Beschleunigungsbetrag-Rechner

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

aₓ

Die x-Komponente der Beschleunigung, in Metern pro Sekunde zum Quadrat, mit ft/s² und Erdbeschleunigungen im selben Feld. Das Vorzeichen ist eine Richtung und keine Größe, ein negativer Wert ist also eine völlig normale Eingabe und bedeutet, dass die Beschleunigung entlang dieser Achse in die andere Richtung zeigt. Leer bleiben darf nur die z-Zeile; x und y sind das, was die Seite braucht

a_y

Die y-Komponente, in denselben Einheiten und unter derselben Regel zu den Vorzeichen. Sie geht genau wie die beiden anderen quadriert in die Formel ein, die Reihenfolge der Achsen spielt also keine Rolle — dreht man das ganze Bild um die z-Achse, ändern sich die drei Komponenten, der Betrag aber nicht. Genau das macht die Formel zu einem Vektorbetrag und nicht zu einer beliebigen Verknüpfung

a_z

Die z-Komponente, und sie ist optional: bleibt sie leer, behandelt die Seite die Aufgabe als zweidimensional, was dasselbe ist wie eine eingetippte 0. Sie steht hier, weil echte Beschleunigungen nicht immer flach sind — ein Auto in einer überhöhten Kurve, ein Ball, der eine Hand verlässt, und alles, was ein Dreiachsen-Beschleunigungssensor misst, hat alle drei. Die Voreinstellung 0 hält den ersten Bildschirm flach

|a|

Der Betrag, in m/s² und in Erdbeschleunigungen. Er ist die Länge des Beschleunigungsvektors und kann nie negativ sein, weil das Quadrieren jedes Vorzeichen entfernt, bevor irgendetwas addiert wird. Die zweite Zeile ist dieselbe Zahl geteilt durch 9,80665, also durch die Normfallbeschleunigung — eine zweite Schreibweise eines Ergebnisses und kein zweites Ergebnis, und sie steht dort, weil 30 m/s² den meisten Lesern weniger sagen als 3 g

Diese Seite ist die richtige, wenn eine Beschleunigung in Komponenten vorliegt und ihre Größe gefragt ist: die Dreiachsen-Ausgabe eines Beschleunigungssensors, ein Auto in einer überhöhten Kurve, wo die Beschleunigung einen seitlichen und einen vertikalen Anteil hat, ein geworfener Körper in einem Augenblick, in dem er weder oben noch unten ist, oder eine Komponentenliste aus einer Simulation, die gegen einen einzelnen Messwert geprüft werden soll. Sie ist auch die Seite für die Frage, ob eine Beschleunigung groß ist — die zweite Zeile macht daraus g, und g ist die Einheit, in der 30 m/s² mit der 1 g des Stehens vergleichbar werden. Zwei Dinge sind dabei zu beachten. Erstens müssen die Komponenten senkrecht aufeinander stehen und in derselben Einheit angegeben sein; das hier ist ein Vektorbetrag und keine Methode, drei Beschleunigungen zu verknüpfen, die zufällig zusammen in einer Liste stehen. Diese Vektorzerlegung ist der ganze Inhalt der Seite. Zweitens sagt die Seite nicht, wohin die Beschleunigung zeigt, und wer das braucht, kommt in der Ebene mit zwei Komponenten und dem Arkustangens aus — eine Richtung im Raum braucht dagegen zwei Winkel, und dafür gibt es keine einzelne Zahl zu drucken. Dieselbe Rechnung auf einen Geschwindigkeitsvektor ist eine eigene Seite, weil der Vorgang identisch ist und nur die Größe eine andere.

1. Die Voreinstellung: 3, 4 und 0 — ein 3-4-5-Dreieck

   1. Quadrate: 3² = 9, 4² = 16, 0² = 0
   2. Addieren: 9 + 16 + 0 = 25
   3. Wurzel ziehen: √25 = 5
   4. Der Betrag ist also genau 5 m/s², und z trägt nichts bei, weil es null ist
   5. In Erdbeschleunigungen: 5 ÷ 9,80665 = 0,510, angezeigt als 0,51 g

   Jeder Schritt hier lässt sich im Kopf machen, und genau deshalb sind die Voreinstellungen diese Zahlen: 9 plus 16 ist 25, und die Wurzel aus 25 ist 5, ohne Rechner und ohne Rundung. Auffällig ist, was nicht geschehen ist — die drei Komponenten wurden nicht zu 7 addiert. Das ist der häufigste Fehler auf dieser Seite, und es lohnt sich zu sehen, warum es ein Fehler ist und nicht eine andere Vereinbarung: eine Komponente entlang y trägt nichts zur Länge in x-Richtung bei, die beiden müssen also im rechten Winkel zueinander verknüpft werden, und das ist genau, was das Quadrieren und das Wurzelziehen tun.

