Spannenergie-Rechner

Spannenergie = ½ × Federkonstante × Auslenkung² Federkraft = Federkonstante × Auslenkung

k

Federkonstante (Steifigkeit) in Newton pro Meter — das Feld nimmt auch kN/m, N/mm und lbf/in. Sie ist die Kraft, die nötig ist, um die Feder um eine Längeneinheit zu bewegen; eine steife Feder hat also ein großes k

x

Auslenkung in Zentimetern — wie weit die Feder gegenüber ihrer Ruhelänge gedehnt oder gestaucht wird, gemessen in der Voreinstellung des Feldes. Das Vorzeichen spielt keine Rolle: Die Energie ist beim Ziehen und beim Drücken dieselbe

E

Spannenergie in Joule — die Federenergie, also die Arbeit, die beim Verformen der Feder verrichtet wird; die dritte Ergebniszeile gibt dieselbe Energie in Foot-pound aus

F

Federkraft in Newton, aus dem Hookeschen Gesetz F = kx — die Kraft an der voll ausgelenkten Stelle und nicht der Mittelwert über den ganzen Weg

Diese Seite ist die richtige, wenn eine Feder, ein Gummiband, ein Bogen, ein Trampolin oder ein Fahrwerk im Spiel ist und Sie wissen wollen, wie viel Energie darin steckt oder wie kräftig es zieht. Die beiden Fragen, die am häufigsten auftauchen, sind die Auslegung einer Feder für eine vorgegebene Energie — ein Werfer, ein Gegengewicht, ein Türmechanismus — und die Überlegung, was passiert, wenn sie losgelassen wird. Zwei Gewohnheiten machen die Antworten brauchbarer. Erstens: Prüfen Sie die Einheit der Auslenkung, bevor Sie der Zahl glauben — das Feld rechnet in Zentimetern, und wer 10 mm meint und 10 cm einträgt, bekommt die hundertfache Energie. Zweitens: Die Energie wächst mit dem Quadrat der Auslenkung, die Kraft nur linear, deshalb steckt der größte Teil der Energie im letzten Stück des Weges — wie sich die Federkonstante eines unbekannten Bauteils berechnen lässt, steht in den Fragen unten.

1. Eine weiche Feder mit 175,127 N/m, um 5,08 cm ausgelenkt

   1. 5,08 cm Auslenkung sind 0,0508 m — das Feld nimmt Zentimeter entgegen, die Formel rechnet in Metern
   2. Federkraft: 175,127 × 0,0508 = 8,90 N
   3. Auslenkung im Quadrat: 0,0508 × 0,0508 = 0,002581
   4. Energie: ½ × 175,127 × 0,002581 = 0,226 J
   5. In der anderen Einheit: 0,226 ÷ 1,3558179 = 0,167 ft·lb

   Die 5,08 cm sind kein willkürlicher Wert, sondern genau zwei Zoll, und die Steifigkeit von 175,127 N/m ist das metrische Gegenstück zu einem Pfund pro Zoll — diese Feder ist bewusst sehr weich gewählt, damit die Zahlen klein bleiben. Eine so weiche Feder hält bei zwei Zoll Auslenkung etwa ein Fünftel Joule, ungefähr die Energie eines herunterfallenden Apfels. Interessant ist das Verhältnis der beiden Ausgaben: Die Kraft beträgt 8,90 N, und die Feder wurde 5,08 cm weit gegen eine Kraft bewegt, die im Mittel nur halb so groß war. Energie ist Kraft mal Weg, und die Kraft war hier nicht konstant — sie lief von null bis 8,90 N —, und genau daraus stammt die ½ in ½kx².

