Verschiebung-Rechner

Verschiebung = u × t + ½ × a × t² Endgeschwindigkeit = u + a × t Durchschnittsgeschwindigkeit = Verschiebung ÷ t

u

Anfangsgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde, mit Vorzeichen — das Feld nimmt auch km/h, mph und ft/s. Ein negativer Wert heißt, dass der Körper beim Start schon in die andere Richtung unterwegs ist, und die Seite lässt das bewusst zu

a

Beschleunigung in m/s², mit Vorzeichen. Negativ ist Bremsen, und das ist der häufigste Fall auf dieser Seite; das Feld nimmt auch ft/s² und Vielfache der Erdbeschleunigung, 1 g Verzögerung sind also 9,80665 m/s²

t

Zeit in Sekunden — das Feld nimmt auch Minuten und Stunden. Sie muss positiv sein: Die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt durch sie, deshalb wird die Null abgewiesen statt als unendliche Geschwindigkeit ausgegeben

s

Verschiebung, ut + ½at², in Metern und Fuß. Sie ist die gerade Verbindung vom Startpunkt zum Endpunkt, mit Vorzeichen, und nicht die Länge des zurückgelegten Weges

v

Endgeschwindigkeit, u + at, in m/s und km/h. Sie stammt aus der eigenen Formel und nicht aus der Verschiebung: Die Verschiebung ist die Fläche unter dem Geschwindigkeitsverlauf, die Endgeschwindigkeit seine Höhe, und beide sind voneinander unabhängig

Diese Seite ist für jede Bewegung mit gleichmäßiger Beschleunigung: Bremswege, Start- und Landestrecken, ein Ball, der hochgeworfen wird und zurückfällt, ein Zug, der anfährt, ein Auto, das auf die Autobahn auffährt, die Fahrzeit eines Aufzugs, die ersten Sekunden eines Sprinters. Sie beantwortet zwei Fragen, die eine Weg-Zeit-Rechnung mit konstanter Geschwindigkeit nicht beantworten kann. Die erste ist der Anhalteweg bei gegebener Verzögerung — die nützlichste Zahl dieser Seite für jeden, der fährt. Die zweite ist, ob der Körper überhaupt die Richtung wechselt; dort hören Verschiebung und Weg auf, übereinzustimmen, und wer nur die Verschiebung bekommt, hält die Null für einen Fehler. Es sind die Grundgleichungen der Kinematik für konstante Beschleunigung, mehr nicht. Woher diese Beschleunigung kommt, sagt die Seite nicht — sie nimmt sie als gegeben, und auf der Straße setzt sie der Reibungskoeffizient zwischen Reifen und Fahrbahn. Die ehrliche Kette für einen Bremsweg führt deshalb von der Fahrbahnoberfläche über die Reibungsseite und von dort hierher.

1. Ein Auto mit 32,92 km/h, das 10 Sekunden lang mit 1,8288 m/s² verzögert

   1. 32,92 km/h sind 9,144 m/s, und 1,8288 m/s² ist die Verzögerung (die Felder rechnen in SI-Einheiten)
   2. Verschiebung: 9,144 × 10 + ½ × (-1,8288) × 100 = 91,44 - 91,44 = 0 m
   3. Zurückgelegter Weg: Der Wagen steht nach 5 s und rollt zurück, also 22,86 m hin und 22,86 m her, zusammen 45,72 m
   4. Endgeschwindigkeit: 9,144 + (-1,8288) × 10 = -9,144 m/s, er rollt also mit derselben Geschwindigkeit rückwärts, mit der er angefangen hat
   5. Durchschnittsgeschwindigkeit: 0 ÷ 10 = 0 m/s

   Das ist das Beispiel, für das die Seite existiert. Die Verschiebung ist null und der Wegzähler zeigt 45,72 m, und beide Angaben stimmen — der Körper steht wieder dort, wo er losgefahren ist. Wer diese Seite nur eine Frage stellt und eine Null bekommt, hält sie für kaputt; deshalb steht der zurückgelegte Weg als eigene Zeile da und nicht als Fußnote. Auch die Endgeschwindigkeit lohnt den Blick: Sie ist negativ und hat denselben Betrag wie die Anfangsgeschwindigkeit, weil eine symmetrische Verzögerung über die doppelte Standzeit den Körper an seinen Ausgangspunkt zurückbringt. Die Durchschnittsgeschwindigkeit sagt dann etwas, das überrascht: 0 m/s. Das ist wahr und nutzlos zugleich, und es zeigt, dass das Mitteln über die ganze Fahrt etwas anderes ist als das Mitteln der Geschwindigkeiten, die man unterwegs hatte.