2. Ein echter dreidimensionaler Fall: 1, 2 und 2

   1. Quadrate: 1² = 1, 2² = 4, 2² = 4
   2. Addieren: 1 + 4 + 4 = 9
   3. Wurzel ziehen: √9 = 3
   4. Betrag 3 m/s², mit Beiträgen aus allen drei Komponenten
   5. In Erdbeschleunigungen: 3 ÷ 9,80665 = 0,306 g

   Die z-Komponente ist das, was diese Zeile von der ersten unterscheidet, und sie ist die Zeile, die eine Umsetzung auffliegen lässt, welche z stillschweigend ignoriert: ohne z ergäbe sich √5 = 2,236, also 25 Prozent zu wenig, und auf dem Bildschirm sieht das völlig plausibel aus. Es ist außerdem das kleinste ganzzahlige Tripel, das alle drei Achsen braucht: 1-2-2 gibt 9 und wurzelt zu 3, und dieselbe Familie läuft weiter über 2-3-6 mit 7 und 3-4-12 mit 13. Die Familie ist allerdings keine kurze Liste — 1-4-8 gibt 9 und 6-10-15 gibt 19, beide im selben Bereich —, es lohnt sich also eher, sich die Form einzuprägen als die einzelnen Mitglieder: jedes von ihnen mit einer ganzen Zahl vervielfacht ergibt wieder eines, denn 1-2-2 verdoppelt ist 2-4-4 und sein Betrag verdoppelt sich mit. Eine brauchbare Gewohnheit ist die Gegenprobe gegen die größte Komponente: der Betrag kann nie kleiner sein als die größte der drei, und hier sind 3 gegen eine größte Komponente von 2 ein bequemer Abstand.

3. Gemischte Vorzeichen: 3, −4 und 12

   1. Quadrate: 3² = 9, (−4)² = 16, 12² = 144 — das Minuszeichen verschwindet hier
   2. Addieren: 9 + 16 = 25, dann 25 + 144 = 169
   3. Wurzel ziehen: √169 = 13
   4. Betrag 13 m/s², derselbe wie bei 3, 4 und 12
   5. In Erdbeschleunigungen: 13 ÷ 9,80665 = 1,326 g

   Die negative Komponente ist der Punkt dieser Zeile, und ebenso die Reihenfolge, in der addiert wird: 9 plus 16 ist 25, und 25 plus 144 ist 169, also 13 zum Quadrat. In zwei Schritten statt in einem zu rechnen ist genau das, was die Formel bedeutet — die ersten beiden Komponenten werden mit dem Satz des Pythagoras verknüpft, und dieses Ergebnis wird dann mit der dritten im rechten Winkel zu beiden verknüpft. Dass das Vorzeichen verschwindet, ist kein Sonderfall, der irgendwo im Code abgefangen wird; das Quadrieren erledigt es von selbst, und deshalb nimmt diese Seite überhaupt negative Eingaben an und kann nie eine negative Antwort liefern.

Der Betrag ist nur ein Teil des Vektors, und mit der Richtung geht echte Information verloren: ein Körper, der mit 1 g nach oben beschleunigt, und einer, der mit 1 g seitwärts beschleunigt, haben hier dieselbe Zahl und verhalten sich völlig verschieden, und ein Auto, das mit 1 g durch eine Kurve fährt, ist eine andere Situation als eines, das mit 1 g bremst. Nichts auf dieser Seite sagt, welche. Die Formel setzt außerdem voraus, dass die drei Komponenten senkrecht aufeinander stehen und in derselben Einheit und zum selben Zeitpunkt gemessen sind — Komponenten aus zwei verschiedenen Koordinatensystemen oder zu zwei verschiedenen Zeiten ergeben eine Zahl, die ordentlich aussieht und nichts bedeutet. Die Seite ist auch nicht auf Beschleunigungen festgelegt: sie verknüpft drei Geschwindigkeitskomponenten genauso bereitwillig, und das Ergebnis wäre ebenfalls richtig, was gut zu wissen ist, weil es heißt, dass die Rechnung keine Prüfung darauf ist, ob die richtige Größe eingegeben wurde. Die g-Zeile ist eine Umrechnung und keine Schwelle, sie enthält also kein Urteil darüber, ob ein Wert überlebbar oder angenehm ist; solche Grenzen gehören zur Situation und zur Dauer und nicht zur Zahl. Und dass das z-Feld optional ist, macht ein zweidimensionales Problem und ein wirklich flaches dreidimensionales auf dem Bildschirm ununterscheidbar, was hier harmlos ist, beim Übernehmen von Eingaben in einen Bericht aber im Kopf bleiben sollte.

Wie lautet die Formel für den Betrag der Beschleunigung?

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²): jede Komponente quadrieren, die Quadrate addieren und daraus die Wurzel ziehen. Für einen zweidimensionalen Fall mit den Komponenten 3 und 4 sind das √(9 + 16) = √25 = 5 m/s². Es ist der Satz des Pythagoras, zweimal angewandt, weil die drei Achsen senkrecht aufeinander stehen — der Betrag ist die Länge der Raumdiagonale des Quaders, den die Komponenten aufspannen. Das Ergebnis ist nie negativ, weil das Quadrieren jedes Vorzeichen entfernt, bevor addiert wird.

Warum darf ich die Komponenten nicht einfach addieren?

