Winkelbeschleunigung-Rechner

Winkelbeschleunigung = ( Enddrehzahl − Anfangsdrehzahl ) ÷ Zeit Umdrehungszahl = mittlere Drehzahl × Zeit

ωi

Anfangsdrehzahl, standardmäßig in rpm — das Feld nimmt auch rad/s, °/s und U/s. Bei allem, was aus dem Stillstand startet, bleibt sie auf 0

ωf

Enddrehzahl in denselben Einheiten. Kleiner als der Anfangswert ist erlaubt und aussagekräftig: Das Ergebnis wird dann negativ, und das ist eine Verzögerung

t

Zeit, über die die Änderung läuft, in Sekunden — das Feld nimmt auch Minuten. Sie muss größer als null sein, und die Seite geht davon aus, dass die Änderung gleichmäßig über sie verteilt ist

α

Die Winkelbeschleunigung — als Hauptwert in rad/s², außerdem in rpm/s und in °/s². Das Vorzeichen folgt der Drehzahländerung: Ein negatives α heißt, dass die Drehung langsamer wird

N

Die Umdrehungen während der Änderung, aus mittlerer Drehzahl mal Zeit — die Zahl, die sagt, ob eine Maschine Platz für den Hochlauf hat

Diese Seite ist für alles, was sich dreht und von dem Sie wissen wollen, wie hart daran gezogen wird: ein Motor, der eine Last beschleunigt, eine Bremse, die ein Schwungrad herunterholt, ein Zentrifugenhochlauf, eine Festplatte, die anläuft, ein Rad, das beschleunigt wird. Sie ist die rotierende Schwester der Beschleunigungsseite für gerade Bewegungen, und dieselbe Anschauung trägt: Bei gegebener Drehzahländerung gilt — je kürzer die Zeit, desto größer die Beschleunigung und desto größer das Drehmoment, das dafür nötig ist. Zwei Gewohnheiten machen die Antwort brauchbarer. Erstens: Lesen Sie die Umdrehungszahl genauso aufmerksam wie die Beschleunigung, denn sie ist meistens die Schranke, die über die Auslegung entscheidet. Ein Hochlauf über 125 Umdrehungen braucht Platz für 125 Umdrehungen, und eine Bremse, die eine Welle in einer Sekunde stoppt, muss die ganze Energie in dieser Sekunde aufnehmen. Zweitens: Achten Sie auf das Vorzeichen, ohne zu viel hineinzulesen — ein negatives α sagt, dass die Drehung langsamer wird, nicht dass sie rückwärts läuft. Ob ein kontrollierter Halt oder ein Schaden vorliegt, kann die Seite nicht unterscheiden.

1. Eine Waschmaschinentrommel, vom Stillstand auf 1.200 rpm in 8 Sekunden

   1. Änderung der Drehzahl: 1.200 − 0 = 1.200 rpm
   2. In rpm pro Sekunde: 1.200 ÷ 8 = 150 rpm/s
   3. In rad/s²: 1.200 rpm = 125,664 rad/s, und 125,664 ÷ 8 = 15,708 rad/s²
   4. In °/s²: 15,708 × 57,2958 = 900
   5. Mittlere Drehzahl: 600 rpm = 10 U/s
   6. Umdrehungen im Hochlauf: 10 × 8 = 80

   Das ist der Alltagsfall, und die nützliche Zahl ist die letzte. Achtzig Umdrehungen in acht Sekunden muss die Trommel schaffen, ohne dass sich die Wäsche zu einem Klumpen verknotet und den Motor abwürgt — deshalb läuft ein Schleudergang hoch, statt sofort mit voller Drehzahl einzuschalten. Sehen Sie außerdem, wie die drei Einheiten dieselbe Tatsache aufteilen: 15,708 rad/s² und 150 rpm/s sind dieselbe Größe, und die Zahl in °/s² ist nur deshalb groß, weil eine Umdrehung 360 Grad hat.

