichen sind hier also keine Rundungsreste, sondern die halbe Antwort.

Wie wird die Endgeschwindigkeit berechnet?

Aus der mittleren, über v = 2v̄ − v₀. Bei gleichmäßiger Beschleunigung liegt die mittlere Geschwindigkeit genau in der Mitte zwischen Anfangs- und Endgeschwindigkeit, das Ende ist also das Doppelte der mittleren minus dem Anfang. Wer im Mittel 15 m/s hat und mit 10 m/s gestartet ist, endet bei 20 m/s. Aus dem Stand ist die Endgeschwindigkeit einfach das Doppelte der mittleren, und deshalb folgen aus 100 m in 5 s ganze 40 m/s an der Linie.

Kann ich diese Seite für eine Fahrt mit Stopps benutzen?

Für die mittlere Geschwindigkeit ja — die braucht nur die Verschiebung und die Zeit und kümmert sich nicht darum, wie die Bewegung verteilt war. Für die Endgeschwindigkeit nein: die Verdopplungsbeziehung setzt gleichmäßige Beschleunigung voraus, und bei einer Fahrt mit Halt in der Mitte lässt sich die Endgeschwindigkeit damit nicht zurückgewinnen. Die mittlere Zeile stimmt in beiden Fällen, und das ist die nützliche Hälfte, der man auf einer echten Fahrt trauen kann.

• Time, Velocity, and Speed (College Physics 2e, §2.3) — average velocity as displacement over time, its sign, and how it differs from average speed — OpenStax
• Velocity — the distinction between velocity and speed, and the average and instantaneous forms — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the kilometre-per-hour row (1 km/h = 0.277 777 8 m/s) that this page's second and fourth rows are converted with — NIST