Weil sie in verschiedene Richtungen zeigen. Eine Komponente entlang y trägt nichts dazu bei, wie weit die Beschleunigung in x-Richtung reicht, und sie zu addieren behandelt zwei senkrechte Größen, als lägen sie auf einer Geraden. Mit den Komponenten 3 und 4 ist die Summe 7, während der wahre Betrag 5 ist, und der Fehler ist nicht klein — hier sind es 40 Prozent, und er wächst, je ungleicher die Komponenten werden. Der eine Fall, in dem Addieren richtig ist, ist der, in dem alle bis auf eine Komponente null sind, und das ist kein sonderlich interessanter Fall: er bedeutet, dass die Beschleunigung ohnehin auf einer einzigen Achse liegt.

Warum gibt die Seite keine Richtung der Beschleunigung an?

Weil eine Richtung im Raum zwei Winkel braucht und diese Seite nur eine Zahl drucken kann. Der Winkel, der in der Ebene funktioniert, ist der Arkustangens aus y- und x-Komponente, aber er wird als Projektion gemessen und ist nicht definiert, wenn die Beschleunigung genau entlang der z-Achse zeigt — es gibt dann keine Richtung in der xy-Ebene zu berichten, so wie es am Nordpol keine Länge gibt. Der naheliegende Ausweg, in diesem Fall null zurückzugeben, würde eine Richtung von 0 Grad ausgeben, die als entlang der x-Achse gelesen würde und schlicht falsch wäre. Die Alternative, die Antwort zu verweigern, würde eine völlig vernünftige Frage nach einer senkrechten Beschleunigung in eine Fehlermeldung verwandeln. Die Seite berichtet also nur die Größe; wer für eine ebene Aufgabe eine Richtung braucht, rechnet den Arkustangens der beiden Komponenten aus.

Dürfen die Komponenten negativ sein?

Ja, und auf dieser Seite sind sie es meistens, denn eine negative Komponente bedeutet, dass die Beschleunigung entlang dieser Achse in die andere Richtung zeigt, und nicht, dass sie kleiner ist. Das Quadrieren entfernt das Vorzeichen, 3, −4 und 12 ergeben also dieselben 13 m/s² wie 3, 4 und 12 — dem Betrag eines Vektors ist gleichgültig, wohin er zeigt. Das ist auch der Grund, warum die Antwort nie negativ ist, und warum ein Ergebnis von genau 0 eine echte Antwort und kein Fehler ist: es heißt, dass der Körper überhaupt nicht beschleunigt, und das ist eine vollständige Beschreibung einer gleichförmigen Bewegung.

Muss ich die z-Komponente ausfüllen?

Nein. Bleibt sie leer, gilt sie als null, und die Aufgabe wird zweidimensional, was für alles Richtige ist, was in einer Ebene geschieht — ein Auto auf flacher Straße, ein Puck auf einem Tisch, ein geworfener Körper in der üblichen Idealisierung. Ausfüllen sollte man sie, wenn die Beschleunigung wirklich eine dritte Komponente hat: ein Auto in einer überhöhten Kurve, ein schräg geworfener Ball oder die Rohausgabe eines Dreiachsen-Beschleunigungssensors, der immer drei Zahlen liefert, ob die dritte nun zählt oder nicht. Die Voreinstellung ist 0, die Seite öffnet also als ebenes Problem, und die dritte Achse lässt sich hinzunehmen, wenn sie gebraucht wird.

Wofür steht die g-Zeile?

Für denselben Betrag geteilt durch 9,80665 m/s², den definierten Wert der Normfallbeschleunigung, damit eine Beschleunigung als Vielfaches von g angegeben werden kann. Die Zeile steht dort, weil g die Einheit ist, für die Menschen tatsächlich ein Gefühl haben: 30 m/s² sagen für sich genommen wenig, während 3 g sofort als Achterbahn wiedererkannt werden und 0,1 g als anfahrender Aufzug gelesen wird. Es ist zugleich die Zeile, die sich in eine Kraft übersetzen lässt: die g-Kraft von n g bedeutet, dass alles, was einen hält, mit dem n-fachen des eigenen Gewichts drücken muss, und deshalb sind 10 g für einen Menschen eine Grenze und keine Kuriosität. Trotzdem bleibt es eine zweite Schreibweise eines Ergebnisses und kein zweites Ergebnis, und sie enthält kein Urteil darüber, ob ein Wert groß ist — 0,1 g und 30 g sind in ihrem jeweiligen Zusammenhang beide gewöhnlich, und wie erträglich eine Beschleunigung ist, hängt ebenso von ihrer Dauer ab wie von ihrer Größe.

• Vector Addition and Subtraction: Analytical Methods (College Physics 2e, §3.3) — resolving a vector into perpendicular components and recombining them with the Pythagorean theorem — OpenStax
• Euclidean vector — magnitude as the norm of a vector, the sign of a component as direction rather than size, and why a direction in three dimensions needs two angles — Wikipedia
• NIST Guide to the SI, Appendix B.9: Factors for Units Listed by Kind of Quantity — the ACCELERATION section, and standard gravity as the defined 9.806 65 m/s² — National Institute of Standards and Technology