2. Ein Auto beschleunigt in 5 Sekunden aus dem Stand auf 96,56 km/h

   1. 96,56 km/h sind 26,8224 m/s, die nötige Beschleunigung ist also 26,8224 ÷ 5 = 5,36448 m/s²
   2. Verschiebung: 0 × 5 + ½ × 5,36448 × 25 = 67,06 m
   3. Zurückgelegter Weg: dieselben 67,06 m, denn das Auto kehrt nicht um
   4. Endgeschwindigkeit: 5,36448 × 5 = 26,82 m/s, das sind 96,56 km/h
   5. Durchschnittsgeschwindigkeit: 67,06 ÷ 5 = 13,41 m/s, genau die Hälfte der Endgeschwindigkeit

   67 m in fünf Sekunden ist eine realistische Zahl für ein zügiges Auto, und 5,36 m/s² sind rund 0,55 g — das liegt an der Obergrenze dessen, was ein frontgetriebener Mittelklassewagen aus dem Stand schafft. Der letzte Schritt ist die brauchbare Identität: Aus dem Stand ist die Durchschnittsgeschwindigkeit genau die Hälfte der Endgeschwindigkeit, der Weg also Endgeschwindigkeit mal halbe Zeit. Diese Abkürzung gilt nur bei konstanter Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit null, und sie ist der schnellste Weg, ein Ergebnis dieser Seite auf Plausibilität zu prüfen.

3. Anhalteweg aus 112,65 km/h bei 1 g Verzögerung

   1. 112,65 km/h sind 31,2928 m/s; 1 g Verzögerung sind 9,80665 m/s²
   2. Zeit bis zum Stillstand: 31,2928 ÷ 9,80665 = 3,19 s
   3. Verschiebung: 31,2928 × 3,191 + ½ × (-9,80665) × 3,191² = 99,86 - 49,93 = 49,93 m
   4. Endgeschwindigkeit: 0 m/s — das Auto steht
   5. Durchschnittsgeschwindigkeit: 49,93 ÷ 3,191 = 15,65 m/s, die Hälfte der Ausgangsgeschwindigkeit

   Knapp 50 m, und das ist die Zahl, die man mitnehmen sollte: 1 g ist ungefähr das Beste, was eine trockene Fahrbahn einem gewöhnlichen Auto gibt, und mehr erreicht eine Vollbremsung nicht. Lesen Sie sie zusammen mit der Reaktionszeit, die diese Seite nicht abbildet — wer eine Sekunde braucht, um den Fuß aufs Pedal zu bekommen, hat schon 31 m hinter sich, bevor die Verzögerung überhaupt einsetzt, sodass der reale Anhalteweg bei rund 80 m liegt. Das Beispiel zeigt außerdem, warum Geschwindigkeit so teuer ist: Der Bremsweg geht mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, 112 km/h brauchen also etwa die doppelte Strecke von 80 km/h, und die letzten km/h vor dem Aufprall entscheiden darüber, wie schlimm es wird.

Alles hier setzt eine konstante Beschleunigung voraus, und in der Wirklichkeit ist fast nichts konstant: Die Bremse eines Autos arbeitet nicht vollkommen gleichmäßig, der Luftwiderstand wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, und ein blockierendes Rad verhält sich anders als ein rollendes. Die Seite ist eindimensional, beschreibt also eine Bewegung längs einer Linie; alles Gekrümmte — eine Kurve, ein Wurf, ein schräg geworfener Ball — ist diese Rechnung getrennt je Achse, und das Ergebnis ist die Vektorsumme statt der Zahl, die hier steht. Die Vorzeichenregel ist entscheidend und wird leicht falsch angewendet: Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung müssen längs derselben Richtung gemessen werden, und ein bremsendes Auto mit positiver Anfangsgeschwindigkeit braucht eine negative Beschleunigung und nicht eine kleinere positive. Der Körper wird als Punkt behandelt, über Radstand, Federweg und das Nicken einer echten Karosserie beim Bremsen sagt die Seite also nichts. Woher die Beschleunigung kommt, bleibt offen: Was eine Fahrbahn an Reibung hergibt, hängt von der Oberfläche und den Reifen ab, und die Reibungsseite ist diejenige, die aus einer Fahrbahn ein m/s² macht. Und der zurückgelegte Weg setzt voraus, dass der Körper höchstens einmal wendet, was bei konstanter Beschleunigung das Einzige ist, was vorkommen kann — alles Schwingende liegt außerhalb dieses Modells.