2. Eine Fahrwerksfeder mit 31.522,830 N/m, um 7,62 cm gestaucht

   1. 7,62 cm Auslenkung sind 0,0762 m — das sind drei Zoll
   2. Federkraft: 31.522,830 × 0,0762 = 2.402,04 N
   3. Auslenkung im Quadrat: 0,0762 × 0,0762 = 0,005806
   4. Energie: ½ × 31.522,830 × 0,005806 = 91,518 J
   5. In der anderen Einheit: 67,5 ft·lb

   Eine echte Fahrwerksfeder, und die Zahl, die man mitnimmt, ist die Kraft: 2.402 N an diesem Rad, das ist bei einem Mittelklassewagen rund ein Sechstel des Fahrzeuggewichts. Bemerkenswert ist außerdem, wie klein die Energie bleibt — 91,5 J liegen unter der Bewegungsenergie eines geworfenen Balls. Federn sind nicht deshalb energiereich, weil sie steif sind, sondern weil sie einen weiten Weg zurücklegen. Eine Fahrwerksfeder bewegt sich sieben Zentimeter, ein Bogen spannt über einen halben Meter, und daher kommt dessen Energie.

3. Dieselbe Feder bei 15,24 cm — der doppelten Auslenkung

   1. Auslenkung: 15,24 cm sind das Doppelte des Beispiels darüber
   2. Federkraft: 31.522,830 × 0,1524 = 4.804,08 N, genau das Doppelte — das Hookesche Gesetz ist linear
   3. Auslenkung im Quadrat: 0,1524 × 0,1524 = 0,023226, das Vierfache der 0,005806 von oben
   4. Energie: ½ × 31.522,830 × 0,023226 = 366,071 J, genau das Vierfache der 91,518 J von oben
   5. In der anderen Einheit: 270 ft·lb

   Stellen Sie dieses Beispiel neben das darüber, und die ganze Seite steckt in den beiden Verhältnissen. Die doppelte Auslenkung ergibt die doppelte Kraft und die vierfache Energie. Deshalb kann eine Feder, die sich im ersten Zentimeter harmlos anfühlt, im vierten ernsthaft gefährlich werden, und deshalb wird ein Bogen über die gespeicherte Energie angegeben und nicht über die Zugkraft am Ende — die Zugkraft ist der lineare Teil, die Energie das Quadrat.

Das hier ist das Hookesche Gesetz, und das gilt nur, solange sich die Feder elastisch verhält. Wer eine echte Feder über ihre Streckgrenze hinaus belastet, bekommt keine zur Auslenkung proportionale Kraft mehr; wer sie bis an den Anschlag drückt, bringt die Windungen zum Aufliegen, und dort ändert sich die Steifigkeit vollständig, sodass ½kx² die Energie zu hoch angibt. Dämpfung, Hysterese und Masse kommen nicht vor: Eine reale Feder verliert bei jedem Zyklus ein wenig Energie an innere Reibung, und eine Feder mit Masse hat während der Bewegung selbst Bewegungsenergie. Eine vorgespannte Feder — eine Ventilfeder, eine Feder hinter einer Schraube — bildet die Seite nicht ab; dort ist die gespeicherte Energie die Differenz zweier Zustände und nicht der Gesamtwert gegen eine Referenz ohne Auslenkung, und die ausgegebene Zahl ist die Energie ab der Ruhelänge. Die Seite unterstellt, dass sich die ganze Feder um denselben Betrag bewegt: Eine kegelige Feder, eine Reihenschaltung zweier verschiedener Federn oder irgendetwas, bei dem die Windungen die Auslenkung nicht gleichmäßig teilen, lässt sich nicht durch ein einziges k beschreiben. Sie ist außerdem statisch: Was nach dem Loslassen schwingt, sagt sie nicht — dafür braucht man die Masse, und das gehört auf eine andere Seite. Und sie kümmert sich nicht darum, ob die gespeicherte Energie nutzbringend frei wird: Dieselben 366 J können ein Geschoss beschleunigen oder in einem Dämpfer einfach als Wärme verschwinden. Schließlich setzt sie voraus, dass die Auslenkung längs der Federachse gemessen wird und nicht schräg dazu.

Wie lautet die Formel für die Spannenergie?