2. Eine Festplattenscheibe, vom Stillstand auf 7.200 rpm in 10 Sekunden

   1. Änderung der Drehzahl: 7.200 rpm
   2. In rpm pro Sekunde: 7.200 ÷ 10 = 720 rpm/s
   3. In rad/s²: 7.200 rpm = 753,982 rad/s, und 753,982 ÷ 10 = 75,398 rad/s²
   4. In °/s²: 4.320
   5. Mittlere Drehzahl: 3.600 rpm = 60 U/s
   6. Umdrehungen im Hochlauf: 60 × 10 = 600

   Dieselbe Rechnung an einer Maschine, für die das Ergebnis zählt. 75,398 rad/s² ist das Fünffache der Waschmaschine, und die Scheibe passiert auf dem Weg dorthin 600 Umdrehungen — deshalb verschleißt ein Laufwerk, das immer wieder abgebremst und angefahren wird, seine Lager, und deshalb lässt man Laufwerke lieber durchlaufen. Die zehn Sekunden sind für ein modernes Laufwerk absichtlich langsam gewählt; ein Laufwerk im Notebook erreicht seine Arbeitsdrehzahl in etwa drei, und das geht nur, weil die Scheibe klein und leicht genug ist, dass das Drehmoment dafür vorhanden ist.

3. Eine Bremse, die eine Welle in 4 Sekunden von 1.500 rpm zum Stillstand bringt

   1. Änderung der Drehzahl: 0 − 1.500 = −1.500 rpm
   2. In rpm pro Sekunde: −1.500 ÷ 4 = −375 rpm/s
   3. In rad/s²: 1.500 rpm = 157,080 rad/s, also −157,080 ÷ 4 = −39,27 rad/s²
   4. In °/s²: −2.250
   5. Mittlere Drehzahl: 750 rpm = 12,5 U/s
   6. Umdrehungen beim Stoppen: 12,5 × 4 = 50

   Das Vorzeichen ist der ganze Punkt dieses Beispiels: Die drei Beschleunigungswerte sind negativ, die Umdrehungszahl nicht, denn die Welle dreht sich weiter vorwärts — nur langsamer. Zwischen dem Anlegen der Bremse und dem Stillstand liegen fünfzig Umdrehungen, und die gesamte Rotationsenergie der Welle muss in diesen fünfzig Umdrehungen heraus. Darin liegt der Unterschied zwischen Bremse und Kupplung: Eine Bremse muss Bewegungsenergie in Wärme umsetzen, und wie schnell sie das tut, hängt an dieser Beschleunigung — deshalb ist die erste Sekunde einer Notbremsung die, die die Scheibe verbrennt.

Die Seite setzt eine konstante Winkelbeschleunigung voraus, die Drehzahl ändert sich also gleichmäßig von Anfang bis Ende. Ein echter Motor hat eine Drehmomentkurve statt einer festen Beschleunigung, der Hochlauf ist im Drehzahlverlauf deshalb keine Gerade, und die Umdrehungszahl, die hier herauskommt, ist ein Mittelwert, der zu einer Maschine mit Sanftanlauf nicht passt. Um Drehmoment und Trägheitsmoment geht es hier nirgends: Die Winkelbeschleunigung ist die Kinematik, und um daraus die Kraft zu machen, die ein Motor aufbringen muss, braucht man die rotierende Fassung des zweiten Newtonschen Gesetzes, τ = Iα, plus das Trägheitsmoment alles dessen, was auf der Welle sitzt. Bewegungsenergie kommt ebenfalls nicht vor: Eine Bremse, die eine Welle stoppt, muss ½Iω² über den Halt hinweg abführen, und die Seite kann nicht sagen, wie viel das ist. Sie ist außerdem rein rotierend — ein Rad, das beschleunigt wird, während das Fahrzeug, zu dem es gehört, ebenfalls fährt, hat zusätzlich eine geradlinige Beschleunigung, und beide hängen über den Radius zusammen, nach dem diese Seite nicht fragt. Eine Richtungsumkehr deckt sie nicht ab: Eine Drehzahl, die das Vorzeichen wechselt, läuft durch null, und die Annahme der konstanten Beschleunigung passt darauf schlecht. Und schließlich weiß die Seite nicht, woher die Beschleunigung kommt; sie meldet deshalb auch eine, die kein realer Motor und keine reale Bremse liefern könnte, und sagt nichts über die Vibrationen, die Lagerlasten oder die Wärme, die ein solcher Hochlauf in Wirklichkeit erzeugt.

Wie lässt sich die Winkelbeschleunigung berechnen?