Wie lautet die Formel für die Verschiebung?

s = ut + ½at², eine der Grundgleichungen der Kinematik für konstante Beschleunigung, mit der Anfangsgeschwindigkeit u, der Beschleunigung a und der Zeit t. Aus dem Stand mit 2 m/s² über 5 Sekunden sind das 0 + ½ × 2 × 25 = 25 m, und die Endgeschwindigkeit ist v = u + at = 10 m/s. Das ½ ist der Grund, warum der Weg mit dem Quadrat der Zeit wächst: Die doppelte Zeit aus dem Stand bedeutet den vierfachen Weg.

Was ist der Unterschied zwischen Verschiebung und zurückgelegtem Weg?

Die Verschiebung ist die gerade Verbindung vom Start zum Ziel, mit Richtung; der zurückgelegte Weg ist die Strecke, die tatsächlich gefahren wurde. Wer aus 10 m/s mit 2 m/s² zehn Sekunden lang verzögert, fährt 25 m hin und 25 m zurück: Die Verschiebung ist 0 m und der Weg 50 m. Beide Angaben sind richtig, und deshalb gibt diese Seite beide aus — wer auf den Wegzähler schaut, will die 50, und wer eine Skizze zeichnet, will die 0.

Wie berechnet man den Anhalteweg?

Mit s = ut + ½at² und einer negativen Beschleunigung, und die Rechnung endet, wenn die Endgeschwindigkeit null erreicht. Aus 112,65 km/h (31,29 m/s) bei 1 g dauert das Bremsen 3,19 s und die Strecke beträgt 49,9 m. Zwei Dinge fehlen dieser Zahl im echten Verkehr: die Reaktionszeit, bevor die Bremse greift — eine Sekunde bei 112 km/h sind weitere 31 m —, und eine Verzögerung von 1 g, die nur eine trockene Fahrbahn hergibt.

Ist die Durchschnittsgeschwindigkeit dasselbe wie (u + v) ÷ 2?

Ja, solange die Beschleunigung konstant ist — und sie ist außerdem die Verschiebung geteilt durch die Zeit, was dieselbe Zahl ergibt. Aus dem Stand auf 26,82 m/s in 5 Sekunden liefern beide Wege 13,41 m/s. Die beiden Definitionen gehen in dem Moment auseinander, in dem der Körper wendet: Im Beispiel, das an seinen Startpunkt zurückkehrt, ist (u + v) ÷ 2 ebenfalls 0, aber das ist ein Zufall der Symmetrie; im Allgemeinen bleibt die Verschiebung geteilt durch die Zeit die aussagekräftige Größe.

Was bedeutet eine negative Verschiebung?

Dass der Körper auf der anderen Seite des Startpunkts zum Stehen gekommen ist, gemessen längs der Richtung, die als positiv festgelegt wurde. Das ist eine Richtung und kein Fehler. Für Geschwindigkeit und Beschleunigung gilt dasselbe: In einer Bremsaufgabe ist die Anfangsgeschwindigkeit positiv und die Beschleunigung negativ, und wer beide als positive Zahlen eingibt, bekommt ein gleichmäßig schneller werdendes Auto statt eines bremsenden, ohne dass irgendwo eine Warnung erscheint.

Was passiert, wenn die Beschleunigung null ist?

Die Formel fällt auf s = ut zusammen und die Seite wird zur gewöhnlichen Rechnung Weg gleich Geschwindigkeit mal Zeit, die eine eigene Seite abdeckt. Das ist hier eine zulässige Eingabe und kein Fehler — es ist der Grenzfall, in dem beide Seiten dasselbe sagen —, und die Endgeschwindigkeit ist einfach die Anfangsgeschwindigkeit. Die interessanten Fälle dieser Seite haben alle eine Beschleunigung ungleich null, und genau die kann die andere Seite nicht ausdrücken.

• Displacement (College Physics 2e, §2.1) — displacement as a signed straight-line quantity, and how it differs from the distance walked — OpenStax
• Equations of motion — the kinematic equations for constant acceleration, the sign conventions, and the standard braking-distance derivation — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the metre, the second and the exact mile and foot factors used to convert the speeds in the examples above — National Institute of Standards and Technology