E = ½kx², mit der Federkonstanten k in Newton pro Meter und der Auslenkung x in Metern. Die ½ steht dort, weil die Kraft beim Auslenken von null auf kx anwächst; über den gesamten Weg gemittelt ist sie also nur halb so groß wie am Ende. Eine Feder mit 175,127 N/m speichert bei 5,08 cm Auslenkung 0,226 J, und die Rechenschritte dazu stehen oben, falls Sie das von Hand nachprüfen wollen.

Warum steht die Auslenkung im Quadrat und nicht einfach als Faktor?

Weil die Arbeit an der Feder Kraft mal Weg ist und die Kraft nicht konstant bleibt — sie ist am Anfang null und am Ende kx, im Mittel also ½kx, und die Arbeit ist ½kx mal x. Praktisch heißt das: Die doppelte Auslenkung ergibt die vierfache Energie, aber nur die doppelte Federkraft. Deshalb ist das letzte Stück einer Stauchung das anstrengende, und deshalb wird eine Armbrust über die gespeicherte Energie angegeben und nicht über das Zuggewicht am Ende.

Was ist die Federkonstante, und wie lässt sie sich berechnen?

Sie ist die Kraft, die nötig ist, um die Feder um eine Längeneinheit zu bewegen, wird also in N/m gemessen — oder in N/mm und lbf/in, die das Feld ebenfalls annimmt. Man bestimmt sie, indem man ein bekanntes Gewicht anhängt, die Dehnung abliest und teilt: Eine Feder, die sich unter 8 N um 4 cm dehnt, hat k = 8 ÷ 0,04 = 200 N/m. Eine Fahrwerksfeder liegt bei etwa 30 N/mm, also 30.000 N/m, eine weiche Laborfeder eher bei 100 N/m.

Ist die Energie beim Stauchen dieselbe wie beim Dehnen?

Ja, solange die Feder symmetrisch arbeitet, was auf die meisten Schraubenfedern zutrifft. Die Formel verwendet x², eine Stauchung um 5 cm und eine Dehnung um 5 cm speichern also beide ½ × k × 0,0025 J. Reale Federn sind nicht vollkommen symmetrisch — eine Schraubenfeder kann bei weiter Stauchung seitlich ausknicken, und eine Feder mit einer Stützwicklung ist in der einen Richtung deutlich steifer als in der anderen —, die Gleichheit gilt deshalb im Arbeitsbereich und nicht bis an die Enden des Weges.

Wie viel Energie steckt in einer vollständig gestauchten Feder?

Man nimmt die Auslenkung bei voller Stauchung und setzt sie in ½kx² ein. Eine Fahrwerksfeder mit 30 N/mm speichert bei 10 cm Stauchung 150 J; dieselbe Feder hält bei 20 cm schon 600 J, also das Vierfache bei doppeltem Weg. Prüfen Sie allerdings, wo der Weg tatsächlich endet — sobald die Windungen aufliegen, verhält sich die Feder nicht mehr wie eine Feder, und die Formel beschreibt nicht mehr, was passiert.

Wie rechnet man eine Federrate aus lbf/in in N/m um?

Man multipliziert mit 175,127 — das ist ein Pfund-force (4,448222 N) geteilt durch einen Zoll (0,0254 m). Eine Feder mit 180 lbf/in ist also 31.522,83 N/m, eine mit 300 lbf/in ist 52.538,05 N/m. Beide Faktoren sind per Definition exakt, die Umrechnung fügt also keinen Fehler hinzu; liegt Ihr Wert um den Faktor 9,8 daneben, wurde vermutlich irgendwo mit Pfund Masse statt Pfund Kraft gerechnet.

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — F = kx and the elastic potential energy stored in a deformed spring — OpenStax
• Elasticity: Stress and Strain (College Physics 2e, §5.3) — the elastic limit and the point past which the linear relation between force and displacement stops holding — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the newton per metre as the coherent unit of stiffness, and the exact factors for pounds (0.45359237 kg) and inches (0.0254 m) that the lbf/in conversion is built from — National Institute of Standards and Technology