Enddrehzahl minus Anfangsdrehzahl, geteilt durch die Zeit: α = (ωf − ωi) ÷ t. Vom Stillstand auf 3.000 rpm in 5 Sekunden ist eine Änderung von 3.000 rpm über 5 s, also 600 rpm/s oder 62,832 rad/s². Fällt das Ergebnis negativ aus, wird die Drehung langsamer statt schneller. Die Seite druckt alle drei Einheiten gleichzeitig, damit Sie diejenige ablesen können, die in Ihrem Datenblatt steht.

Wie lautet die Formel in rad/s²?

Dieselbe, nur werden die Drehzahlen vorher umgerechnet: Eine Umdrehung pro Minute ist 2π ÷ 60 = 0,10472 rad/s, also sind 3.000 rpm gleich 314,159 rad/s, und geteilt durch 5 s ergibt das 62,832 rad/s². Andersherum multiplizieren Sie rad/s² mit 9,5493 und erhalten rpm/s. Die Umrechnung ändert nie die Physik, nur die Zeile, die Sie lesen.

Warum ist die Winkelbeschleunigung negativ?

Weil die Enddrehzahl kleiner ist als die Anfangsdrehzahl und die Formel beide voneinander abzieht; eine Verzögerung bekommt dadurch ein Minuszeichen. Eine Welle, die in 4 Sekunden von 1.500 rpm zum Stillstand kommt, hat α = −39,27 rad/s². Das Vorzeichen sagt, dass die Drehung langsamer wird, nicht dass sie rückwärts läuft — die Umdrehungszahl bleibt die ganze Zeit positiv, weil sich die Welle während des Bremsens weiter vorwärts dreht.

Wozu braucht man die Umdrehungszahl?

Sie ist die Anzahl der Umdrehungen, die das Objekt während der Drehzahländerung macht, also mittlere Drehzahl mal Zeit. Meist ist sie die Schranke, die über eine Auslegung entscheidet: Eine Trommel, die in 8 Sekunden auf 1.200 rpm kommt, passiert dabei 80 Umdrehungen, und eine Maschine mit Platz für 50 Umdrehungen schafft diesen Hochlauf schlicht nicht. Dieselbe Zahl sagt Ihnen, wie viel Bremsfläche eine Scheibe braucht, denn die ganze Rotationsenergie muss über diese Umdrehungen heraus.

Wie hängt die Winkelbeschleunigung mit dem Drehmoment zusammen?

Über die rotierende Fassung des zweiten Newtonschen Gesetzes, τ = Iα, mit dem Drehmoment τ und dem Trägheitsmoment I. Diese Seite liefert die Kinematik — α und sonst nichts. Um das Drehmoment zu finden, das ein Motor aufbringen muss, brauchen Sie das Trägheitsmoment alles dessen, was auf der Welle sitzt; bei einer vollen Scheibe ist es ½mr², bei einem Ring mr². Genau deshalb braucht dieselbe Beschleunigung an einer beladenen Zentrifuge einen weit größeren Motor als an einer leeren: Das α ist identisch, das I nicht.

Spielt es eine Rolle, ob die Drehzahländerung gleichmäßig verläuft?

Ja, und diese Seite unterstellt, dass sie es tut. Eine konstante Winkelbeschleunigung bedeutet einen geraden Hochlauf von der Anfangs- zur Enddrehzahl, und die Umdrehungszahl ist dann einfach der Mittelwert der beiden mal der Zeit. Ein echter Motor mit Sanftanlauf ändert die Drehzahl ungleichmäßig, die tatsächliche Umdrehungszahl weicht also ab. Die Seite ist das richtige Werkzeug zum Auslegen und für eine Plausibilitätsprobe und das falsche, um vorherzusagen, wo die Welle einer realen Maschine nach einem gegebenen Hochlauf genau steht.

• Angular Acceleration (College Physics 2e, §10.1) — α = Δω ÷ Δt, the definition of angular acceleration, and the rotational kinematics equations built on it — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the radian as the coherent unit of angle and the radian per second squared as the unit of angular acceleration, with the exact factors for degrees and revolutions — National Institute of Standards and Technology
• Angular acceleration — the relation to torque and moment of inertia that this page deliberately leaves out, and the sign convention for a decelerating rotation — Wikipedia